T echnická FY zika pro S trojaře 2 Šimon Kos, KFY –Číslo dveří: UN207 – –Telefon: Cvičení, praktika—nejsou Zkouška pro zápočet, formát jako TFYS1: ● Písemná: 5 otázek, každá za max. 2 body ● Možnost ústní zkoušky za max. 2 body ● Podmínka zápočtu: aspoň 5b

Téma: moderní fyzika Konkrétně kvantová fyzika, (téměř) ne relativita Literatura: Halliday, Resnick, Walker, Fyzika, část 5 Moderní fyzika Plán: 4 přednášky 1.Vlny a částice, kap. 39, 40 v HRW 2.Atomy a pevné látky, kap. 41, 42 3.Jaderná fyzika a technika, kap. 43, 44 4.Částice, kosmologie, kap. 45 Všechny jsou na

Vlny a částice Trocha historie představ o povaze světla 17. Století Newton—částice Huygens—vlny Částice fungovaly pro geometrickou optiku—pohyb po přímce 19. století: pozorována změna směru a intenzity—vlnová povaha Young—dvě štěrbiny—přirozeně vysvětlené vlnami

Protiargument (Poisson): přesně uprostřed stínu za kuličkou by měla být světlá tečka Experiment (Fresnel, Arago): opravdu Maxwell: vlny jsou elektromagnetické

Elektronvolt=energie elektronu v potenciálu jednoho voltu…jednotka vhodná pro popis mikrosvěta. Číselně: Zbylá záhada: Záření černého tělesa (tj. tělesa, které neodráží světlo, jen pohlcuje) Vysvětlil Planck (1900): světlo jsou vlny, ale mohou mít jen určité hodnoty energie podle frekvence, tj. energie přichází v kvantech

Další krok Einstein (1905): kvanta energie jsou skutečné objekty, později nazvané fotony …jsme zpátky u částic Tento postulát k vysvětlení fotoelektrického jevu Fotoelektrický jev: objevil Herz: posvítíme světlem, snazší výboj Interpretace: proto, že vylétají elektrony Na první pohled souhlasí s klasickou fyzikou: světlo je kmitající elektromagnetické pole, které urychluje elektrony, až vylétnou z materiálu Ale konkrétní vlastnosti se vysvětlují těžko, jak ukazují dva pokusy

1. pokus Dopadající světlo vyráží elektrony z terče T Záporné napětí U na kolektoru K zpomaluje elektrony a tím zmenšuje proud I Při U=U b (brzdné napětí) proud I právě klesne na nulu To znamená, že elektrony s nejvyšší energií jsou zastaveny těsně před terčem Výsledek: Brzdné napětí pro světlo dané frekvence nezávisí na intenzitě! Problém pro klasické vysvětlení—vyšší intenzita…vyšší amplituda vlny…vyšší zrychlení částice Přirozené pro kvantové vysvětlení—menší intenzita…méně fotonů, ale maximální energie elektronu je energie fotonu

2. pokus Závislost brzdného napětí U b na frekvenci světla f Pro nižší frekvenci než prahová f 0 fotoelektrický jev nenastane při jakékoliv intenzitě Např. sodík: Problém pro klasické vysvětlení: pro dostatečnou intenzitu by měla být dostatečná energie dodaná elektronu Kvantově: energie fotonu musí být vyšší než energie uvěznění elektronu v materiálu zvaná výstupní práce . Přebytečnou energii může dostat elektron, tj. tj.

Výstupní práce, tj. prahová frekvence (vynásobená h ) je různá pro různé materiály. Směr přímky stejný pro všechny materiály Další problém s klasickým vysvětlením: doba pro emisi Př.: izotropní zdroj světla o výkonu P=1,5W ve vzdálenosti r=3,5m od fólie z draslíku s výstupní prací  =2,2eV. Tok energie od zdroje ve vzdálenosti r : Atom o poloměru a=0,5  m má příkon energie Takže elektron v atomu by klasicky potřeboval asi 4000s, tj. více než hodinu, aby načerpal potřebnou energii 2,2eV. Ve skutečnosti ji načerpá za méně než ns. Výstupní práce se snižuje, když postupujeme dolů v periodické tabulce—viz ionizační energie příště

Fotony mají hybnost Relativistický vztah mezi hybností a energií nehmotné částice pohybující se rychlostí světla (klasicky 2 v čitateli) Dosadíme za energii Symetrie: hybnost—prostorová perioda, energie—časová perioda Energie se má k času jako hybnost k prostoru —důležité pro relativitu a klasickou mechaniku …a dostaneme Srovnej …a tím jsou ještě víc částicemi, Einstein (1916) Argument:

Potvrzení experimentem Compton (1923) Rentgenové záření o vlnové délce λ=71,1pm dopadá v jednom směru na uhlíkový terč Závislost rozptýleného záření na úhlu rozptylu φ : Kromě píku na vlnové délce λ taky pík na λ+  λ, kde posun  λ roste s rostoucím úhlem rozptylu φ Klasicky opět problém: dopadající el-mg. vlna s danou frekvencí by měla rozkmitat elektrony na téže frekvenci a z tou frekvencí by pak elektrony měly zářit.

Kvantově: foton předá část své energie a hybnosti elektronu. Proto rozptýlený foton má nižší frekvenci a tedy větší vlnovou délku, v souladu s experimentem. Zákon zachování energie a hybnosti vedou k výslednému vztahu pro posun vlnové délky Posun skutečně roste s rostoucím φ, protože cos klesá Velikost posunu nezávisí na vlnové délce dopadajícího záření, ale relativní velikost posunu se zmenšuje s rostoucí vlnovou délkou…na dlouhých vlnových délkách platí klasická fyzika

Tak co se stalo s vlnami? Tedy: Vlny dávají pravděpodobnost detekce fotonů Makroskopicky, kdy nerozlišujeme jednotlivé fotony, dostaneme klasické výsledky Ale funguje to i pro částice jedna po druhé: G.I. Taylor (1909), širokoúhlá verze Lai a Diels (1992) Výsledek pokusu: Klapání bude v náhodné okamžiky a četnost klapání bude růst a klesat stejně jako intenzita interferenčního obrazce Provedeme Youngův dvouštěrbinový experiment s malým detektorem fotonů D. Detektor D klapne vždy, když na něj přilétne foton.

Vlny elektronů De Broglie (1924): když vlny světla jsou vlastně složeny z částic (fotonů), tak co když naopak částicím odpovídají vlny? Konkrétně elektron—nejdůležitější částice Obrácení relace mezi vlnovou délkou a hybností: …a mezi frekvencí a energií:

Experimentální potvrzení …Youngův dvouštěrbinový experiment s elektrony Počet elektronů:

Srovnání—rozptyl rentgenového záření a elektronů na prášku malých krystalků Al Použití pro určení hustoty elektronů—pevný benzen rentgenelektrony

Pro rozměry podstatně větší než vlnová délka—klasický pohyb, jako paprsky v geometrické optice…viz TFYS1 Skutečná data: Dráhy v detektoru Stejný důvod—konstruktivní interference jen kolem klasické dráhy

= funkce popisující pravděpodobnostní vlnu Matematicky—funkce času a prostoru, komplexní funkce je úhlová frekvence Kvůli faktorům 2π se naopak zavádí redukovaná Planckova konstanta ħ Pro jednoduchost pohyb částice v jednom rozměru podél osy x. De Broglieho vztahy se pak zapíšou Rovinná vlna (viz TFYS1 vlny): Vlnová funkce znaménko podle směru pohybu Pro rovinnou vlnu zde je vlnočet a Připomenu komplexní exponenciálu

Schrödingerova rovnice Pro volnou částici Hybnost víc fundamentální než rychlost Odpovídající rovnice pro vlnovou funkci V silovém poli popsaném potenciální energií Potenciální energie víc fundamentální než síla Pokud je daná energie stavu E, pak Matematicky: separace proměnných obyčejná derivace…jedna proměnná …bezčasová rovnice =rovnice pro vlnovou funkci …tj. dostali jsme obyčejnou diferenciální rovnici

Význam vlnové funkce Vlnová funkce je obecně komplexní, tak jak z ní dostaneme pravděpodobnost, která je reálná, dokonce nezáporná? Velikost, tj. absolutní hodnota, komplexního čísla je reálná a nezáporná Pro připomenutí kvadrát absolutní hodnoty komplexního čísla se spočte jako kde Pravděpodobnost je dána dokonce druhou mocninou (kvadrátem) absolutní hodnoty Srov. Energie elektromagnetického pole dána kvadráty velikostí E 2, B 2 je číslo komplexně sdružené k w Pravděpodobnost, že částici najdeme mezi x a x+dx pro malé dx je rovna Tedy |Ψ(x,t)| 2 je hustota pravděpodobnosti (pravděpodobnost na jednotku délky

Pro rovinnou vlnu popisující volnou částici: je takže konstanta Částice ve stavu popsaném rovinnou vlnou má přesně danou hybnost a úplně neurčitou polohu Graficky:

Obecně: Heisenbergův princip neurčitosti Již jsme potkali v TFYS1 v části o vlnách: Čím méně použijeme vlnových délek, tím je balík širší. Čím chceme balík užší, tím více vlnových délek musíme použít. Neurčitost není způsobena špatným měřícím přístrojem ale stavem částice Slovy: součin neurčitostí polohy a hybnosti je zdola omezen. Čím lépe známe jedno, tím hůře musíme znát druhé

Tunelování Kvantově: imaginární hybnost…imaginární vlnočet k, tj. z oscilující vlny se stane exponenciála Potenciální energie Klasicky: Mimo bariérutj. pohyb doprava nebo doleva Pro E<E p0 nemůže být částice uvnitř bariéry, protože by musela mít zápornou kinetickou energii, tj. imaginární hybnost, a tudíž se přes bariéru nemůže dostat.

Schrödingerova rovnice: Uvnitř bariéry: Teď můžeme zkrátit ψ(x) a dostaneme

Průběh hustoty pravděpodobnosti ● Nalevo od bariéry dopadající vlna interferuje s odraženou vlnou a vzniká stojatá vlna ● Uvnitř bariéry exponenciální pokles ● Napravo od bariéry konstanta—prošlá vlna ● Koeficient průchodu bariérou …exponenciální pokles vlnové funkce; pravděpodobnost daná kvadrátem

Pro představu: bariéra šířky 1Å= m o 1eV vyšší než energie elektronu Takže pravděpodobnost tunelování e -2κL je řádu jedné…častý jev Pravděpodobnost rychle klesá s rostoucí energií a tloušťkou bariéry a hmotností částice Stokrát větší hmotnost, stokrát větší rozdíl energií, nebo desetkrát tlustší bariéra dá takže Z miliónu protuneluje asi 45

Užití pohyb hrotu nahoru a dolu, aby se udržoval konstantní tunelovací proud Výsledek: zobrazení povrchu STM=scanning tunneling microscope Další užití—tunelová dioda, alfa-rozpad, Vesmír (?)

=bariéra vzhůru nohama Klasicky i kvantově—uvězní částici Kvantově—diskrétní hybnosti, energie…kvantování se projeví při uvěznění Potenciálová jáma Nejjednodušší případ—nekonečně hluboká jáma Pro elektron s nábojem - e

Vně jámy E p (x)=∞, takže ψ(x)=0 Proto řešíme rovnici s okrajovými podmínkami Rovnice je jako pro volnou částici, má dvě nezávislá řešení Vhodnější vybrat sin a cos, protože cos můžeme rovnou vyloučit (nesplňuje okrajovou podmínku v 0 ). sin splňuje okrajovou podmínku v L pokud tedy jako pro stojaté vlny na struně (TFYS1) Řešení: n je tzv. kvantové číslo Budeme řešit Schrödingerovu rovnici

Kvantované hodnoty energie pro L=1Å : energie v elektronvoltech Stav s nejnižší energií—základní stav. Ostatní stavy—vybuzené, excitované Přechody mezi stavy: nahoru pohlcením fotonu, dolu vyzářením fotonu Frekvence fotonu krát Planckova konstanta=rozdíl příslušných energií Energie základního stavu je nenulová—kvůli principu neurčitosti

Vlnové funkce takže hustota pravděpodobnosti je Klasická částice—všude stejná pravděpodobnost Kvantová částice—pro nízké stavy ne, pro vysoké stavy přibližně ano— princip korespondence

Normování Elektron někde je s jistotou, tj. s pravděpodobností 1 protože integrál ze sin 2 přes celý násobek půlperiody je roven integrálu z ½ bez ohledu na n A 2 a tím i ψ n 2 má rozměr převrácené délky…hustota pravděpodobnosti Spočítáme integrál: takže

Konečně hluboká jáma Těžší na výpočet ale snazší vyrobit—častá situace Pro E p0 =30eV a L=1Å jenom tři diskrétní vázané stavy Jejich hustoty pravděpodobnosti Prosakují ven z jámy…srov. tunelování Energie volné částice nejsou kvantovány

2 a 3 rozměry Častější případ ve skutečnosti—opět, těžší spočítat, snazší vyrobit přejde nakde Vlnová funkcepřejde nakde takže přejde na Schrödingerova rovnice má tvar Pro separované řešení s danou hodnotou energie má bezčasová rovnice tvar takže ve více než 1d je i bezčasová rovnice parciální Laplaceův operátor Energie

Nejjednodušší opět volná částice…rovinná vlna Nejjednodušší potenciální energie…opět nekonečně hluboká jáma Hradba ve 2d Krabice ve 3d Navíc pokud je pravoúhlá, pak se separují proměnné v různých směrech …součet jednorozměrných pohybů

Ve 2d pro mohou mít různé stavy stejnou energii, např. Tomu se říká degenerace symetrie…obdélník přejde na čtverec Obecně degenerace spojená se symetrií

Ve skutečnosti jámy konečné hloubky 2d 3d Hradba z atomů Fe na povrchu Cu Uvězněné elektrony…stojatá vlna Zrníčka CdSe, větší nahoře Prahová vlnová délka daná velikostí zrníček; kratší vlnové délky pohlceny, delší odraženy Modrá pohlcena oběma; červená jenom spodními

Atom vodíku Nejjednodušší atom a taky nejjednodušší potenciálová jáma pro elektron v přírodě Potenciální energie: Bezčasová Schrödingerova rovnice Graf potenciální energie a energie základního stavu

Vlnová funkce základního stavu je jen funkce vzdálenosti r. Za chvíli uvidíme proč Laplaceův operátor pro funkci jenom vzdálenosti r protože Laplacián je div grad Konkrétně má tvar Tady a určíme dosazením do Schrödingerovy rovnice a N určíme normováním Bohrův poloměr To už je druhá délka charakterizující elektron. První byla Comptonova vlnová délka Poměr: 137 se často vyskytuje v popisu mikrosvěta Dosazení do rovnice: Aby platilo pro všechna r, musí se rovnat členy s r a členy bez r Členy s r :

normování Kvůli sférické symetrii vybereme jako dV objem mezi dvěma soustřednými kulovými plochami o poloměrech r a r+dr je pravděpodobnost nalezení elektronu mezi r a r+dr, takže je radiální hustota pravděpodobnosti pro základní stav Hustota pravděpodobnosti v prostoru daná hustotou teček má maximum uprostřed viz obrázek na předminulé stránce Členy bez r : Maximální pro r = a

Vyšší (vybuzené, excitované) stavy krát polynom n-1 stupně v r Tento vztah se dostane i z poloklasické Bohrovy teorie Přechody mezi hladinami—spektrum vyzářeného světla souhlasí s experimentem mají tvar energie Balmerova série: graficky:

Navíc může být vlnová funkce vynásobena funkcí úhlových proměnných θ, φ tj. nemusí být sféricky symetrická Degenerace pro n>1 —jednomu n, tj. jedné energii, odpovídá více stavů Různé úhlové závislosti odpovídají různým hodnotám momentu hybnosti l a různým velikostem složky ve směru libovolně vybrané osy m l. Degenerace n 2 Nejnižší možný moment hybnosti l=0 …sféricky symetrický. Proto takový byl základní stav.

Konkrétně n=2 Kvantová čísla Bodové grafy l=0l=1 Sféricky symetrické, ale vlnka navíc v radiálním směru Není sféricky symetrické, ale jen pokles v radiálním směru (není vlnka)

Pro vysoká kvantová čísla Např. n=45, l=n-1 největší možný moment hybnosti, tj. málo pohybu v radiálním směru: rozmazaná kruhová dráha s poloměrem daným klasickým pohybem Opět princip korespondence—pro vysoká kvantová čísla dostaneme klasickou mechaniku

Vlny…nelokalita…částice je jakoby na více místech najednou Einstein, Podolsky, Rosen: dovedli do extrému Dva fotony vytvořené vhodnou kaskádou dvou přechodů mají stejné polarizace (polarizaci světla jsme potkali v TFYS1, přejde na jednotlivé fotony) Otázka: které polarizace, levotočivé nebo pravotočivé? Odpověď—obojí je možné s pravděpodobností 1/2 EPR: pokud změřím polarizaci jednoho, vím okamžitě, že druhý má tutéž polarizaci Není třeba čekat dobu, kterou by urazilo světlo, což vypadalo jako porušení relativity Experimentální potvrzení: Aspect, 1982

Dnes: Příště: Elektromagnetické vlny se zároveň chovají jako částice, fotony Částice hmoty, elektrony, se zároveň chovají jako vlny Obecně dualita: jakékoliv pole se chová jako částice a jakákoliv částice se chová jako vlna Vlna dává pravděpodobnost částicových vlastností a je řešením Schrodingerovy rovnice Odtud plynou nové vlastnosti oproti klasické mechanice— Neurčitost, tunelování skrz potenciálovou bariéru, kvantování energie při prostorovém omezení v potenciálové jámě, např. atomu Pro vysoká kvantová čísla dostaneme zpátky klasickou mechaniku—princip korespondence Detailnější studium struktury atomů Mechanismus vedení elektrického proudu v pevných látkách—zpřesnění TFYS1