Reálná funkce reálné proměnné Přednáška č.1

Požadavky ke zkoušce Na Tamtéž studijní literatura

Studijní okruhy Matematická analýza:  limita funkce  derivace funkce  primitivní funkce(integrály)  funkce více proměnných Lineární algebra: Matice Soustavy lineárních rovnic

Co budete nejvíce potřebovat z matematiky ze střední školy?  Práce se zlomky  Práce s mocninami a odmocninami  Úpravy algebraických výrazů  Řešení lineárních, kvadratických, exponenciálních a logaritmických rovnic  Pojem funkce a její vlastnosti

Množiny a kvantifikátory  kvantifikátory  Řecká abeceda

Reálná funkce reálné proměnné  Zobrazení  Reálná funkce reálné proměnné je zobrazení, kde  Proměnná (argument funkce, nezávisle proměnná) x  Funkční hodnota (závisle proměnná) y = f(x)  Definiční obor funkce f  Obor hodnot funkce f

Graf funkce  Graf funkce  Průsečík dvou funkcí f a g, taková x,pro která f(x)=g(x)

Různé způsoby zadání funkce  Funkční předpis  Funkční předpis je dán několika vzorci  Výčtem funkčních hodnot

Určení D f a H f z grafů funkcí 

Vlastnosti některých funkcí  Rovnost dvou funkcí  Sudá funkce  Lichá funkce  Periodická funkce  Omezená(ohraničená) funkce  Zdola omezená(ohraničená) funkce  Shora omezená(ohraničená) funkce

Inverzní funkce  Inverzní funkce k funkci f  Označuje se f -1   Existuje pouze k prosté funkci  D f -1 =H f  H f -1 =D f

Monotónní funkce  Rostoucí funkce na intervalu J  D f  Klesající funkce na intervalu J  D f  Neklesající funkce na intervalu J  D f  Nerostoucí funkce na intervalu J  D f

Absolutní(globální) extrémy  Absolutní (globální) maximum  Absolutní(globální) minimum  Funkce nemusí nabývat svého minima resp. maxima

Složená funkce  Složená funkce  f…vnitřní funkce  g…vnější funkce  Příklad: složená funkce h(x)=sinx 2  vnitřní funkce f(x)=x 2  vnější funkce g(x)=sinx

Funkce poptávky  Vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku, který je na trhu a množstvím výrobků, které jsou spotřebitelé ochotni zakoupit  Zákon poptávky: s rostoucí cenou poptávané množství klesá  Vždy klesající funkce  Popisuje reálnou situaci  Navíc tyto veličiny nemohou růst neomezeně  Nejčastěji lineární nebo kvadratická funkce

Funkce nabídky  Vyjadřuje vztah mezi cenou výrobku p a množstvím výrobků, které je výroba připravená vyrobit  Zákon nabídky: Výrobce se snaží vyrobit tím víc výrobků, čím vyšší je jejich cena.  Rostoucí funkce,  Závislost: lineární, kvadratická, exponenciální, logaritmická….

Rovnováha trhu  Situace, kdy se množství výrobků žádané obyvatelstvem je rovno množství výrobků, které jsou k dispozici na trhu.  Rovnovážná cena  Rovnovážné množství

Další funkce  Nákladová funkce C(Q)  Výnosová funkce R(Q)=p.Q  Zisková funkce Z(Q)=R(Q)-C(Q)

Limita a spojitost funkce

Nové pojmy  Pojem- libovolně malé, libovolně blízko  neomezeně velké, rostoucí nad všechny meze

Počítání s nevlastními body  Nevlastní body  Sčítání  Odčítání  Násobení

 Dělení

 umocňování

Okolí vlastního bodu  Okolí bodu  Pravé okolí bodu  Levé okolí bodu Redukované okolí bodu

Okolí nevlastního bodu  Okolí nevlastního bodu ∞  Okolí nevlastního bodu -∞

Chování funkce f v okolí bodu 3 kde Chování funkčních hodnot funkce f, když argument se přibližuje bodu 3 zprava funkčních hodnot funkce f, když argument se přibližuje bodu 3 zleva x3,13,053,013,005……3 f(x)6,16,056,016,005……6 x2,92,952,992,999……3 f(x)5,95,955,995,999……6

Chování funkce f v okolí bodu 3  Pokud se argumenty funkce f (vzory, nezávisle proměnná) „blíží“ hodnotě 3, pak funkční hodnoty (obrazy, závisle proměnná) jsou „blíže a blíže“ hodnotě 6  Řekneme, že funkce f má v bodě x=3 limitu 6

Definice limity  Nechť. Číslo nazýváme limitou funkce f v bodě a, když ke každému ε >0 existuje takové δ>0, že pro všechna x z redukovaného okolí bodu a platí |f(x)-A|<ε  Píšeme

Jednostranné limity funkce  Limita funkce f v bodě a zprava  Limita funkce f v bodě a zleva  Limita funkce f v bodě a  Limita funkce f v bodě a existuje, pokud

Může se stát, že funkce nemá v bodě a limitu A?  Ano, pokud je limita rovna hodnotě B  Ano, pokud limita zprava a limita zleva mají různou hodnu  Pokud k danému ε nelze nalézt žádné δ, pro které by platilo, že pro jakékoli x z redukovaného δ -okolí bodu a jsou f(x) v epsilonovém páse okolo hodnoty A

Nevlastní limity ve vlastní bodě  V případě, že v okolí bodu a funkční hodnoty f(x) neomezeně rostou( klesají) říkáme, že funkce f(x) má v bodě a nevlastní limitu

Vlastní limity v nevlastních bodech  V případě, že v okolí nevlastního bodu ∞ funkční hodnoty f(x) jsou „blízké“ hodnotě A říkáme, že funkce f(x) má v nevlastním bodě ∞ limitu A

Nevlastní limity v nevlastních bodech

vlastnosti limit funkcí  Limita funkce je lokální pojem  Limita funkce v bodě pokud existuje, pak je určena jednoznačně  Existence limity funkce f v bodě a nesouvisí s existencí či hodnotou f(a)  Limita funkce f v bodě a existovat vůbec nemusí

Vlastnosti limit  Jestliže a Potom platí

Vlastnosti limit funkcí Jestliže pak Jestliže funkce f a g mají tutéž limitu v bodě a pak pro funkci h, pro kterou platí, že

Spojitost funkce  Funkce f je spojitá v bodě a, právě tehdy když  Funkce f je spojitá na intervalu I, když je spojitá v každém bodě intervalu I

Výpočet limit typu a/0  Limity tohoto typu se počítají pomocí jednostranných limit. Spočteme limitu zprava, limitu zleva a pokud se obě limity rovnají, je jejich hodnota rovna hledané limitě. Pokud je hodnota limity zprava a limity zleva různá, hledaná limita neexistuje.

Příklad

Limity racionálních funkcí v nevlastních bodech  Vytkneme v čitateli nejvyšší mocninu x, stejně tak ve jmenovateli. Mocniny x vykrátíme. S využitím vlastnosti limit spočteme. Při výpočtu využíváme

Limity funkcí v jejichž předpisech se vyskytují goniometrické funkce  Předpis funkce se upraví s pomocí vztahů mezi goniometrickými funkcemi  Využije se vztahu

Limity funkcí v jejichž předpisech se vyskytují exponenciální funkce  Využije se vztahu

Diference funkce

 Definice: Mějme reálnou funkci f a h>0. diferencí funkce f v bodě x 0 z rozumíme číslo h nazýváme diferenční krok Funkci, která každému x z M přiřadí nazýváme diference funkce f na množině M

Poměrná diference  Definice: Nechť funkce f je reálná funkce, h>0 a x a x+h jsou z D f,, pak se nazývá poměrná diference funkce f v bodě x. Reálná posloupnost Diference

 h= n0123 xnxn 0,40,71,01,3 f(x n )5,86,66,37,5 Δ f(x n )0,8-0,31,2-

Vlastnosti diference funkce  Diference lineární funkce je konstantní

diference základních funkcí  k je konstanta Diference lineární funkce je konstantní

diference vyšších řádů  Druhá diference  n-tá diference

Směrnice sečny funkce f procházející body [a,f(a)] a [b,f(b)]  s diferenčním krokem h=b-a  Směrnice tečny k funkci f v bodě [a,f(a)]