Hynek Jemelík Gymnázium, Brno, tř. Kpt. Jaroše 14

Motivace Záliba ve hrách již od dětství Spravedlivé hry, kde vítězství závisí pouze na bystrém úsudku Rozsáhlá interdisciplinární matematická teorie her Jednoduché a intuitivní definice, přímočaré implementace a široká uplatnění Hry můžeme sčítat, odečítat, ale i násobit a dělit Dokonce existují hry, tvořící algebraické struktury Neexistují práce pokrývající toto téma v českém jazyce

Obsah práce Úvod do teorie kombinatorických her s cílem nastínit čtenáři jejich analyzování a pomoci mu objevit za nimi skrytou matematiku Čtenář se seznámí s postupy, jak hry sčítat, odečítat, klasifikovat, zjednodušovat, analyzovat a vyhrávat Značný prostor je věnován speciálním hrám, kterým říkáme Čísla a v algebraickém smyslu tvoří těleso V závěru práce uvádím návrh vlastního algoritmu, jak prakticky implementovat Nim-násobení dvou her

Klasifikace her Podle počtu hráčů: hra jednoho hráče hra dvou hráčů hra n hráčů Konečnost hry: konečné hry nekonečné hry Podle pravděpodobnosti výhry: spravedlivé nespravedlivé

Definice kombinatorické hry Kombinatorickou hrou rozumíme konečnou hru dvou hráčů s úplnou informací a bez náhody Každá hra je určena možnými stavy, ve kterých se může nacházet, přičemž rozlišuje, kdo je právě na tahu Hra končí dosažením koncového stavu, tedy stavu, kdy hráč, který je na řadě, již není schopen dalšího tahu

Nim Nejběžnější příklad kombinatorické hry Na stole leží n předmětů, v každém tahu odebíráme 1-4 předměty Cílem hry je odebrat poslední předmět Hru můžeme zobecnit na odebírání 1-m předmětů

Nim pro N hromádek Pro dvě hromádky – Tweedledum-Tweedledee Sčítání her pomocí Nim-součtu Pro N hromádek – Boutonova věta

Nim násobení Pro jisté hry, zvané hry typu otáčení mincí, má smysl definovat novou hru jako součin dvou her Ve své práci ukáži algebraické vlastnosti Nim-součinu a jeho vztahu k Nim-součtu

Hry zvané Čísla V praxi se ukazuje, že na důkazy některých tvrzení o Nim-součinu s původní definicí kombinatorické hry nevystačíme Ve své práci poté uvádím obecnější definici hry, která zahrnuje všechny výše zmíněné kombinatorické hry Podle tohoto obecnějšího přístupu je možné některé hry, nazveme je Čísla, sčítat a násobit S využitím matematického aparátu dokážeme, že Čísla tvoří těleso

Praktická implementace Nim součinu V odborné literatuře, ani nikde jinde, jsem nenašel způsob, jak implementovat výpočet Nim-součinu S využitím techniky dynamického programování a v mé práci dokázaných vlastnostní Nim-součinu a Nim-součtu jsem navrhl algoritmus pro výpočet Nim-součinu dvou čísel Důkaz správnosti algoritmu se opírá o věty uvedené v práci

Děkuji za pozornost Prostor pro Vaše otázky...