Proseminář z matematických metod fyziky Ústav teoretické fyziky MFF UK Troja, 10. patro Pro vědu se Schliemannův nemetodický postup, tj. že šel přímo k nejspodnější vrstvě, ukázal nejvýše blahodárným; při systematických vykopávkách by byly starší vrstvy a tím i kultura, kterou označujeme jako trójskou, sotva kdy objeveny. Eduard Meyer, německý historik

Nápis znamená, volně přeloženo, „Nevstupuj bez znalosti geometrie“, byl prý u vstupu do Platonovy Akademie v Athénách. Začínající matfyzák by měl znát nejen Pythagorovu větu, ale měl by i umět uvedený příkaz přehláskovat – analfabeti, tedy ti, kteří neznají řeckou alfabetu, budou mít potíže. Řeckých písmen se v matematice i fyzice hojně užívá, označují se jimi nejen úhly, ale i proměnné, indexy, řada základních fyzikálních konstant i řada elementárních částic. Proto je třeba je umět správně přečíst. Aγεωμέτρητος μηδε ὶ ς ε ἰ σίτω

Řecká alfabeta Pozn.: Jako matematické symboly se zpravidla neužívají písmena zaměnitelná s latinskými. Na konci slova se sigma píše jako ς. Písmena ϑ a  se často píši jako θ a φ.

Nature and Nature's laws lay hid in night; God said "Let Newton be" and all was light (Alexander Pope) Příroda a její řád spali v tmě Bůh „Budiž Newton řek’“ a světlo je If I have seen further it is by standing on the shoulders of Giants Viděl-li jsem dále, pak proto, že jsem stál na ramenech obrů

Johannes Kepler

Keplerovy zákony pro kruhovou dráhu F O

Princip setrvačnosti Příroda hovoří jazykem matematiky Galileo Galilei

René Descartes ( ) Omnia apud me mathematica fiunt U mě se vše matematikou stává Založil analytickou geometrii – místo kružítka a pravítka rovnice r Polohový vektor r  (x,y,z)

Co je to okamžitá rychlost? Rychlost = přírůstek dráhy za určitý čas = průměrná Zenonovy aporie Okamžitá rychlost – přírůstek dráhy za nekonečně malý čas To chce:

Derivace (Newtonův fluxion) f’ ≡ df/dx = lim Δx  0 Δf/ Δx derivace funkce f podle x = tg α tečny

FunkceDerivace (c je konstanta, c > 0) (e je Eulerovo číslo … ) (a je konstanta, a > 0, a ≠ 1)

Pravidla pro počítání s derivacemi Mějme dvě funkce u=u(x), v=v(x) Derivace součtu: (u + v)’ = u’ + v’ Derivace součinu: (u.v)‘ = u’v + uv’ Leibnizovo pravidlo Derivace složené funkce d(u(v(x))/dx = du/dv. dv/dx Dervace inversní funkce nechť y = f(x)  x=  (y). Pak dx/dy = (dy/dx) -1 Obrácená úloha, integrace, – nalezení primitivní funkce k dané funkci je mnohem obtížnější a nemá vždy řešení – primitivní funkce k funkci vytvořené z elementárních funkcí obecně není vyjádřitelná pomocí elementárních funkcí. Pomocí těchto pravidel umíme spočítat derivaci každé funkce vytvořené z elementárních funkcí – stačí k tomu inteligence delfína.

Příklady: (x 4 )’ = ((x 2 ) 2 )’ = (x 2. x 2 )’ Jako derivace složené funkce: y = z 2, z = x 2 dy/ dz = 2z = 2 x 2, dz/dx = 2x  dy/dx = 4x 3 Jako derivace součinu: (x 2. x 2 )’ = 2x. x 2 + x 2. 2x = 4x 3 2cos 2x (sin (2x))’ Jako složenou funkci: y = sin z, z= 2x dy/dz = cos z = cos 2x, dz/dx = 2 dy/dx = 2cos 2x Jako součin: y = 2 sin x. cos x, y’ = 2. (cos 2 x – sin 2 x) = 2cos 2x

Za stejných vnějších podmínek (vítr a tak) zasáhnu cíl, když z určitého místa vyšlu šíp rychlostí určité velikosti a směru Matematický zápis: R = f (x 0, v 0, t) Dvakrát derivuj: R’ = f’(x 0, v 0, t) R’’ = f’’(x 0, v 0, t) Vypočti počáteční hodnoty x 0, v 0 pomocí okamžitých hodnot R, R’ a dosad´ do posledního vztahu. R’’ = f’’(R, R’, t) Ejhle, diferenciální rovnice!

Věta o existenci a jednoznačnosti řešení soustavy diferenciálních rovnic Nechť jsou funkce spojité v nějaké oblasti a mají tam spojité derivace podle y i. Pak každým bodem oblasti prochází právě jedno řešení soustavy diferenciálních rovnic i=1,2 … n. Komentář: Obecné řešení závisí na n konstantách. Požadavek, že pro určitou hodnotu x nabývají funkce hodnot y 0i jednoznačně určí tyto konstanty. Newtonovy pohybové rovnice jsou ale druhého řádu? Každou rovnici druhého řádu můžeme převést na ekvivalentní soustavu dvou rovnic prvního řádu: x’’ = (x’)’ = F (x, x’,t) (1) položme x’ = y(2)(1)  (2) + (3) pak y’ = F (x,y,t) (3) Newtonovy rovnice přepisujeme x’ = p/m p’ = F(x,p,t)

Exponenciální funkce s komplexním mocnitelem e (a+ib) = e a. e i b = e a (cos b + i sin b) e i(α+ β) = cos (α+ β) + i sin (α+ β) = cos α cos β – sin α sin β + i (sin α cos β + cos α sin β) = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) = e iα. e i β Rovinná vlna Ae i(kx-ωt)  A[cos (kx-ωt) + i sin(kx-ωt)]

Harmonický oscilátor = ½ fyziky my’’ = - ky Harmonický oscilátor netlumený y‘‘ + ω 2 y = 0(ω 2 = k/m) Obecné řešení y = C 1 cos(ωt) + C 2 sin(ωt) y = A cos(ωt + φ) kde C 1, C 2 resp. A, φ jsou libovolné konstanty Hookův zákon: c e i i i n o s s s t t u v = Ut tensio sic vis Kmitající pružina, oscilační obvod, kmity struny, energie elektromagnetického pole součet energií oscilátorů, kvarky – asymptotická volnost Modul pružnosti kruhová frekvence

Komplexní čísla a Cimrmanův úkrok stranou Fundamentální věta algebry – každá algebraická rovnice n-tého stupně má právě n kořenů Komplexní funkce reálné proměnné – zobrazení z reálných čísel do komplexních čísel e ix = cos x + i sin x je příklad Kvantová mechanika – stav popisuje komplexní vlnová funkce ψ hustota pravděpodobnosti ψ ψ* - tedy reálné číslo Komplexní funkce komplexní proměnné – zobrazení z komplexních čísel do komplexních čísel I ty velké fyzikální aplikace Součet řady … = , ale také -1/12 pomocí analytického prodloužení

Harmonický oscilátor tlumený y‘‘ + ay’ + b y = 0 Obecná metoda řešení lineární diferenciální rovnice 2. (n-tého) řádu: Hledejme řešení ve tvaru y = e λt. Po dosazení do rovnice dostaneme (λ 2 + a λ + b) e λt = 0 λ 2 + a λ + b = 0 … charakteristická rovnice má obecně dva kořeny λ 1, λ 2. Obecné řešení je pak y = C l exp(λ 1 t) + C 2 exp(λ 2 t). Příklad y’’ + 2y’ + 4y = 0 λ 2 + 2λ + 4 = 0 Λ 1,2 = 1/2 (-2   -12) = -1  i  3 y = C l e (-t + i  3 t) + C 2 e (-t - i  3 t) y=K.e -t cos(  3 t + φ)

TAYLOROVA ŘADA

y’’ + 2y’ + 4y = 0 Malé tlumení y’’ + 0.2y’ + 4y = 0 Přetlumení y’’ + 4y’ + 4y = 0

Lineární diferenciální rovnice nehomogenní y’’ + a y’ + by = f(x)y’ = dy/dx Věta: Obecné řešení této rovnice je obecné řešení homogenní rovnice (na pravé straně nula) + libovolné řešení rovnice s pravou stranou (tzv. partikulární) Příklad 1 – netlumený oscilátor v gravitačním poli y‘‘ + ω 2 y = g g je konstanta y = A cos(ωt + φ) + g/ω 2 Obecné řešení homogenní rovnice Partikulární řešení Obecné řešení nehomogenní rovnice Řešení říká, že se jen posune rovnovážná poloha Příklad 2 – netlumený oscilátor s vynucující silou y‘‘ + ω 2 y = K cos ω 0 t K je konstanta Partikulární řešení: zkusíme hledat ve tvaru A cos ω 0 t (-A ω A ω 2 ) cos ω 0 t = K cos ω 0 t  A = K / (ω 2 -ω 0 2 )

Metoda substituční pro integraci Jestliže platí dF/dx = f, pak F je primitivní funkce k f, F=  f dx, čteme neurčitý integrál funkce f

Maurice Quentin de la Tour Slečna Ferrandová medituje nad Newtonem

Proseminář matematické fyziky

George Gamow (Jurij Gamov) Předpověď záření z raného vesmíru: V raném horkém vesmír záření v tepelné rovnováze s látkou. V rozpínajícím se vesmíru záření chladne  (Alpher, Bethe, Gamow) Tvoření prvků

Taylorova řada Komentář: vzorec platí, existují-li spojité derivace funkce f do n+1 řádu na intervalu. Existují-li derivace všech řádů a zbytek jde k nule pro n , nekonečná řada konverguje k funkci f(x) Lagrangeův výraz pro zbytek

Příklady užití Taylorova rozvoje

Integrál energie pohybových rovnic Mějme pohybovou rovnici tvaru Nechť platí. Pak funkce U je potenciál síly f. Poslední vztah je první integrál rovnice nahoře a interpretujeme jej jako zákon zachování mechanické energie Příklady: f = -mg U=mgx

Pohyb hmotného bodu v gravitačním poli Země Kinetická energie Potenciální energie Počáteční rychlost Hmotnost boduHmotnost Země Poloměr Země Gravitační konstanta E  0 pohyb do nekonečna E< 0 existuje bod obratu rychlost v 0 při které E=0 – úniková rychlost

Řešení diferenciální rovnice I. řádu separací proměnných Budiž a. Pak vztah G(y) = F(x) definuje implicite y = y(x) a platí

Řešení diferenciální rovnice I. řádu separací proměnných - kuchařka Diferenciální rovnici upravme do tvaru a integrujme levou stranu podle x a pravou podle y Dostaneme F(x) = G(y). Odtud vypočteme y = y(x), jež řeší výchozí rovnici. Poznámka: Oba integrály jsou určeny až na aditivní konstantu. Do řešení tedy vstoupí jedna libovolná konstanta.

Pohyb s únikovou počáteční rychlostí