Určitý integrál. Příklad. Na ploše 10 m x 10 m se vysazuje stejný typ rostlin ve 2 barvách. Obě barvy jsou odděleny křivkou y = x ( 1 – 0.1x ). Kolik procent celkové plochy tvoří jednotlivé barevné plochy. Potřebujeme spočítat plochu pod křivkou a % z 100 m 2 Plocha se počítá pomocí určitého integrálu (100 – a) % Princip výpočtů – neurčitý integrál

Jeden možný postup. Horní dělení: S H =  (“plocha“ obdélníků opsaných křivce) Dolní dělení: S D =  (“plocha“ obdélníků vepsaných do křivky) 𝑆 𝐻 a 𝑆 𝐷 závisejí na dělení osy x. Označíme-li interval dělení (šířka obdélníka) h, pak můžeme psát S H (h), S D (h). Definujeme určitý integrál na intervalu (a, b) lim ℎ→0 𝑆 𝐷 ℎ = lim ℎ→0 𝑆 𝐻 ℎ ≡(𝑅) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 “plocha“ obdélníka: f (m) h, kde f (m) je buď minimum, nebo maximum funkce f v intervalu délky h na ose x. určitý integrál z kladné funkce je kladný, ze záporné funkce je záporný. pokud je (a, b) konečný, nezáleží na jeho typu.

Jiný možný postup. Nechť funkce f má na intervalu (a, b) primitivní funkci F. Definujeme (Newtonův) (určitý) integrál na intervalu (a, b) (𝑁) 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑥→ 𝑏 − 𝐹 𝑥 − lim 𝑥→ 𝑎 + 𝐹 𝑥 Nechť f je spojitá na intervalu (a, b). Pak f má primitivní funkci na tomto intervalu. 𝑅 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= 𝑁 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 v tomto případě budeme mluvit o určitém integrálu na intervalu (a, b). Poznámka. Newtonův integrál 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 existuje právě když existuje primitivní funkce na tomto intervalu existují lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 a lim 𝑥→𝑏− 𝑓 𝑥 Poznámka. Interval (a, b) je libovolného druhu, tj. uzavřený, polouzavřený, otevřený.

Příklad. Příklad. Příklad (úvodní). tj. zhruba 16.7% (ze 100m2).

Integrace per partes pro určitý integrál. Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v intervalu (a, b). Nechť existuje . Pak Příklad. Určete velikost plochy pod křivkou f (x) = x sin(x) na intervalu (0, ).

Substituce v určitém integrálu. Nechť funkce g má primitivní funkci na intervalu (a, b), nechť f je diferencovatelná funkce na intervalu (c, d), R( f )  (a, b). Pak Příklad. Určete obsah kruhu o poloměru r. Stačí vypočítat obsah horního půlkruhu a vypočtený obsah násobit 2. (Jinak by takto popsaný kruh měl obsah roven 0!!!!!!

Substituce x / r = y. Pak dx / r = d y. Když x = - r, pak y = - r / r = - 1. Když x = r, pak y = 1. = (*) Substituce y = sin z. Pak dy = cos z dz. Když y = -1, pak z = -/2, když y = 1, pak z = /2. Platí (ověřte!!) (*) = Substituce 2z =p, 2zdz = dp. Když z = /2, pak p =  (protože poslední integrál je roven 0 – ověřte!!!!) Plocha horního půlkruhu je tedy rovna r 2 / 2, tedy plocha kruhu je rovna r 2 .

Příklad. Určete plochu na intervalu (0, 1), která je pod křivkou f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) a nad křivkou g ( x ) = x (1 - x). f ( x ) g ( x )

Příklad. Vpočítejte. Příklad. Vpočítejte. A (x – 3) + B (x + 1) = 1  A = -B = 0.25

= log (1/3)0.25  - 0.275 Příklad. Vypočítejte obsah oblasti ohraničené křivkami y = x 2, y 2 = x, x  0. Společné body křivek: [x, y] = [0, 0] [x, y] = [1, 1] Plocha je rovna 2/3 - 1/3 = 1/3.

Nechť f má spojitou derivaci na intervalu (a, b) Nechť f má spojitou derivaci na intervalu (a, b). Délka křivky daná grafem funkce f (tj. množinou {[x, y]  R2, y = f(x)}) je L = 𝑎 𝑏 1+ ( 𝑓 / 𝑥 ) 2 𝑑𝑥 . Nechť f je spojitá na intervalu (a, b), nechť 0 ≤ f (x), x  (a, b). Nechť M = {[x, y] (a, b) x (0, f(x)}. Objem tělesa vzniklého rotací M kolem osy x je V =  𝑎 𝑏 𝑓 2 𝑥 𝑑𝑥 . Nechť f má spojitou derivaci v intervalu (a, b). Velikost plochy vzniklé rotací množiny M kolem osy x je P = 2 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) 1+ ( 𝑓 / 𝑥 ) 2 𝑑𝑥 . Příklad. Vypočtěte objem koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2. Aby se integrály nevynulovaly, počítáme 2x rotaci půlkruhu. Objem koule tedy je 4  r 3 / 3.

Příklad. Vypočtěte povrch koule o poloměru r. Koule vznikne rotací kružnice x 2 + y 2 = r 2 okolo osy x. 𝑦= 𝑟 2 − 𝑥 2 , x<r je “horní půkružnice“. Necháme ji rotovat kolem osy x. 𝑦 / 𝑥 = −𝑥 𝑟 2 − 𝑥 2 , 1+ ( 𝑦 / ) 2 = 𝑟 2 𝑟 2 − 𝑥 2 . P = 2 −𝑟 𝑟 𝑟 2 − 𝑥 2 𝑟 2 𝑟 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =2𝑟 −𝑟 𝑟 𝑑𝑥= 4 𝑟 2 . Příklad. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami 𝑦= 𝑥 2 a 𝑦=2− 𝑥 2 kolem osy x. Nejprve je nutno zjistit průsečíky obou funkcí, tudíž integrační meze. 𝑥 2 =2− 𝑥 2  𝑥= ±1. 𝑉= 𝑉 2 − 𝑉 1 , kde 𝑉 2 = −1 1 (2− 𝑥 2 ) 2 𝑑𝑥= −1 1 4−4 𝑥 2 + 𝑥 4 𝑑𝑥= [4𝑥− 4 3 𝑥 3 + 𝑥 5 5 ] −1 1 = 86 15  . 𝑉 1 = −1 1 𝑥 4 𝑑𝑥=  [ 𝑥 5 5 ] −1 1 = 2 5 . 𝑉= 16 3 .

Příklady k procvičení. Určete objem a povrch tělesa, které vznikne rotací plochy pod f ( x ) = 0.5 - x (1 – x) na intervalu (0, 1) kolem osy x. Vypočtěte objem a povrch kužele, který vznikne rotací úsečky y = r x / v kolem osy x na intervalu (0, v ), v je výška kužele, r je poloměr podstavy.