registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/

Prezentace na téma: "registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/"— Transkript prezentace:

1 registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
10. září 2012 VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM ŘEŠENÍ ROVNIC S FAKTORIÁLY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík. Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/

2 Řešení rovnic s faktoriály
Jaké druhy rovnic obsahující faktoriály se dají v kombinatorice počítat ? Odpověď nám dává následující prezentace! obr.1

3 Faktoriál čísla Ke stručnému označení součinu všech
přirozených čísel od 1 do n (n N) jsme zavedli symbol n!, který se čte n faktoriál. Definuje se tedy: Je účelné dodefinovat taky: obr.2

4 Řešení rovnic s faktoriály
V kombinatorických úlohách (při řešení příkladů na variace, permutace, kombinace) se dostáváme k pojmu faktoriálu čísla. Tyto úlohy zpravidla vedou k řešení různých typů rovnic. Při řešení některých rovnic stanovujeme podmínky, pro které jsou výrazy v rovnicích definovány. Dodržujeme zásady pro počítání s rovnicemi. O tom, zda kořeny rovnice vyhovují rovnici, se v příkladech, u nichž na začátku nestanovujeme podmínky, přesvědčíme zkouškou.

5 Řešení rovnic s faktoriály
V následujících šesti početních příkladech si ukážeme základní typy rovnic s faktoriálem čísla a způsoby jejich řešení. Faktoriál čísla se objevuje i v logaritmických rovnicích. V této prezentaci je uvedeno řešení rovnice, která v sobě spojuje logaritmus i faktoriál čísla.

6 Příklad 1 Řešte rovnici: obr.1

7 Řešení příkladu 1 Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy
v rovnici definovány: Následně řešíme rovnici, upravujeme výraz s faktoriály: obr.2 Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijme Viétovy vzorce. Oba kořeny vyhovují podmínce.

8 Příklad 2 Řešte rovnici: obr.1

9 Řešení příkladu 2 Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: Poté řešíme rovnici a upravujeme výraz s faktoriály: obr.2 Po úpravách vzniká úplná kvadratická rovnice, dořešíme ji přes diskriminant D.

10 Řešení příkladu 2 - pokračování
obr.2 Odtud dostaneme 2 řešení: Naší podmínce vyhovuje kořen x1 = 3, kořen x2 = 0,5 nevyhovuje.

11 Příklad 3 Řešte rovnici: obr.1

12 Řešení příkladu 3 Stanovíme nejdříve podmínky platnosti výrazů v rovnici: Následně řešíme rovnici a upravujeme výrazy s faktoriály: obr.2

13 Řešení příkladu 3 - pokračování
Následně vznikne kvadratická rovnice, kterou dořešíme: Užitím Viétových vzorců platí: Ze vzorců vychází jediný dvojnásobný reálný kořen: Kořen x = 5 vyhovuje podmínce platnosti a je řešením rovnice.

14 Příklad 4 Řešte rovnici: obr.1

15 Řešení příkladu 4 Levou stranu rovnice upravíme pomocí vzorce na výpočet počtu variací bez opakování: Užitím Viétových vzorců kvadratickou rovnici dořešíme: O tom, zda kořeny vyhovují rovnici, se přesvědčíme zkouškou. obr.2

16 Řešení příkladu 4 - pokračování
Zkouška: Pro n = - 2 nejsou variace definovány. Kořen x2 = 2 nevyhovuje. Řešení rovnice je: x = 7 obr.2

17 Příklad 5 Řešte rovnici: obr.1

18 Řešení příkladu 5 Při řešení rovnice použijeme vlastnosti kombinačních čísel a dále upravujeme známými způsoby: Na dořešení kvadratické rovnice opět použijeme Viétovy vzorce: O tom, zda oba kořeny vyhovují rovnici se opět přesvědčíme zkouškou. obr.2

19 Řešení příkladu 5 - pokračování
Zkouška: Pro n = - 3 nejsou kombinace definovány. Kořen x2 = 3 nevyhovuje. Řešení rovnice je: x = 10. obr.2

20 Příklad 6 Řešte rovnici: obr.1

21 Řešení příkladu 6 Na začátku stanovíme podmínky platnosti výrazů v rovnici: Z definice logaritmu si nahradíme číslo 1: 1 = log66 Při řešení rovnice využijeme větu o logaritmu podílu: obr.2

22 Řešení příkladu 6 - pokračování
Po odstranění logaritmů úloha vede k vyřešení kvadratické rovnice: Přes Viétovy vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice zjistíme oba její kořeny x1,x2: Kořen x1 = - 6 nevyhovuje podmínce platnosti výrazů v rovnici. Řešením rovnice je: x = - 1.

23 CITACE ZDROJŮ Použitá literatura:
HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s , 205. ISBN POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus spol. s. r. o., 1998, s ISBN X

24 CITACE ZDROJŮ Použité obrázky:
1) People - Stick Figures - Stick blueman Public Domain Clip Art. [online]. [cit ]. Dostupné pod licencí Public domain z: People - Stick Figures - Stick blueman Public Domain Clip Art. [online]. [cit ].Dostupné pod licencí Public domain z: Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

25 Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.
Mgr. Daniel Hanzlík