Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

NAP7 Finite difference method (FD schemes and stability analysis). Hyperbolic equations - back to waterhammer Parabolic equation - temperature and concentration.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "NAP7 Finite difference method (FD schemes and stability analysis). Hyperbolic equations - back to waterhammer Parabolic equation - temperature and concentration."— Transkript prezentace:

1 NAP7 Finite difference method (FD schemes and stability analysis). Hyperbolic equations - back to waterhammer Parabolic equation - temperature and concentration field (drying beans) Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010 NUMERICAL ANALYSIS of PROCESSES

2 NAP7 PDE finite differences TiTi T i+1 T i-1 xx Asym. Diff. 1se order Centrál dif. 2nd order All the types PDE (hyperbolic, parabolic and elliptic equations) can be solved by Finite Difference methods. Investigated region is covered with regular or irregular mesh of nodes, each node (t n,x i,y j,z k ) is associated with calculated value T n ijk and in each node zero residual of PDE is required. First and second derivatives in PDE in node (t n,x i,y j,z k ) are substituted by finite differences calculated from T n ijk in neigbouring nodes. Thus an algebraic equation is obtained in each node of mesh. For 1D equidistant nodes error

3 NAP7 TiTi T i+1 T i-1 xx Finite difference formula (even for non-equidistant nodes) and order of accuracy can be derived from Taylor expansion of function T(t,x,y,z) in the vicinity of central node T n ijk or by using a polynomial interpolation. For example. Quadratic polynomial defined by 3 nodes x Contral formula of first and second derivatives follows from derivatives of polynomial at x=0 PDE finite differences In other words: As soon as the T(x) is an arbitrary polynomial of the degree that is identical with the order of accuracy, finite differences are exact (identical with derivatives).

4 NAP7 TiTi T i+1 T i-1 xx Alternative derivation by using Taylor expansion. x PDE finite differences Order of accuracy  x 2 Fourth derivative of any cubic polynomial is zero therefore this formula is exact not only for quadratic but also cubic polynomials

5 NAP7 Evolution problems PDE finite differences

6 NAP7 PDE finite differences Stability analysis of explicit schemes (implicit schemes are always stable). Example: Wave equation in 1D describing transport of the function T(t=0,x) by velocity c PDE má exaktní řešení tntn t n-1 t n+1 x k-1 x k+1 xkxk xx tt Central approx.1st derivative (2Qnd order of accuracy O(  t 2 )+O(  x 2 )). Stable for  t<  x/c. Asymmetric 1st derivative (1st order of accuracyi O(  t)+O(  x 2 )). Always unstable!!!. Lax Friedrichs:Asymmetric substitution of 1st derivative (1st order of accuracy O(  t)+O(  x 2 )) Conditional stability for  t<  x/c Leap Frog method (multistep) Lax trick with modification of term T k n in unstable Euler method

7 NAP7 PDE finite differences Order of accuracy can be increased at single step methods in a similar way like Runge Kutta methods, by evaluating values of derivativbes at intermediate time steps. Example is explicite Lax-Wendroff method of the second order in time and space O(  t 2 )+O(  x 2 ). The method is conditionally stable for  t<  x/c. t n+1/2 tntn t n+1 x k-1 x k+1 xkxk xx tt First step – Lax Friedrichs with time step  t/2 Second step – central differencing

8 NAP7 MATLAB Lax (convective transport of a jump) Lax Friedrichs method c=1; initial condition is the Heaviside unit step function CFL=0.1 CFL=1 CFL=1.1 dt=0.011;c=1;l=1;n=101;dx=l/(n-1); cfl=c*dt/dx for i=1:n x(i)=(i-1)*dx; if x(i)<0.1 t0(i)=0; else t0(i)=1; end tmax=1.;itm=tmax/dt; for it=1:itm for i=2:n-1 t(i)=(t0(i-1)+t0(i+1))/2-cfl*(t0(i+1)-t0(i-1))/2; end t(1)=t0(1);t(n)=t0(n); tres(it,:)=t(:); t0=t; end figure(1) hold off for ig=1:itm plot(x,tres(ig,:)) hold on end Discontinuity is smeared by numerical diffusion. Only at CFL=1 the solution is exact (the solution corresponds to MOC)

9 NAP7 MATLAB Lax Wendroff (convective transport) Lax Wendroff method c=1; initial condition is the Heaviside unit step function CFL=0.1 CFL=1 CFL=1.1 dt=0.011;c=1;l=1;n=101;dx=l/(n-1); cfl=c*dt/dx for i=1:n x(i)=(i-1)*dx; if x(i)<0.1 t0(i)=0; else t0(i)=1; end tmax=1.;itm=tmax/dt; for it=1:itm for i=2:n ta(i)=(t0(i-1)+t0(i))/2-cfl*(t0(i)-t0(i-1))/2; end ta(1)=t0(1); for i=2:n-1 t(i)=t0(i)-cfl*(ta(i+1)-ta(i)); end t(1)=t0(1);t(n)=t0(n); tres(it,:)=t(:); t0=t; end Stability is lost (see the order of magnitude) Slightly oscillating but stable solution

10 NAP7 MATLAB Lax Wendroff (water hammer) Lax Wendroff scheme can be used for solution of previous problem (water hammer) Formal transcript to matrix form Basic steps of explicit Lax Wendroff Bernoulli Continuity equation  t/2 tt k-1 k k+1

11 NAP7 MATLAB Lax Wendroff (water hammer) Boundary conditions: left (inlet) velocity v(t), pressure p(t) at outlet v(t) p=0  t/2 tt x 1 =0 xN=LxN=L Remark: the case with attached fixed tube at end means, that values of pressure and velocity must be solved from the system o equations to je dáno parametry čerpadla v(t)

12 NAP7 MATLAB Lax Wendroff (water hammer) cfl=.5;mju=0.001;l=.18;d=0.015;rho=1000;a=8;pe=0; v0=pump(0); ez=frict(v0,d,rho,mju)*rho;dp=l*ez; n=101;dx=l/(n-1); dt=dx/a*cfl;tmax=.1;itmax=tmax/dt; aa=[0 1/rho;a^2*rho 0] for i=1:n w(1:2,i)=[v0;pe+dp-(i-1)*dx*ez]; b(1:2,i)=[-ez/rho;0]; end for it=1:itmax t=it*dt; for i=1:n-1 wn(1:2,i)=0.5*(w(1:2,i+1)+w(1:2,i))-dt/(2*dx)*aa*(w(1:2,i+1)-w(1:2,i))+dt/4*(b(1:2,i)+b(1:2,i+1)); end for i=2:n-1 b(1,i)=-frict(w(1,i),d,rho,mju); wc(1:2,i)=w(1:2,i)-dt/dx*aa*(wn(1:2,i)-wn(1:2,i-1))+dt*b(1:2,i); end [v1,dvdt]=pump(t); wc(1,1)=v1;wc(2,1)=wc(2,2)+rho*dx*(dvdt+frict(v1,d,rho,mju)); wc(1,n)=wc(1,n-1);wc(2,n)=pe; b(1,n)=-frict(wc(1,n),d,rho,mju); b(1,1)=-frict(v1,d,rho,mju); vres(it,1:n)=wc(1,1:n); pres(it,1:n)=wc(2,1:n); w=wc; end x=linspace(0,l,n); time=linspace(0,tmax,itmax); figure(1) contourf(x,time,pres,30) figure(2) contourf(x,time,vres,30) function [vrel,dvdt]=pump(t) if t<.03 vrel=0.35;dvdt=0; elseif t<0.06 vrel=0.35*(1+(t-0.03)/0.03);dvdt=35/3; else vrel=0.7;dvdt=0; end function ez=frict(v,d,rho,mju) re=abs(v)*d*rho/mju; if re<1 f=64; elseif re<2100 f=64/re; else f=0.316/re^0.25; end ez=f*v*abs(v)/(2*d); Ramp function of velocity at inlet and constant pressure at outlet

13 NAP7 MATLAB Lax Wendroff (water hammer) Lax Wendroff CFL=0.9 Lax Friedrichs CFL=0.9 MOC p(x,t) v(x,t) Comparison of 3 methods (Lax Wendroff-2nd orde,r Lax Friedrichs-1st order and MOC method of characteristics) t [s] v [m/s] 0.18

14 NAP7 MATLAB Fridrichs (+fixed tube) p(x,t) v(x,t) Lax Friedrichs t [s] v [m/s] CFL=0.9 N=101 CFL=0.9 N=201 CFL=0.99 N= Remark: almost the same results can be obtained by the second order Lax Wendroff method

15 NAP7 MATLAB Fridrichs (+fixed tube) Lax Friedrichs time course of pressure at inlet t [s] v [m/s] CFL=0.9 N=201 Results by MOC (method of characterisics) Remark: almost the same results can be obtained by the second order Lax Wendroff method

16 NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Have you testged the previous program at your computer? Are you still living? Your stability is stil undisturbed?

17 NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Stability analysis is based on an approximation of PDE and differential equations by Fourier expansion, i.e. by terms of the type where k m =  m/L is a wave number (discrete frequency within the range of Nyquist frequency). Any initial condition T(0,x) can be substituted by Fourier expansion and to observe growth/decay of individual terms (|exp( at)| >1 growth, instability) or ( | exp( a t)|<1 attenuation, stability ). Why is the Euler‘s formula unstable? Courant number CFL criterion (Courant-Fridrichs-Levi) Gain factor G – absolute value is greater than 1 for arbitrary wave-number

18 NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Hints

19 Why is the Lax‘s formula conditionally stable? Substitute into Lax dif. formula NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Courant number Gain factor G is less than 1 for any wave number if the courant number is less than 1 It was 1 at Euler method

20 NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) The result of stability analysis the gain factor G = exp (a  t), which determines how the Fourier component corresponding to a specific wave number changes during one time step. G is a complex quantity (coefficient is in general a complex number) and its absolute value (or G 2 ) is an indicator of stability. The imaginary part of the gain factor G expresses the phase shift of the Fourier components (all components properly would be in this case transported at the same speed c). The phase shift and the imaginary part of the gain factor is a measure of dispersion errors numerical methods (manifested by unfair oscillations of the solution). The absolute value of G is a measure of damping (numerical diffusion). Value> 1 is absolutely inadmissible (exponential increase of errors), the value of <1 describes incorrect smoothing. The ideal would be 1.

21 NAP7 PDE finite differences Analysis of PDE with second derivatives. Example: Diffusional equation in 1D for evolution of temperature profile controlled by conductionkondukcí tntn t n-1 t n+1 x k-1 x k+1 xkxk xx tt Richardson: Central substitution of 1st derivative (2nd order O(  t 2 )+O(  x 2 )). Always unstable!! Asym. substitution of 1st derivative (first order O(  t)+O(  x 2 )). Condit.stable for  t<  x 2 /a. Du Fort Frankel: Modification of Richardson method is always stable O(  t 2 )+O(  x 2 )+O((  t/  x) 2 ). Implicit formula Laasonen (1st order O(  t)+O(  x 2 )). Always stable (arbitrary time step) Implicit scheme – solution of system of equations in each time step is necessary Explicit scheme:

22 Proč je standardní explicitní schema podmínečně stabilní? Dosaďme do diferenční formule NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Stabilitní omezení časového kroku (když zmenšíte  x dvakrát, musíte zkrátit časový krok 4 krát) Proč je Laasonenova implicitní formule nepodmínečně stabilní? Naprosto stejným postupem získáme Pozor na znaménko Bude vždy kladné pro libovolné vlnové číslo

23 NAP7 PDE stability analysis (von Neuman) Úplně stejně se dá dokázat nepodmíněná stabilita schematu Crank Nicholson záporné číslo v intervalu (-2,0)

24 NAP7 Sušení kávového zrna Sušení, ohřev, chlazení, to jsou typické problémy, popisované diferenciálními rovnicemi druhého řádu. Pro jednoduché geometrie je optimálním nástrojem řešení právě metoda konečných diferencí (zpravidla implicitní varianta u nelineárních problémů) nebo metoda konečných prvků.

25 NAP7 Sušení kávového zrna Katrin Burmester, Rudolf Eggers: Heat and mass transfer during the coffee drying process, ChISA 2008

26 NAP7 Sušení kávového zrna – popis procesu R Při sušení kulové částice probíhají souběžně dva procesy:  Ohřev částice (povrchem, konvekcí, teplota T(t,r) směrem k povrchu roste)  Přenos vlhkosti (difúze póry k povrchu, měrná vlhkost X(t,r) s poloměrem klesá) O tom, co se v sušené částici děje, existují různé představy:  Voda difunduje k povrchu a teprve tam dojde k jejímu odpaření (často používaný model, který však předpokládá, že póry částice se během sušení smršťují a tím vymačkávají vodu k povrchu. Alternativně by bylo možné akceptovat tento model tehdy, když by póry byly částečně zaplněny vzduchem přicházejícím z povrchu částice a vyplňujícím prázdné místo odkud vydifundovala voda)  K odpařování dochází již uvnitř částice, difunduje vodní pára a povrchová voda Tato představa je realističtější, ale vede ke komplikacím matematických modelů. Měrná vlhkost X je vlastně součtem vlhkosti vody X w a páry X v, zvlášť se musí řešit transportní rovnice pro páru a vodu a navíc je třeba nějak stanovit rychlost vnitřního odpařování. Možný kompromis může vyjít z předpokladu, že rychlost změny dX/dt je přímo rychlost odpařování, přesněji kde  s je hmotnostní koncentrace sušiny (kg sušiny/m 3 částice), X=X w +X v, a m je rychlost odpařování (kg vody/m 3 částice za sekundu).  Všeobecně však platí souhlas o tom, že na povrchu částice je rovnováha a měrnou vlhkost (na povrchu) lze stanovit ze sorpční izotermy. Chápejte to tak, že veškerá pára odchází pryč a na vlhkosti vzorku se nepodílí

27 NAP7 Sušení kávového zrna – rovnice X R Ať již přijmeme hypotézu o povrchovém nebo vnitřním odpařování, lze transportní problém vody (páry) popsat difúzní rovnicí a okrajovými podmínkami kde X eq je sorpční isoterma GAB  je relativní vlhkost vzduchu, , , , jsou tři parametry modelu GAB, závislé na teplotě dle Arrheniova vztahu. Aktivační energie E a =29.5 kJ/mol, b=2.5 kg/kg. D wa =2.26e-5 m 2 /s je součinitel binární difúze vody ve vzduchu. X je vlhkost materiálu (kg vody/kg sušiny). Platí pro zelená kávová zrna Robusta. Do efektivního difúzního součinitele je třeba zahrnout všechny nejistoty o mechanizmech transportu vody a páry, kontrakci pórů a především teplotní závislost difuzivity sorpční izotermy pro kávu  X tady by se hodil referát Lenky Dundáčkové

28 NAP7 Sušení kávového zrna – rovnice T R Teplotní pole v částici bude nepochybně ovlivněno přijatými hypotézami:  Varianta povrchový odpar  Varianta vnitřní odpar Součinitel přenosu tepla na povrchu kuličky lze stanovit z korelace Teplo dodané ze vzduchu Teplo na odpar povrchové vody Teplo na odpar vnitřní vody Součinitel tepelné vodivosti závisí na vlhkosti materiálu X s tepelná vodivost sušiny (0.2 W/m/K káva), w vody

29 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace X Rozepsání derivací na pravé straně difúzní rovnice vlhkosti materiálu Použitím asymetrické náhrady časové derivace a centrálních náhrad prostorových derivací získáme soustavu rovnic pro uzlové vlhkosti X k na nové časové hladině n r 1 =0 r 2 =  r r N =R k=2,3,…,N-1 Implicitní varianta Laasonen (O(  r 2 )+O(  t)) Okrajová podmínka na povrchu (k=N) je silná – přímo hodnota sorpční izotermy pro souběžně počítanou teplotu povrchu. Okrajová podmínka v ose vyplývá ze symetrie: buď jednoduše X 1 =X 2, tím bychom ovšem metodu degradovali jen na první řád přesnosti, nebo z předchozí formule

30 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace T Rovnice pro transport tepla je téměř stejná a stejný je i diferenční přepis k=2,3,…,N-1 Okrajová podmínka na povrchu (k=N) je dána konvektivním přenosem tepla Okrajová podmínka v ose vyplývá ze symetrie: buď jednoduše T 1 =T 2, tím bychom ovšem metodu degradovali jen na první řád přesnosti, nebo

31 NAP7 Sušení kávového zrna – konečné prvky Alternativní metodou řešení je metoda konečných prvků (Galerkin) vedoucí na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic Integrály matice hmot [[M]] i difuze [[K]] je možné například pro lineární bázové funkce odvodit v analytickém tvaru, ale někdy se spokojíme s přibližnou numerickou integrací Když navíc nahradíme časovou derivaci vlhkosti X první diferencí, získáme podobnou soustavu rovnic jako v předchozím Aplikace integrace per partes Bázové a váhové funkce N i (r) Diagonalizovaná matice hmot (hmotnosti sférických slupek o tloušťce  r) Tridiagonální matice difuze

32 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace a testy Výsledné algebraické rovnice lze přepsat do tvaru s tridiagonální maticí soustavy Bývá užitečné ověřit zda je výsledná formule správná pro konstantní řešení X=1 Také je docela snadné upravit rovnice pro explicitní variantu řešení a testovat, kdy jsou všechny koeficienty hledaných parametrů X kladné To je docela zajímavá podmínka, která zaručuje splnění minimax principu, který praví, že řešení transportní rovnice bez zdrojových členů nesmí mít žádná lokální minima nebo maxima, ta mohou být jen na hranici oblasti řešení. Praktický důsledek je ten, že schéma, které má všechny koeficienty kladné, nebude nikdy oscilovat a bude stabilní. Z toho lze např. dovodit maximální velikost časového kroku, nutnou pro stabilitu Zcela stejné úpravy a předběžné testy lze provést i s rovnicí pro teploty

33 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace a testy r=0.005;fi=0.05;ta=80;x0=0.3;t0=30;n=51;rho=1100;cp=2700;hlg=2.2e6; dr=r/(n-1);dr2=dr^2;dt=100;tmax=30000;ntim=tmax/dt; vel=5;alf=alpha(vel,r); for i=1:n to(i)=t0;xo(i)=x0;tn(i)=t0;xn(i)=x0;rk(i)=(i-1)*dr; end for it=1:ntim time(it)=(it-1)*dt/3600; for i=1:n dif(i)=def(to(i),xo(i)); lak(i)=lam(xo(i)); end for i=2:n-1 a(i)=-(dif(i)/dr2-dif(i)/(rk(i)*dr)-(dif(i+1)-dif(i-1))/(4*dr2)); c(i)=-(dif(i)/dr2+dif(i)/(rk(i)*dr)+(dif(i+1)-dif(i-1))/(4*dr2)); b(i)=1/dt+2*dif(i)/dr2; d(i)=xo(i)/dt; end a(1)=0;b(1)=1/dt+2*dif(1)/dr2;c(1)=-2*dif(1)/dr2;d(1)=xo(1)/dt; a(n)=0;b(n)=1;c(n)=0;d(n)=gab(fi,tn(n)); xn=tridag(a,b,c,d,n); for i=2:n-1 a(i)=-(lak(i)/dr2-lak(i)/(rk(i)*dr)-(lak(i+1)-lak(i-1))/(4*dr2)); c(i)=-(lak(i)/dr2+lak(i)/(rk(i)*dr)+(lak(i+1)-lak(i-1))/(4*dr2)); b(i)=rho*cp/dt+2*lak(i)/dr2; d(i)=rho/dt*(cp*to(i)+(xn(i)-xo(i))*hlg); end a(1)=0;b(1)=rho*cp/dt+2*lak(1)/dr2;c(1)=-2*lak(1)/dr2; d(1)=(rho*cp*to(1)+(xn(1)-xo(1))*hlg)/dt; a(n)=-lak(n)/dr; b(n)=lak(n)/dr+alf; c(n)=0; d(n)=alf*ta; tn=tridag(a,b,c,d,n); tres(:,it)=tn;xres(:,it)=xn; xo=xn;to=tn; end Laasonen Xn Laasonen Tn vnitřní odpar

34 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace a testy function d=def(t,x) r=8.314; d=2.26e-5*exp(-29500/(r*(t+273))-2.5*x); function xeq=gab(fi,temp) r=8.314;t=temp+273; kappa=1.3668*exp(-894/(r*t)); zeta=3.66e-17*exp(1.077e5/(r*t)); omega=0.0051*exp(-5725/(r*t)); xeq=100*zeta*kappa*omega*fi/((1-kappa*fi)*(1-kappa*fi+zeta*kappa*fi)); function l=lam(x) l=(x* )/(1+x); function alf=alpha(vel,r) pr=0.71;ny=20e-6;lam=0.03;re=2*r*vel/ny; nulam=0.664*re^0.5*pr^(1/3); nut=0.037*re^0.8*pr/( *(pr^(2/3)-1)/re^0.1); nu=2+(nulam^2+nut^2)^0.5; alf=nu*lam/(2*r); function u = tridag(a,b,c,r,n) bet=b(1); u(1)=r(1)/bet; for j=2:n gam(j)=c(j-1)/bet; bet=b(j)-a(j)*gam(j); u(j)=(r(j)-a(j)*u(j-1))/bet; end for j=n-1:-1:1 u(j)=u(j)-gam(j+1)*u(j+1); end Difúzní součinitel GAB sorpční izoterma lambda Součinitel přenosu tepla TDMA

35 NAP7 Sušení kávového zrna – diskretizace a testy povrchový odpar vnitřní odpar teplota povrchu Porovnání variant s vnitřním a vnějším odparem


Stáhnout ppt "NAP7 Finite difference method (FD schemes and stability analysis). Hyperbolic equations - back to waterhammer Parabolic equation - temperature and concentration."

Podobné prezentace


Reklamy Google