Goniometrie jako oblast matematiky (3)

Projekt: CZ.1.07/1.5.00/ OAJL - inovace výuky Příjemce: Obchodní akademie, odborná škola a praktická škola pro tělesně postižené, Janské Lázně, Obchodní 282 Tento projekt je financován Evropskou unií – Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Autor:Richard Fiedler Předmět:Matematika

Obsah Definice pojmu1 Historie goniometrie2 Využití goniometrie3 Trojúhelník (1)4 Trojúhelník (2)5 Pravoúhlý trojúhelník6 Sinus7 Kosinus8 Tangens9 Kotangens10

Goniometrie (z řeckého gónia = úhel a metró = měřím) je oblast matematiky, která se zabývá goniometrickými funkcemi jako sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans, kosekans. Její součástí je také trigonometrie, která se věnuje praktickému užití těchto funkcí při řešení různých úloh o trojúhelnících. Definice pojmu 1

Základy goniometrie položili již Egypťané a Babyloňané. Po Alexandrově výpravě do Asie převzali tyto znalosti spolu s dělením plného úhlu na 360° Řekové. Dále v budování goniometrie pokračovali vědci z Indie a Arábie, kteří věnovali úsilí spíše kalkulačním problémům a aritmetickým algoritmům. Indové zavedli funkce, které se později ustálily pod jmény sinus a kosinus. Dnes používané termíny pro tangens (tečna) a kotangens, resp. sekans (sečna) a kosekans se objevily až během 16. a 17. století v Evropě. Historie goniometrie 2

V současnosti poznatky z goniometrie uplatňuje velké množství oborů, zejména pak astronomie, geodézie a satelitní navigační systémy k určování vzájemných pozic dvou bodů (tato technika se nazývá triangulace). Dále goniometrii využívá hudební teorie, akustika, optika, elektronika, biologie, statistika, lékařská diagnostika (ultrazvuk a tomografie), chemie, kryptologie, seismologie, oceánografie, meteorologie, fonetika, architektura, ekonomie, krystalografie, počítačová grafika a mnoho dalších fyzikálních věd. Využití goniometrie 3

Goniometrické funkce pracují s úhly v trojúhelníku, proto si v této části zopakujeme pojmy související s trojúhelníkem. Trojúhelník (1) 4 Trojúhelník je tvořen 3 vrcholy (nejčastější označení je A, B a C). Najdeme zde 3 strany - AB, BC, AC, které jsou ještě navíc pojmenovány malými písmeny (a, b, c) tak, že po daném vrcholu je vždy pojmenována protější strana, která není tvořena daným vrcholem.

Každý trojúhelník má 3 vnitřní úhly, které obvykle označujeme řeckými písmeny alfa α, beta β a gama γ. Součet všech tří vnitřních úhlů musí vždy dát 180 stupňů. α + β + γ = 180° Trojúhelník (2) 5 U vrcholu A máme obvykle úhel alfa, u vrcholu B úhel beta a u vrcholu C pak úhel gama. Přestože goniometrické funkce jsou platné u jakéhokoliv trojúhelníka, jejich definice se nejlépe demonstruje na pravoúhlém trojúhelníku.

Pravoúhlý trojúhelník má 1 vnitřní úhel o velikosti 90°. Součet dvou zbývajících úhlů je pak právě 90°, aby součet všech tří vnitřních úhlů byl roven 180°. Asi nejslavnější matematická věta vůbec, Pythagorova věta, platí právě v pravoúhlém trojúhelníku. Jak později zjistíme, Pythagorova věta je vlastně speciální případ kosinové věty. Pravoúhlý trojúhelník 6

Goniometrické funkce definují vztah mezi úhlem v trojúhelníku a poměrem délek dvou stran. Liší podle toho, s jakými stranami pracují. Sinus 7 Sinus úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce přepony.

Goniometrické funkce kosinus je velmi podobná funkci sinus a jako její sesterská funkce se v pravoúhlém trojúhelníku i obdobně definuje. Kosinus 8 Kosinus úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce přepony.

Tangens 9 U goniometrické funkce tangens nepotřebujeme pro její definování znát délku přepony, protože je definována pouze odvěsnami. Tangens úhlu alfa se rovná poměru délky protilehlé odvěsny ku délce odvěsny přilehlé.

Kotangens 10 Kotangens úhlu alfa se rovná poměru délky přilehlé odvěsny ku délce odvěsny protilehlé. Goniometrické funkce kotangens je svou definicí velmi podobná své sesterské funkci tangens, de facto je její převrácenou hodnotou.

Použité zdroje