Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Nalezení nejkratší vzdálenosti mezi uzly dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Minimální vzdálenost z jednoho uzlu dopravní sítě (vrcholu grafu) do ostatních Řešení Dijkstrovou metodou

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Dijkstrova metoda Vrcholům grafu přidělujeme přechodné a trvalé značky T ve tvaru (a ; b) a – značka posledního zjištěného vrcholu patřícího do nejkratší cesty b – dosud zjištěná nejkratší vzdálenost Postup: 1) Výchozí vrchol dostane trvalou značku (0; 0). (Trvalé značky v postupu potrháváme (a ; b). 2) Ostatním vrcholům přiřadíme značku (1; dj) dj - sousední vrchol – dosud nejkratší zjištění vzdálenost od vrcholu 1 - nesousední vrcholy 

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti 3) Vrcholu s minimální druhou složkou značky, tj. b (vzdálenost od počátku) zařadíme mezi trvalé vrcholy. Další vrcholy – sousedním přiřadíme značku naposledy přiřazeného trvalého vrcholu za předpokladu, že součet části značky b trvalého vrcholu a vzdálenosti d j je menší než je původní značka b vyšetřovaného vrcholu. Je-li součet větší než původní složka b značky, necháme celou původní značku. Nesousedním vrcholům dáme původní značku. 4) Postupujeme podle bodu 3 až mají všechny vrcholy grafu trvalou značku.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Příklad:

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 Další trvalou značku dostane vrchol 2

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞) (1; ∞) 2 Další trvalou značku dostane vrchol 4

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2 ;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 Další trvalou značku dostane vrchol 3

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 (2;4)(3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 3 Další trvalou značku dostane vrchol 6

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 (2;4)(3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 3 (3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9 ) 6 Další trvalou značku dostane vrchol 5 nebo 7, volíme 5

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 (2;4)(3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 3 (3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9 ) 6 (3; 7)(4; 7)(4; 9) 5 Další trvalou značku dostane vrchol 7

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 (2;4)(3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 3 (3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9 ) 6 (3; 7)(4; 7)(4; 9) 5 (4; 7)(4; 9) 7 Další trvalou značku dostane vrchol 8

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti T (0;0)(1;2)(1; ∞)(1;4)(1; ∞)(1; 8)(1; ∞)(1; ∞) 1 (1;2)(2;4)(2;3)(1; ∞)(1,8)(1; ∞) (1; ∞) 2 (2;4)(2;3)(4; 8)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 4 (2;4)(3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9) 3 (3; 7)(4; 6)(4; 7)(4; 9 ) 6 (3; 7)(4; 7)(4; 9) 5 (4; 7)(4; 9) 7 (4; 9) 8

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Všechny vrcholy grafu mají trvalé značky, úloha je tedy vyřešena.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Nejkratší vzdálenost 1-8 Vzdálenost je 9 ( složka b značky). Cesta: Nejkratší vzdálenost 1-5 Vzdálenost je 7 ( složka b značky). Cesta:

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Minimální vzdálenosti mezi všemi dvojicemi uzlů dopravní sítě (vrcholů grafu) a kudy cesta vede Floydova metoda a doplněk Složitost (počet operací) roste s n 3 vstupních údajů (n – počet vstupních údajů).

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Floydova metoda a doplněk Je dána matice vzdálenost C ij ij = 1….n (n – počet vrcholu) a doplňková matice n x n Výchozí matice vzdáleností c ij = d(v i ;v j ) pokud (v i ; v j )  H (hrana) c ij =  pokud i  j a (v i ; v j )  H c ij = 0 pokud i = j Doplňková matice n x n, kde 1. řádku jsou prvky matice rovny 1, 2. řádek je roven 2 n-tý řádek je rovem n

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Úprava výchozí matice vzdáleností a doplňková matice Postupně v krocích k = 1, 2,…..n Matice vzdáleností Doplňková matice - odpovídající upravený prvek v matici vzdáleností změníme v doplňkové matici na hodnotu v příslušném kroku doplňkové matice.  ij =  kj

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Po n krocích získáme výslednou matici nejkratších vzdáleností mezi všemi dvojicemi uzlů dopravní sítě (vrcholů grafu) a výslednou doplňkovou matici, ze které můžeme určit, kudy nejkratší cesta vede. Nejkratší cesta z i – tého do j – tého vrcholu je i , j, kde platí následující vztahy  =  ij,  =  i ,  =  i  i =  i

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Ukázka na příkladu:

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Žádná změna

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Po 2. kroku - změny   5 V doplňkové 1 se mění na 2

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Po 3. kroku – žádná změna

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Nejkratší cesta z i – tého do j – tého vrcholu je i , j, kde platí následující vztahy  =  ij,  =  i ,  =  i  i =  i Např.: Nejkratší cesta z 1 do 3 je 4 délkové jednotky vede přes

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Zdroje: Mocková, D.. Základy teorie dopravy – Úlohy. Praha, Nakladatelství ČVUT, 2007, ISBN Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha, ČVUT, ISBN Brázdová, M.. Operační výzkum I – úlohy. Pardubice, Univerzita Pardubice, 1998, ISBN