Výuka matematiky od intuice a rutiny k porozumění a praxi Jana Musilová

Akademické fórum LIX únor Slovo předem Všechna tvrzení uvedená v této prezentaci představují osobní názor autorky, … … vzniklý na základě vlastního středoškolského a vysokoškolského studia a potvrzený dlouholetou praxí ve výuce matematiky pro fyziky. K některým z předložených snímků je nutný ústní komentář. Vše je určeno k diskusi a polemice, které uvítám.

Akademické fórum LIX únor Úloha na úvod Po volbách do 200členného parlamentu se do něj dostali poslanci 5 stran a nastala tato situace: Strana B získala dvakrát méně hlasů než strana A. Strana C získala tolik, co strana A. Strana D získala pouze 10% hlasů. Strana E získala také 10% hlasů. Které dvě strany mohou vytvořit alespoň třípětinovou koalici? (Z ukázkových testů Moravského gymnázia v Brně.)

Akademické fórum LIX únor Může intuice předcházet porozumění? Obvyklá (a správná) odpověď je „ANO“. Jak to koresponduje s naší úlohou? Uchazeč s dobrou matematickou představivostí, řekněme tedy intuicí, na základě zadání okamžitě řekne, že strany A a C (otázka je totiž dost sugestivní – slovo „dvě“). Složitější úloha se už pouhou intuicí zvládnout nedá.

Obvyklá (však nesprávná) odpověď je „NE“. Jak to koresponduje s naší úlohou? Řešení může rychle najít i ten, kdo intuitivní představu nemá, ale spočítal více podobných příkladů. S dostatkem rutiny lze zvládnout i složitější úlohy. Akademické fórum LIX únor Může „rutina“ předcházet porozumění?

Akademické fórum LIX únor Rutina jako pozitivní prvek Definice: Řekneme, že číslo L je limitou funkce f (x ) v bodě x 0, jestliže ke každému kladnému číslu ε existuje okolí O bodu x 0 tak, že pro všechna x O platí | f (x ) – L | < ε. Lze toto pochopit „jen tak“? A negace (číslo L není limitou dané funkce v daném bodě)? Vypočtení řady různých limit napomůže pochopení definice. Obdobně pro derivaci, jejíž význam je geometricky názorný (výpočet jak z definiční limity, tak podle vzorců z definice vyplývajících).

Ukázka: „rutinní“ výpočet limity vykrácením „nepohodlného jmenovatele“ x y 1234– x 1,2001,1001,0501,0201,1101,0051,0021,001 f(x)f(x) 1,6001,8001,9001,9601,9801,9901,9961,998 x 0,8000,9000,9500,9800,9900,9950,9980,999 f(x)f(x) 2,4002,2002,1002,0402,0202,0102,0042,002 Co si myslíte o možnosti „dělení nulou“? Jde to provést, nebo se tomu lze za určitých podmínek „přiblížit“? GfGf

Úloha: Do infuze o celkovém objemu W = 200 ml se přidávají dvě účinné látky. První z nich je v ampulích o objemu V 1 = 20 ml v koncentraci p 1 = 30 % (objemových), druhá v ampulích o objemu V 2 = 40 ml v koncentraci p 2 = 50 %. Výsledná koncentrace obou účinných látek v infuzi má být q = 15 % a poměr jejich koncentrací q 1 / q 2 = p = 0,5. Kolik ml roztoku 1 a kolik ml roztoku 2 je třeba dát do infuze? Řešení dosazením do naučených vzorců: Akademické fórum LIX únor Rutina jako negativní prvek

Příběh hypotetický jen zdánlivě – I Sultán chtěl provdat dceru alespoň průměrně chytrému ženichovi. Do užšího výběru měli projít úspěšní řešitelé úlohy (tzv. testu předpokladů), kterou pro ten účel vymyslel sultánův šašek (autor): V jakém poměru musíme smíchat 60% roztok s 15% roztokem, aby vznikl roztok 50%? Řešení je toto: Akademické fórum LIX – 12. únor = 60% 15%50%50% xyx+y Akademické fórum LIX únor 20159

Příběh hypotetický jen zdánlivě – II Sultán dal úlohu posoudit svým čtyřem vezírům-manažerům. Ti nad ní hloubali a nakonec se mezi nimi a šaškem odehrála tato ová diskuse: Vezíři: Pokud neznáme vzorec, tak jsme totálně vyhořeli. Šašek: Mně se úloha líbí – obejdu se totiž bez vzorců, neboť si (bohužel) nikdy žádné nepamatuji. Vezíři: Lámali jsme to tady čtyři a museli jsme si napsat starému čaroději na chemii o vzorec. To je dost jednoznačné měřítko – pokud to nezvládneme v klidu s dostatkem času my, pak to do testu nemůže. Princezna by zůstala na ocet. Šašek: Jestli ho neranila mrtvice, žije dodnes. Řešení je toto: Akademické fórum LIX – 12. únor

Akademické fórum LIX únor Příklad „rutiny“ jinde … Čtení not … „rutina“ klavíristy -Není to zábavné. -Není na tom moc co k porozumění. -Přesto o tom nikdo nepochybuje.

12 … a „rutina“ ve výuce matematiky a fyziky Příběh skutečný: postupné výroky studentky Definice … rutina gymnazisty, studenta matematiky a fyziky, … -goniometrické funkce -úprava algebraických výrazů -řešení soustav lineárních rovnic -funkce, čtení grafů

Akademické fórum LIX únor Neúspěchy žáků v matematice - mýty matematika je nezábavná a suchopárná nebudu ji v životě nikdy potřebovat špatné učebnice málo hodin výuky poruchy učení (existují, ale lze je překonávat) škola, rodina a další …

Neúspěchy žáků v matematice – některé skutečné příčiny malá pracovitost povrchní popularizační snahy – „zábava“ místo skutečné práce kalkulačky místo hlavy Google místo vlastní paměti vymizení inteligentních pomůcek Akademické fórum LIX únor

Kalkulačka místo hlavy Úloha z mechaniky: Těleso o hmotnosti 80 kg spadne z výšky 15 m na zem a zabrzdí se na dráze 20 cm. Určete velikost průměrné brzdné síly. Tíhové zrychlení zaokrouhlete na 10 ms -2. Výpočet: Studentka u zkoušky: „Na to si musím vzít kalkulačku.“ Několik minut hledání v tašce. Výsledek řádově chybně. Akademické fórum LIX únor

Inteligentní pomůcky – I Akademické fórum LIX únor V. Obešlo: O logarithmicko- grafickém počítání I, II, III. Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky 45 (1916), 1 (81-99), 2 ( ), 3 ( ). V. Pleskot: O dvojitém logaritmickém papíru. Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky 64 (1935), 3 (R33-R39).

„Mezní“ pojmy – úroveň 2 - VII Logaritmické a semilogaritmické papíry x log y log y = 1, y = 10 log y = 2 y = 100 log y = 3 y = 1000 y = 5 x y = 10 x y = 100 x exponenciální funkci zobrazí jako lineární Inteligentní pomůcky – II

Akademické fórum LIX únor „Zábavná“ matematika? Projekt „Matematika s chutí“ Z médií: , Praha, denik.cz, K. Perknerová -Do škol přichází projekt Matematika s chutí. -Garantují ho přední české osobnosti. -Už se na to nemůžeme dívat. Znalosti dětí klesají, zájem o matematiku se limitně blíží nule, jsme na tom nejhůř ze všech vyspělých zemí. -Tohle si řekly vynikající mozky české vědy i průmyslu a vymyslely projekt Matematika s chutí.

Matematika s chutí - cíle Akademické fórum LIX únor Projekt je uvážlivou reakcí na prokázané zhoršení výsledků povinného vzdělávání v matematice i na doložené velmi negativní postoje českých žáků k její výuce. K příčinám patří přílišné spoléhání škol na to, že žákům pomůžou rodiče, předčasná abstrakce ve výuce a především skutečnost, že běžná škola se sice snaží předat žákům řadu poznatků, ovšem metody výuky ignorují dovednosti, které jsou potřebné k jejich získávání. Výuka je zaměřena spíše na reprodukci a imitaci než na tvořivost žáka a na rozvoj jeho intelektu a osobnosti. Objevovat, klást si otázky a hledat na ně odpovědi se žáci nemůžou naučit tím, že budou sebepozorněji sledovat výklad učitele. Učitel v nich musí vzbudit potřebu poznávat, musí je přivést k činnostem, při nichž si budou sami klást otázky a hledat na ně odpovědi, budou sami pátrat a objevovat.

Matematika s chutí – odborní garanti Akademické fórum LIX únor RNDr. Dana Straková, Ph.D., MFF UK (fyzika), nyní manažerské a poradenské funkce (poradkyně ministrů školství) Ing. Tomáš Jelínek, ČVUT, CERGE-EI nedokončil, manažerské funkce RNDr. Oldřich Botlík, CSc., MFF UK (matematika), nyní OSVČ, KALIBRO RNDr. David Souček, MFF UK (matematika, teorie strojů), OSVČ, KALIBRO, práce pro MŠMT, PČR Simona Weidnerová, výkonná ředitelka ISEA, spoluautorka Bílé knihy, reformy, Věcného záměru zákona o finanční pomoci studentům Prof. PhDr. Petr Matějů, CSc., FF UK (sociologie) profesura MU, BK,.. Doc. Ing. Daniel Munich, Ph.D., akademický ekonom, CERGE-EI, NERV, poradce EU v oblasti školství, ….

Matematika s chutí – projekty Akademické fórum LIX únor Voda: Světové vodní zdroje se zmenšují, cena vody stále roste. Sílí tak tlak na úspory a vůbec na lepší hospodaření s vodou. V rámci projektu využijeme jednoduchou matematiku, abychom si posvítili na to, jak jsme na tom u nás: kde vodou plýtváme a jak s ní můžeme lépe hospodařit. Reklama kolem nás: Na člověka údajně „zaútočí“ několik tisíc reklamních sdělení denně. Jakkoliv se toto číslo zdá neuvěřitelné, může si je každý snadno ověřit. Prosté počítání reklamních sdělení pak může být východiskem k uvažování o světě reklamy jako takovém, ke snaze vědomě uchopit a kategorizovat jednotlivé složky tohoto působivého součtu. Která sdělení jsou cílena přímo na mě? Na jaké mé vlastnosti reklama míří a jak mě ovlivňuje? Jaký by byl svět bez ní?

Matematika s chutí – další témata Akademické fórum LIX únor Pohyb (tachometry) Srovnávání (finančník srovnává výnosnost různých investic; zákazník hledá výrobky s nejlepším poměrem „cena/výkon“; statik počítá síly působící na konstrukci; …) Meteorologie (amatérská meteorologie, srovnávání dat z Internetu) Kniha rekordů Hry – taktika a strategie Energetika, obnovitelné zdroje (…Analyzujeme-li politické proklamace na toto téma za použití jednoduché matematiky, nalezneme rozpory…) Obchodník musí umět počítat (úlohy související se reálným světem) Disc-golf

23 Definice – věta – důkaz - příklad Standardní postup matematiků při výuce na VŠ není vhodný pro všechny obory, i když matematiky využívají Zkouška z mechaniky a molekulové fyziky: V p-T diagramu nakreslete graf izochorických dějů v ideálním plynu pro dva různé objemy Studentka učitelství M-F: (zkoušku z Matematické analýzy předtím složila s klasifikací „A“ – byla tedy „naučená výborně“): - správně napíše stavovou rovnici - vztah napíše až na pokyn učitele - že se jedná o lineární funkci teploty (a grafem je tedy přímka) odpoví až na další dotaz, graf už nakreslí sama - příčina: proměnné se místo x a y jmenovaly V a p

24 Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi II. VUTIUM, Brno 2012 (699 s.).

Seminář ÚTFA - Matematika III Co je „netradiční“  definice – věta – důkaz – důsledek – příklad  motivační příklady k formulaci definic  vše se dokazuje s minimem umělých obratů  geometrické a fyzikální motivace a aplikace  „výuka na příkladech“ (příklad, protipříklad, příklady na nesplnění předpokladů,…)  celkový počet příkladů … MI … 154, MII … 352  celkový počet cvičení … MI … 125, MII … 214 … (min x 3)  celkový počet obrázků … MI … 118, MII …

Akademické fórum – 12. únor 2015 Matematika I (2006, s dodatky 2009) 1. Všemocná úměra aneb lineární algebra poprvé (34/35) 1.1 Lineární rovnice 1.2 Počítání s čísly 1.3 Počítání s maticemi 1.4 Počítání s vektory 2. Funkce jedné proměnné (89/30) 2.1 Funkce a její graf 2.2 Derivace – rychlost změny funkce 2.3 Integrování – „sčítání“ mnoha malých příspěvků 3. I náhoda má své zákonitosti aneb počet pravděpodobnosti (31/20) 3.1 Pravděpodobnost 3.2 Náhodné veličiny 3.3 Náhoda a zpracování měření Dodatky (39/40) 26

Derivování a integrování Akademické fórum – 12. únor

Pravděpodobnost, měření Akademické fórum – 12. únor

Akademické fórum – 12. únor 2015 Matematika II/1 a II/2 (2012) 4. Vícerozměrná linearita aneb lineární algebra podruhé (55/31) 4.1 Prostory s vektory 4.2 Lineární zobrazení vektorových prostorů 4.3 Vlastní vektory 5. Souřadnicové soustavy obvyklejší i méně obvyklé (30/17) 5.1 Kartézská soustava souřadnic z jiného pohledu 5.2 Polární, válcové a kulové souřadnice 5.3 Obecné souřadnice 6. Linearita v aplikacích aneb lineární algebra do třetice (39/24) 6.1 Skalární součin 6.2 „Fyzikální“ lineární operátory a jejich vlastní vektory 6.3 Symetrické operátory v geometrii a fyzice 29

Grupy – nekomutativita symetrií 30

Souřadnicové soustavy Akademické fórum – 12. únor

Aplikace lineární algebry Akademické fórum – 12. únor

Akademické fórum – 12. únor 2015 Matematika II/1 a II/2 (2012) 7. Obyčejné diferenciální rovnice (64/36) 7.1 Diferenciální rovnice v životě 7.2 Rovnice prvního řádu rozřešené vzhledem k derivaci 7.3 Rovnice prvního řádu nerozřešené vzhledem k derivaci 7.4 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu 7.5 Lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty 7.6 Lineární diferenciální rovnice vyšších řádů 7.7 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu 8. Řady funkcí (53/33) 8.1 Posloupnosti a řady podruhé – čísla 8.2 Posloupnosti a řady potřetí – funkce 8.3 Zvlášť užitečné řady funkcí 33

Diferenciální rovnice v mechanice Akademické fórum – 12. únor

Posloupnosti a řady čísel 35 typ výše p ů j č ky ro č ní úrok % m ě sí č ní splátka splatnostfixace celkem ušet ř íte , let5 let , let1 rok ,59neuvedena20 letbez fixace , letbez fixace0 typ výše p ů j č ky ro č ní úrok % m ě sí č ní splátka splatnostfixace celkem zaplatíte , m ě s5 let , m ě s1 rok , m ě sbez fixace , m ě sbez fixace Bankovní kalkulátory na Internetu - hypotéky Co by mělo být uvedeno

Posloupnosti a řady funkcí Akademické fórum – 12. únor

Akademické fórum – 12. únor 2015 Matematika II/1 a II/2 (2012) 9. Závislosti na více parametrech aneb funkce více proměnných (85/57) 9.1 Podmnožiny euklidovských prostorů R n 9.2 Skalární funkce více proměnných 9.3 Vektorové funkce více proměnných 9.4 Diferenciální operátory 10. Základy variačního počtu pro mechaniku (26/16) 10.1 Princip stacionárního bodu 10.2 Variační počet a fyzika 10.3 Několik aplikací 37

Skalární a vektorové funkce více proměnných 38

Matematika III (2015 ?) 11. Metrické prostory aneb jak měříme vzdálenost 11.1 Co je to metrika? 11.2 Konvergence aneb přibližování 11.3 Zobrazení metrických prostorů 12. Integrace všeho druhu přinese nám ducha vzpruhu 12.1 Vícerozměrné integrování 12.2 A zase algebra, tentokrát tenzorová 12.3 Od algebry k analýze – vektorová pole a diferenciální formy 12.4 Integrál z diferenciálních forem 13. Proměnná je komplexní – výsledky jsou noblesní 13.1 Co je to komplexní funkce komplexní proměnné? 13.2 Má-li funkce komplexní proměnné derivaci, pak má derivace všech řádů 13.3 Co udělá mají dírka v oboru holomorfnosti aneb singularity 13.4 Co jsou to mnohoznačné funkce? 13.5 Laplaceova a Fourierova transformace 13.6 Funkce komplexní proměnné a fyzika 39

Matematika III (2015 ?) 14. Variační počet teď již obecně: mechanika a teorie pole 14.1 Geometrické struktury pro variační počet 14.2 Variační problém na vrstevnatých prostorech – lagrangeovská formulace 14.3 Variační problém na vrstevnatých prostorech – hamiltonovská formulace 14.4 Variační fyzika 15. Co se děje v přírodě aneb parciální diferenciální rovnice 15.1 Klasické rovnice matematické fyziky (PDR druhého řádu) 15.2 Velmi známé rovnice 16. Kdy pomůže počítač aneb základní numerické metody 16.1 Numerické metody algebry 16.2 Numerické metody diferenciálního a integrálního počtu 16.3 Numerické řešení diferenciálních rovnic 17. Lineární algebra počtvrté – hrátky s operátory a maticemi 17.1 Co dělat, když operátor nemá diagonální reprezentaci 17.2 Polynomické matice a maticové polynomy 17.3 Několik aplikací 40