Význam diferenciálních rovnic převzato od Doc. Rapanta

Význam diferenc. rovnic Při změně souřadnice x v bodě x o velice malou hodnotu dx se souřadnice y změní o hodnotu dy. => o kolik se změní hodnota souřadnice y při malé změně souřadnice x

Význam diferenc. rovnic Neurčuje konkrétní souřadnici y pro zadanou souřadnici x, resp. x + dx Popisuje, jakým způsobem se mění hodnoty sledovaných veličin studovaného procesu, neříká však nic o jejich absolutních hodnotách

Význam diferenc. rovnic uvedená diferenciální rovnice = rovnicí tečny k parabole matematická interpretace - popis sklonu tečny v bodě x rovnice nevypovídá o umístění této tečny v souřadnicovém systému tečen může být nekonečně mnoho

Význam diferenc. rovnic Pro zjištění absolutní hodnoty veličin studovaného procesu, nutno zadat doplňující údaje, tzv. podmínky řešení, Podmínky řešení: –omezující podmínky, –okrajové podmínky, –počáteční podmínky,

Omezující podmínky Interval možných hodnot některých (nebo i všech) veličin studovaného procesu, např: zadání intervalu řešení

Okrajové podmínky Hodnoty veličin na hranicích řešené oblasti (vazba popisovaného procesu na okolí) Např. –pro x = 5 je y = 10

Počáteční podmínky Hodnoty některých veličin na počátku studovaného časového intervalu Nutno zadat, je-li studovaný proces proměnlivý v čase, je nestacionární (např. neustálené proudění podzemní vody)

Podmínky řešení Přesnost a správnost zadání okrajových a počátečních podmínek výrazně ovlivňuje přesnost a správnost výsledku modelování.

Podmínky jednonazčnosti řešení Úplný matematický popis modelovaného systému je dán:  diferenciální rovnicí popisující fyzikální proces,  rovnicemi pro počáteční podmínky,  rovnicemi pro okrajové podmínky,  omezujícími podmínkami,  popisem rozložení fyzikálních parametrů,  geometrickým tvarem oblasti M s hranicí oblasti označenou Γ.

Popis rozložení fyzikálních parametrů Mějme variantu původní rovnice: kde k je koeficient úměrnosti, který může být v prostoru proměnlivý, tj.:

Počáteční podmínka Určuje hodnotu závisle proměnné u v libovolném místě zkoumané oblasti M v čase t = 0:

Okrajové podmínky Vazbu zkoumané oblasti M na okolí (popisují, co se děje na hranici modelované oblasti), Lze je rozdělit na: –základní a –složité (časově proměnné, nelineární, kombinované apod.),

Základní okrajové podmínky Rozlišujeme: 1. druhu, 2. druhu, 3. druhu, a další.

Okrajová podmínka 1. druhu též označovaná jako Dirichletova, představuje známou hodnotu závisle proměnné u na hranici oblasti Γ: kde Γ s je bod na hranici oblasti Γ.

Okrajová podmínka 2. druhu též označovaná jako Neumannova, je dána gradientem funkce u na hranici oblasti Γ: kde n je normála k hranici Γ v bodě Γ s.

Okrajová podmínka 3. druhu smíšená podmínka, představuje lineární kombinaci podmínky 1. a 2. řádu:

Omezující podmínky Především v optimalizačních úlohách Minimální, maximální nebo jiné hodnoty řízené veličiny, sloužící jako kritérium optimalizace Např. maximální povolené snížené hladiny podzemní vody při čerpání vody ze studny apod.

Parciální diferencíální rovnice Diferencialní rovnice obsahujcí parcialní derivace nezname funkce podle více proměnných (obyčejná diferencialní rovnice - derivace podle jedné proměnné) Řád diferencialní rovnice odpovdá řádu nejvyšší derivace

Příklad Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je přímo úměrná rozdílu mezi teplotou čaje T a teplotou v místnosti T0 (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme k. Máme tedy diferenciální rovnici dT/dt = k. (T0-T)

Literatura Přednášky Doc. Rapanta Klímek, M.: Vytváření matematických modelů. mod.htm