CW – 05 TEORIE ROZHODOVACÍCH PROCESŮ Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Fakulta stavební VUT v Brně © Ing. Václav Rada, CSc. 23. PŘEDNÁŠKA Březen 2016 Teorie grafů – 3 (pokr.) Navazuje na předn. č. 16

TEORIE GRAFŮ 3. pokračování březen 2016 ☺ ‍۩‍۩

Březen 2016 další ….. METODY ŘEŠENÍ jsou z oblasti TEORIE GRAFŮ ☺ POKRAČOVÁNÍ

březen 2010 GRAFY - JEDNOTAŽKY Teorie GRAFŮ Má-li graf nevelký počet vrcholů a zejména hran, lze jej asi nejsrozumitelněji popsat dia- gramem. Má to však dvě nevýhody. Obrázek často svádí k jednostrannému po- hledu (srovnej následující obrázek) a není vhodný jako vstup do počítače.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Izomorfní grafy Ne každý graf je rovinný a i rovinný graf lze nakreslit nerovinným způsobem. Jeden a týž graf nakreslený třemi různými způsoby je na následujícím obrázku. Jedná se o příklad navzájem izomorfních grafů. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Navzájem izomorfní grafy

Teorie grafů Březen 2016 Na předchozím obrázku je nakreslen jeden a týž graf třemi různými způsoby. Jedná se tedy o příklad navzájem izomorfních grafu. Vzhledem k třetímu způsobu zakreslení však jde o rovinný graf.

březen 2010 Teorie GRAFŮ - POPIS maticový popis grafu Používají se různé způsoby popisu grafu. Matematicky elegantní je maticový popis grafu. Pro zadání grafu je vhodné označit uzly přirozenými čísly 1,..., n. Incidenční (vazební) matice (sousednosti) čtvercová matice Incidenční (vazební) matice (sousednosti) vrcholu grafu je čtvercová matice n-tého řádu, kde n je počet uzlů, jejíž prvky a ij udávají počet hran, které spojují vrcholy i, j.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Pro neorientované grafy je matice symetric- ká, bez smyček má na hlavní diagonále nuly, u multigrafu její prvky mají i hodnoty větší než jedna. Maticový popis grafu s málo hranami je dosti neúsporný. Matice pak obsahuje značné procento nul a vyhledávání nenulových prvků stojí zbytečně mnoho času.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Příklad: graf, jehož množiny vrcholů a hran jsou popsány výčtem prvků: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, H = {{1, 4}, {1, 5}, {2, 5}, {3, 5}, {3, 6}, {5, 6}}.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Incidenční matice tohoto grafu má tvar: Obrázek grafu

březen 2010 Teorie GRAFŮ Popis tohoto grafu lze úsporněji zakódovat do následující posloupnosti: (6, 6, 1, 4, 1, 5, 2, 5, 3, 5, 3, 6, 5, 6). První číslo udává počet uzlu, druhé počet hran, a pak následuje soupis všech hran (závorky v označení se vynechávají)…….. (6, 6, (1, 4), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (5, 6)).

březen 2010 Teorie GRAFŮ Popis vzniku grafu – typ jednotažka. L. Euler v roce 1736 dokázal, že existují grafy, které lze projít tzv. „jedním tahem“. A dále odvodil, kdy taková procházka není možná. Tento okamžik bývá označován za počátek teorie grafů.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Euler dokázal, že vytvořit tah procházející všemi hranami souvislého neorientovaného dvou předpokladů grafu je možné pouze při splnění jednoho z těchto dvou předpokladů: – buď jsou všechny uzly grafu sudého stupně a pak je možné začít v kterémkoliv z nich a na konci se do něj opět navrátit (jde o tzv. uza- vřený eulerovský tah) – ……….

březen 2010 Teorie GRAFŮ – anebo jsou dva uzly lichého stupně a všechny ostatní uzly sudého stupně – pak je nutné začít v některém uzlu lichého stupně a tah bude ukončen ve druhém uzlu lichého stupně jde o tzv. otevřený eulerovský tah

březen 2010 Teorie GRAFŮ eulerovský graf Graf se nazývá eulerovský graf, jestliže všechny jeho uzly mají sudý stupeň větší nebo rovný dvěma. existuje tah právě jednou Graf lze sestrojit jedním tahem, když v něm existuje tah obsahující všechny hrany grafu a každou právě jednou.

březen 2010 Teorie GRAFŮ O něco komplikovanější situace nastává, uva- žujeme-li graf orientovaný. Pak musí platit: – buď vstupní stupeň se rovná výstupnímu stupni ve všech uzlech grafu – pak je možné nalézt uzavřený eulerovský tah, – anebo je v jednom uzlu výstupní stupeň o jednotku větší – zde se musí začít – a sou- časně v jiném uzlu o jednotku menší – zde se bude končit.

březen 2010 Teorie GRAFŮ hamiltonovský. William R. Hamilton v polovině 19. století po- psal graf v něm existuje kružnice (cyklus) pro- cházející všemi uzly grafu – hamiltonovský. Název patří grafu, který má dvacet vrcholů pravidelného dvanáctistěnu – jeho povrch je tvořen jedenácti shodnými pětiúhelníky.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Hamilton připojil ke každému vrcholu jméno některého světového velkoměsta a nabídl výrobci hraček hlavolam, jehož řešením je cesta kolem světa po hranách dvanáctistěnu, během níž se vyjde z některého města, kaž- dým z dalších měst se projde právě jednou a nakonec se vrátí do výchozího města.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Základní vzhled grafu podle zadání

březen 2010 Teorie GRAFŮ Hamiltonova grafová formulace hlavolamu: Je dán graf o 20 uzlech (vrcholy dvanácti- stěnu), 30 hran grafu, které odpovídají hra- nám dvanáctistěnu. Jde o pravidelný graf 3. stupně na dvaceti uzlech. Úkolem je v tomto grafu najít kružnici prochá- zející všemi uzly (tzv. hamiltonovskou kruž- nici).

březen 2010 Posouzení výsledku Teorie xx

březen 2010 Teorie GRAFŮ Je však zřejmé, že existují grafy, které hamil- tonovské nejsou. Takové jsou například všechny stromy, protože v nich neexistuje žádná kružnice, tím méně hamiltonovská kružnice. Dále například graf vrcholů a hran rhombic- kého dodekaedru také není hamiltonovský – je zobrazen na obrázku.

březen 2010 Teorie GRAFŮ Na grafu je 6 černých a 8 bílých vrcholů, které jsou umístěny tak, že se na každé hraně stří- dají. Proto sestrojit cestu takovou, aby pře- chod od vrcholu k vrcholu byl doprovázen změnou barvy není možný. K tomu by bylo potřeba, aby černých a bílých vrcholů byl stejný počet.

březen 2010 Teorie GRAFŮ rhombický dodekaedr

březen 2010 Teorie GRAFŮ Platí tato tvrzení: Úplný graf s více než dvěma vrcholy je vždy hamiltonovský. Jestliže pro graf s n uzly (n ≥ 3) platí: st u + st v ≥ n pro každé dva různé uzly, které nejsou spo- jeny hranou, pak je hamiltonovský. Dostatečná podmínka, aby byl graf hamilto- novský; nutná podmínka není známa.

březen 2016 …..… cw05 – 23 / 16-3 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují ……….. ………..

…… přednášková prezentace číslo 16 je úvodní a na ni navazují čísla 22, 23 a 25 … Březen 2016