Finanční matematika Matematika – 9. ročník Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod Třemšínem Efektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka projekt v rámci Operačního programu VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST Finanční matematika Matematika – 9. ročník

Obsah Úvod Pojmy Metoda pro počítání úroků Základní pojmy v úrokovém počtu Jednoduché úrokování Výpočet úroku Výpočet jistiny Výpočet úrokové míry Přehled vzorců Výpočty – souhrn Výpočty – období kratší než 1 rok Procvičení Daň z úroků –výpočty Výpočet celkové částky po zdanění - vzorec

Základy finanční matematiky Nesnadné je pracovat, ještě nesnadnější šetřit. Nejsme národ chudý, ale marnotratný. A přece není jiné cesty: Ne násilím, ale úsilím, ne mečem, ale pluhem, ne krví, ale prací –umět čestným způsobem peníze vydělávat a šetrným způsobem jich užívat. T. G. Masaryk (1850 – 1937)

Pojmy Finance – určitý obnos peněz Peníze je-li tento obnos velký, říkáme mu peněžní kapitál Peníze slouží k vyjadřování cen různého zboží a k uskutečnění jeho koupě či prodeje hotovostní – bankovky, mince bankovky – papírová platidla mince – kovová platidla bezhotovostní – placení přeúčtováním částek z jednoho účtu na jiný

Peněžní ústavy instituce, u kterých si ukládáme ve formě vkladů (depozit) peníze nebo si je půjčujeme ve formě úvěrů např.: Česká spořitelna (ČS) Poštovní spořitelna Komerční banka

věřitel osoba (instituce), která peníze poskytuje (půjčuje) dlužník osoba (instituce), která si peníze vypůjčuje např.: osoba, která si vypůjčuje od peněžního ústavu je dlužníkem peněžního ústavu a peněžní ústav je jejím věřitelem

vklad (depozitum) úvěr úrok (u) různá hodnota svěřená do úschovy nejčastější formou depozit u peněžních ústavů jsou peníze za uložení peněz a jejich ochranu získá vkladatel úrok úvěr zapůjčený obnos peněz, za který platí dlužník svému věřiteli úroky úrok (u) odměna za půjčení peněz částka v Kč, kterou obdrží věřitel po uplynutí úrokovací doby

Běžný účet Termínovaný vklad Vkladní knížky Depozitní certifikát majitel si může peníze kdykoliv vybírat Termínovaný vklad smlouva mezi peněžním ústavem a vkladatelem po dobu uložení nelze peníze vybrat krátkodobé (1 – 11 měsíců) střednědobé (1 – 2 roky) dlouhodobé (3 a více let) Vkladní knížky Depozitní certifikát - cenný papír, který vydává banka (dlužník) klientovi (věřiteli) jako potvrzení o přijetí vkladu vkladový certifikát depozitní list vkladový list

Obchodní metoda pro počítání úroků 1 rok = 360 dní 1 měsíc = 30 dní = 1/12 roku 1 den = 1/360 roku nezapočítává se den uložení peněz, den výběru se počítá

Základní pojmy v úrokovém počtu jistina (základ) finanční částka, která je vložena nebo půjčena úrok - hodnota úroku (procentová část) peněžní částka, kterou je povinen dlužník zaplatit svému věřiteli připočítává se k jistině obvykle 1 krát za rok úroková míra (počet procent) výše úroku vyjádřená v procentech úroková sazba – p úroková míra vyjádřená desetinným číslem - u

úrokovací období úrokovací doba – t předem stanovený časový úsek, po jehož ukončení se z jistiny vypočítá smluvně stanovený úrok zpravidla roční úrokové období (zkratka p.a.) úrokovací doba – t časový úsek, po který je jistina uložena v peněžním ústavu nebo půjčena jiné osobě pro období kratší nebo delší než 1 rok

ZÁKLAD JISTINA - j ÚROKOVÁ MÍRA ÚROKOVÁ SAZBA - P POČET PROCENT PROCENTOVÁ ČÁST ÚROK - u

Jednoduché a složené úrokování Jednoduché úrokování úroky se počítají stále z počátečního vkladu (nepočítají se úroky z úroků) užívá se v praxi, je-li úrokovací doba menší nebo rovna jednomu úrokovacímu období Složené úrokování na konci 1. úrokovacího období se úrok počítá z vložené částky; na konci dalších úrokovacích období se úrok vypočítává z částky, která se skládá z původního vkladu a již dříve připsaných úroků

Daň z úroků úrok je příjem každý stát příjem zdaňuje zdanění úroku 15 % vkladní knížky běžné účty termínované vklady ..... 25 % depozitní certifikáty

Výpočty - úrok, jistina, úroková míra úsudkem trojčlenkou vzorcem

VÝPOČET ÚROKU Pan Veselý si do banky uložil 15 000 Kč. Vypočtěte hodnotu ročního úroku z tohoto vkladu při roční úrokové míře 2 %. jistina ……….......j = 15 000 Kč úroková míra …..2% úroková sazba ....p = 0,02 úrok ............... u = ? Kč odvození vzorce u = 2 % z 15 000 Kč u = 0,02 . 15 000 u = 300 Kč 100% ........... 15 000 Kč 2% ........... x Kč x = 2 . 150 = 300 Kč u = p . j u = 0,02 . 15 000 Banka připíše panu Veselému na účet 300 Kč. Po roce bude mít na účtu 15 300 Kč.

u = p . j Vypočítejte úroky za úrokovací dobu 1 roku. Jistina 8 500 Kč výpočet procentové části u = p . j a) b) c) d) Jistina 8 500 Kč 10 000 Kč 50 800 Kč 2 000 Kč Úroková míra 4% 8% 3% 4,5% Úrok 340 Kč 800 Kč 1 524 Kč 90 Kč

u = p . j u j = p j = j = 12 400 Kč VÝPOČET JISTINY Kolik korun si paní Svobodová uložila u banky, jestliže při roční úrokové míře 2,5 % jí přibylo na účtu 310 Kč? u = p . j vzorcem úrok ……......... u = 310 Kč úroková míra …....2,5% úroková sazba ...p=0,025 jistina ................ j = ? Kč u j = p 2,5% ........... 310 Kč 100% ........... x Kč x = (310 : 2,5) . 100 = = 12 400 Kč 310 j = 0,025 j = 12 400 Kč Paní Svobodová si do banky uložila 12 400 Kč.

u j + u j = 12710 j = j = 1 + p 1,025 VÝPOČET JISTINY Kolik korun si paní Svobodová uložila u banky, jestliže při roční úrokové míře 2,5 % měla po jednom roce na účtu 12 710 Kč? u j = p jistina + úrok …... j + u= 12 710 Kč úroková míra …...2,5% úroková sazba ....p = 0,025 jistina ................ j = ? Kč vzorcem j + u j = 1 + p 102,5% ........... 12 710 Kč 100 % ........... x Kč x = (12 710:102,5). 100 = = 12 400 Kč 12710 j = 1,025 j = 12 400 Kč Paní Svobodová si do banky uložila 12 400 Kč.

u j = p Vypočítejte počáteční jistinu za úrokovací dobu 1 roku. Úrok výpočet základu a) b) c) d) Úrok 540 Kč 1 484 Kč 209 Kč 800 Kč Úroková míra 9% 3,5% 3,8% 5% Jistina 6 000 Kč 42 400 Kč 5 500 Kč 16 000 Kč

u = p . j p = p = VÝPOČET ÚROKOVÉ MÍRY vzorcem u Z jistiny 28 000 Kč připsala banka panu Růžičkovi za rok úrok 420 Kč. Určete příslušnou úrokovou míru. j = 28 000 Kč u = 420 Kč úroková míra...? u = p . j vzorcem u p = j 100% ............ 28 000 Kč x % ............ 420 Kč x = 420 : 280 = 1,5 % 420 p = 28000 p = 0,015 tj. 1,5% Pan Růžička uložil své peníze na účet s roční úrokovou mírou 1,5 %.

p = Vypočítejte úrokové míry za úrokovací dobu 1 roku. u j Jistina výpočet počtu procent a) b) c) d) Jistina 4 000 Kč 7 850 Kč 4 400 Kč 18 000 Kč Úrok 320 Kč 471 Kč 154 Kč 576 Kč Úroková míra 8 % 6 % Kč 3,5 % 3,2 %

Přehled vzorců pro výpočet úrok – u (procentová část) u = p . j u = 2 % z 15 000 Kč = 0,02 . 15 000 úroková sazba – p úroková míra (%) – 100 . p (počet procent) u p = j u j = p jistina – j (základ) j + u j = 1 + p

Vypočítejte chybějící údaje v tabulce za úrokovací dobu 1 roku. u = p . j a) b) c) Jistina - j 7 980 Kč 42 000 Kč Úroková míra 5% 6,5% Úrok - u 1050 Kč 13 013 Kč 200 200 Kč 2,5% 399 Kč

u = p . j Příklad 1: Vypočti hodnotu úroku z vkladu paní Novákové ve výši 18 400 Kč a) na 6 měsíců při úrokové míře 8% b) na 9 měsíců při úrokové míře 8,5%. ut = p . j . t a) t ...úroková doba b) j = 18 400 Kč p = 0,08 t = 6/12 roku = 0,5 roku ut = ? Kč j = 18 400 Kč p = 0,085 t = 9/12 roku = 0,75 roku ut = ? Kč u = 0,08 . 18 400 u = 1 472 ut = 1 472 . 0,5 ut = 736 Kč u = 0,085 . 18 400 u = 1 564 ut = 1 564 . 0,75 ut = 1173 Kč Hodnota úroku za 6 měsíců je 736 Kč, za 9 měsíců 1 173 Kč.

ut = p . j . t Příklad 2: Pan Orel má uloženo u KB 28 800 Kč. Vypočítejte úrok z tohoto vkladu a) za 3 měsíce téhož roku při úrokové míře 7% b) za 7 měsíců téhož roku při úrokové míře 7,5%. a) j = 28 800 Kč p = 0,07 t = 3/12 roku = 0,25 roku ut = ? Kč b) j = 28 800 Kč p = 0,075 t = 7/12 roku ut = ? Kč ut = 0,07 . 28 800 . 0,25 ut = 504 Kč ut = 0,075 . 28 800 . 7 : 12 ut = 1 260 Kč Hodnota úroku za 3 měsíce je 504 Kč. Hodnota úroku za 7 měsíců 1 260 Kč.

p = 0,07 tj. 7% p = 0,42 tj. 42% p = 0,1 tj. 10% Procvičení Př. 1: Státní dluhopisy v hodnotě 10 000 Kč se po roce prodávaly za 10 700 Kč. Jaká byla jejich roční úroková sazba? p = 0,07 tj. 7% řešení Př. 2: Dva kamarádi se dohodli, že jeden půjčí druhému 58 000 Kč a po čtyřech měsících vrátí 66 120 Kč. Jaká roční úroková míra odpovídala jejich dohodě? řešení p = 0,42 tj. 42% Př. 3: Podnikatel si půjčil 94 800 Kč. Celou půjčku i s úroky splatí za 1 rok měsíčními splátkami 8 690 Kč. S jakou roční úrokovou mírou si vypůjčil peníze? p = 0,1 tj. 10% řešení další

Řešení – př. 1 Státní dluhopisy v hodnotě 10 000 Kč se po roce prodá-valy za 10 700 Kč. Jaká byla jejich roční úroková sazba? zpět Výpočet: j = 10 000 Kč u = 700 Kč p = ? Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 10 000 Kč x % ............ 700 Kč x = 700 : 100 = 7 % Vzorcem: u p = j 700 p = 10 000 p = 0,07 tj. 7% Roční úroková sazba státní dluhopisů je 0,07. Roční úrokovou mírou je 7%.

Řešení – př. 2 Dva kamarádi se dohodli, že jeden půjčí druhému 58 000 Kč a po čtyřech měsících vrátí 66 120 Kč. Jaká roční úroková míra odpovídala jejich dohodě? j = 58 000 Kč u = (66 120 – 58 000) Kč za 4 měsíce p = ? úrok za 4 měsíce .....8 120 Kč úrok za rok .... 8 120 . 3 = 24 360 Kč Vzorcem: u p = j Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 58 000 Kč x % .......... 24 360Kč x = 24 360 : 580 = 42 % 24 360 p = 58 000 p = 0,42 tj. 42% Dohodli se na roční úrokové míře 42%.

Řešení – př. 3 Podnikatel si půjčil 94 800 Kč. Celou půjčku i s úroky splatí za 1 rok měsíčními splátkami 8 690 Kč. S jakou roční úrokovou mírou si vypůjčil peníze? j = 94 800 Kč měsíční splátky za rok ..... 8 690 . 12 = 104 280 Kč u = 104 280 – 94 800 = 9 480 Kč p = ? Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 94 800 Kč x % ............ 9 480 Kč x = 9 480 : 948 x = 10% Vzorcem: u p = j 9 480 p = 94 800 p = 0,1 tj. 10% Peníze si půjčil s roční úrokovou mírou 10%.

Procvičení Př. 1: O kolik korun vzroste v bance za 8 měsíců vložená částka 45 000 Kč při roční úrokové sazbě 0,04? řešení Př. 2: Firma získala od banky úvěr ve výši 168 000 Kč a roční úrokovou mírou 12% a s odkladem splácení jistiny na 4 roky. Kolik firma zaplatí za dobu odkladu jen na úrocích? řešení Př. 3: Hoteliér si vzal na 1 rok úvěr s roční úrokovou sazbou 0,2 na opravu budovy. Podle smlouvy ho i s úrokem splatí čtyřmi stejnými platbami ve výši 102 000 Kč. Jakou částku si vypůjčil? řešení Př. 4: Otec se při nákupu auta s prodávajícím domluvil, že mu zaplatí polovinu ceny v hotovosti a zbytek bude splácet 12 měsíců splátkami ve výši 16 000 Kč. Dohodli se na úrokové sazbě 0,2. Jaká byla cena auta? další řešení

Řešení – př. 1 O kolik korun vzroste v bance za 8 měsíců vložená částka 45 000 Kč při roční úrokové sazbě 0,04? Výpočet: j = 45 000 Kč p = 0,04 u = ? Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 45 000 Kč 4 % ............ x Kč x = 4 . 450 = 1 800 (za 1 rok) za 8 měsíců ... (1800 : 12) . 8 = = 1 200 Kč Vzorcem: u = p . j u = 0,04 . 45 000 u = 1 800 Kč u8 = (1 800 : 12) . 8 u8 = 1 200 Kč Částka v bance vzroste za 8 měsíců o 1 200 Kč.

Řešení – př. 2 Firma získala od banky úvěr ve výši 168 000 Kč s roční úrokovou mírou 12% a s odkladem splácení jistiny na 4 roky. Kolik firma zaplatí za dobu odkladu jen na úrocích? Výpočet: j = 168 000 Kč p = 0,12 u = ? (4 roky) Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 168 000 Kč 12% ............ x Kč x = 12 . 1 680 = 20 160 za 4 roky ... 20 160 . 4 = = 80 640 Kč Vzorcem: u = p . j u = 0,12 . 168 000 u = 20 160 Kč za 4 roky ... 20 160 . 4 = = 80 640 Kč Firma zaplatí na úrocích za dobu odkladu 80 640 Kč.

Řešení – př. 3 Hoteliér si vzal na 1 rok úvěr s roční úrokovou sazbou 0,2 na opravu budovy. Podle smlouvy ho i s úrokem splatí čtyřmi stejnými platbami ve výši 102 000 Kč. Jakou částku si vypůjčil? j + u = 4 . 102 000 Kč p = 0,2 j = ? Výpočet: Trojčlenkou, úsudkem: 4 . 102 000 = 408 000 Kč 120% .......... 408 000 Kč 100% ............ x Kč x = (408 000 : 120) . 100 = = 340 000 Kč Vzorcem: j + u j = 1 + p 408 000 j = 1,2 j = 340 000 Kč Vypůjčil si 340 000 Kč.

Řešení – př. 4 Otec se při nákupu auta s prodávajícím domluvil, že mu zaplatí polovinu ceny v hotovosti a zbytek bude splácet 12 měsíců splátkami ve výši 16 000 Kč. Dohodli se na úrokové sazbě 0,2. Jaká byla cena auta? j + u = 12 . 16 000 Kč p = 0,2 j = ? Výpočet: Trojčlenkou, úsudkem: 12 . 16 000 = 192 000 Kč 120% .......... 192 000 Kč 100% ............ x Kč x = (192 000 : 120) . 100 = = 160 000 Kč 2 . 160 000 = 320 000 Kč j + u j = 1 + p Vzorcem: 192 000 j = 1,2 j = 160 000 Kč 2 . j = 2 . 160 000 Kč = 320 000 Auto stálo 320 000 Kč.

Daň z úroku 15 % 25 % vkladní knížky běžné účty termínované vklady ..... 25 % depozitní certifikáty

100% - 15% = 85% uz ... úrok po zdanění Příklad: Rodina Jílková si uložila v lednu do spořitelny 16 000 Kč při úrokové míře 6%. Jak velký úrok jim spořitelna připíše za jeden rok, je-li daň z úroku 15%? Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 16 000 Kč 6% ............ x Kč x = 6 . 160 = 960 Kč Vzorcem: u = 0,06 . 16 000 u = 960 Kč u = p . j uz = 0,85 . 960 uz = 816 Kč uz = 0,85 . u úrok po zdanění: uz = 0,85 . p . j 100% .......... 960 Kč 85% .......... x Kč x = 85 . 9,6 = 816 Kč uz = 0,85 . 0,06 . 16 000 uz = 816 Kč Za rok připíše spořitelna Jílkovým k úsporám 816 Kč.

Na konci roku jsme uložili na vkladní knížku s výpovědní lhůtou částku 8 000 Kč. Roční úroková míra je 4,2%. Kolik korun bude činit úrok po zdanění za první rok? (Daň z úroku je 15%.) Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 8 000 Kč 4,2% ............ x Kč x = 4,2 . 80 = 336 Kč Vzorcem: uz ... úrok po zdanění uz = 0,85 . p . j úrok po zdanění: 100% .......... 336 Kč 85% .......... x Kč x = 85 . 3,36 = 285,6 Kč uz = 0,85 . 0,042 . 8 000 uz = 285,60 Kč Úrok po zdanění bude 285,60 Kč.

Na konci roku uložíme na termínovaný účet na 1 rok částku 15 000 Kč Na konci roku uložíme na termínovaný účet na 1 rok částku 15 000 Kč. Roční úroková míra je 4,35%, daň z úroku je 15%. Kolik korun nám banka za rok vyplatí? Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 15 000 Kč 4,35% ............ x Kč x = 4,35 . 150 = 652,5 Kč Vzorcem: uz = 0,85 . p . j uz = 0,85 . 0,0435 . 15 000 uz = 554,6 Kč 100% ......... 652,5 Kč 85% .......... x Kč x = 85 . 6,52 = 554,6 Kč 15 000 + 554,6 = 15 555 Kč 15 000 + 554,6 = 15 555 Kč Za rok nám banka vyplatí 15 555 Kč.

Výpočet celkové částky úrok po zdanění uz = 0,85 . p . j celková částka jc jc= vklad (jistina) + úrok po zdanění jc = j + 0,85 . p . j jc = j . (1 + 0,85 . p)

Podnikatel si uložil jistinu 150 000 Kč na 9 měsíců při úrokové míře 4,5%. Kolik korun činí úrok z uvedené částky po 9 měsících. Vypočti výši čistého úroku při 15% dani. Trojčlenkou, úsudkem: 100% .......... 150 000 Kč 4,5% ............ x Kč x = 4,5 . 1500 = 6 750 Kč Vzorcem: uz = 0,85 . p . j uz = 0,85 . 0,045 . 150 000 uz = 5 737,5 Kč 100% ......... 6 750 Kč 85% .......... x Kč x = 85 . 67,5 = 5 737,5 Kč uz = 0,85 . p . j . t uz = 0,85 . 0,045 . 150 000. 9/12 uz = 4 303 Kč za 12 měsíců ... 5737,5 Kč za 9 měsíců ....(5737,5 :12) . 9 = = 4303 Kč Čistý úrok je 4 303 Kč.

Finanční matematika – 9. ročník ZŠ Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP Professional MS Office Zoner - České kliparty 1, 2, 3 učebnice matematiky Obrázky z internetu Autor: Mgr. Bohumila Zajíčková ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.zsrozmital.cz)