Fraktály (za 10 bilionů dolarů)

Prezentace na téma: "Fraktály (za 10 bilionů dolarů)"— Transkript prezentace:

1 Fraktály (za 10 bilionů dolarů)

2 Cesta k Fraktálům I Řekněme, že sestrojím kyvadlo, které se zhoupne jednou za den a nechám ho kývat celý měsíc. Vlivem odporu vzduchu se jeho amplituda bude zvolna zmenšovat. Výsledný graf polohy kyvadla (tedy jeho vzdálenosti od rovnovážné polohy) v závislosti na čase bude vypadat takto:

3

4 Cesta k Fraktálům II Teď vám ukážu čtyři různé výřezy z tohoto grafu a řeknu vám, že jeden ukazuje pohyb kyvadla během celého měsíce, druhý během jednoho týdne, třetí během jednoho dne, a čtvrtý během dvou hodin. Jistě nebudete mít problém říct, který obrázek je který, a dokážete je dokonce bez problémů do sebe zařadit.

5

6 1 měsíc 1 týden 1 den 2 hodiny

7 Cesta k Fraktálům III Takto by to fungovalo pro grafy mnoha různých reálných procesů, například průběh teploty před vaším domem, vzdálenost Země od Slunce, polohu auta, kterým dojíždíte do práce, …

8 U Fraktálů doma I Teď si vezměte jinou časovou řadu, taky měsíční (z ledna 2011), tentokrát kurz australského dolaru ke kanadskému dolaru na americké burze. Kurz je sledován přibližně každých pět vteřin. Zdroj dat: Gaincapital

9 U Fraktálů doma II Zase vám ukážu čtyři různé výřezy z tohoto grafu a řeknu vám, že jeden ukazuje pohyb kurzu během celého měsíce, druhý během jednoho týdne, třetí během jednoho dne, a čtvrtý během dvou hodin.

10

11 U Fraktálů doma III Pokud budete chtít vědět, který obrázek je který, budete s tím mít překvapivě velké potíže. Tak vám to prozradím:

12 1 měsíc 1 týden 1 den 2 hodiny

13 U Fraktálů doma IV Právě jste si ověřili, že tato časová řada vykazuje takzvanou samo-podobnost, tedy její menší části jsou (k nerozeznání) podobné větším. Na rozdíl od záznamu kyvadla, tato časová řada nemá žádné charakteristické měřítko, které by umožnilo rozeznat kratší úseky od delších.

14 Návštěva u Mandelbrotů
Fenoménu samo-podobnosti, který vykazuje mnoho časových řad ekonomických ukazatelů, si všiml už v šedesátých letech Benoit Mandelbrot a ukázal, že z toho plynou závažné důsledky pro možnost předpovídat, jak se takové řady budou vyvíjet. Zdroj obrázku: wikipedia

15 Je matematika důležitá?
Většina ekonomů ovšem jeho pozorování zcela ignorovala a dále počítala riziko výkyvů v ekonomických řadách, jako kdyby šlo o kyvadlo z našeho prvního příkladu. Důsledkem byla katastrofální finanční krize z roku 2008, která nás už stála asi 10 bilionů dolarů (to je jednička a dvanáct nul!), z jejíhož důsledku jsme se dodnes nevzpamatovali (a ještě dlouho nevzpamatujeme). A pak že matematika není důležitá...

16 Je matematika použitelná?
Je nutno poznamenat, že jsou i čestné výjimky, které si Mandelbrotových výsledků včas všimly. Mezi nejznámější patří Nicolas Nassim Taleb, který na neschopnosti mainstreamových ekonomů pochopit, co se děje, vydělal docela slušné peníze. Zdroj obrázku: wikipedia A pak že matematika není použitelná...

17 Kde najít víc Pokud si o tom chcete přečíst víc, podívejte se na:
Časopis Wired: Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street Článek Benoita Mandelbrota: How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street Scientific American, February 1999 Kniha Nassima Taleba: The Black Swan … kdo čte jen česky, má smůlu

18 Kochova vločka Zamysleme se ale nad tím, jak vlastně můžou vzniknout samo-podobné útvary, jejichž části se podobají celku. Nejznámějším z těchto útvarů je Kochova vločka.

19 Vznik Kochovy vločky Začneme s rovnostranným trojúhelníkem.
Z každé jeho strany umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. Z každé strany vzniklé šesticípé hvězdy umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. Z každé strany vzniklého útvaru umažeme prostřední třetinu a postavíme nad ní rovnostranný trojúhelník. A tak pokračujeme pořád dál a dál… Zdroj obrázku: ecademy

20 Kochova vločka jako živá I
Výsledná množina je úžasně složitá, ačkoliv vznikla neustálým opakováním poměrně jednoduchého pravidla. Je krásná a připomíná sněhovou vločku. Zdroj animace: wikipedia

21 Kochova vločka jako živá II
Následující animace výborně ilustruje samo-podobnost Kochovy vločky Zdroj animace: wikipedia

22 Fraktály Pro takové objekty vymyslel Benoit Mandelbrot jméno, začal jim říkat fraktály zdroj obrázku: wikipedia

23 Souvisí fraktály s matematikou?
Zatím to vypadá, že fraktály jsou jen nějaké zajímavé obrázky, ale není vůbec jasné, jestli nějak souvisejí s matematikou. To je ale jen zdání – ve skutečnosti se fraktály vynořují z překvapivě jednoduchých rovnic.

24 Komplexní čísla Pokud víte, co jsou komplexní čísla a jak se sčítají a umocňují, následující část klidně přeskočte. Jinak dávejte pozor: Komplexní číslo je krycí jméno pro šipečku v rovině vedoucí z počátku (bod 0,0 ) do nějakého bodu (třeba 𝑎,𝑏 ).

25 Sčítání komplexních čísel
Sčítat dvě šipečky je jednoduché: nalepíte druhou na konec té první. Je to stejné, jako kdybyste sčítali po složkách, tedy 𝑎,𝑏 + 𝑐,𝑑 = 𝑎+𝑐,𝑏+𝑑 .

26 Umocňování komplexních čísel
Každá šipečka má nějakou velikost (té říkáme ρ) a nějaký úhel (tomu říkáme ϕ). Umocnit šipečku na druhou znamená umocnit její velikost na druhou a zvětšit úhel na dvojnásobek. Umocnit šipečku na třetí znamená umocnit její velikost na třetí a zvětšit úhel na trojnásobek. A tak dál pro jakoukoliv přirozenou mocninu.

27 Jak na komplexní čísla I
Teď víte o komplexních číslech vše, co budete potřebovat. Pojďme si to vyzkoušet: Vezmeme šipečku 1,1 a umocníme ji na druhou. K výsledku přičteme 1,1 a zase to umocníme na druhou. A tak dál, a tak dál... Dostaneme postupně šipečky 1,1 , 1,3 , −7,7 , 1,−97 , ... Vyzkoušejte si to. Velikost výsledků se rychle zvětšuje a konec šipečky prchá k nekonečnu.

28 Jak na komplexní čísla II
Vyzkoušejme si to znovu na jiné šipečce. Vezmeme šipečku − 1 2 , a umocníme ji na druhou. K výsledku přičteme − 1 2 , a zase to umocníme na druhou. A tak dál... Tentokrát jsou výsledné šipečky pořád omezené velikosti, pěkně si hrají kolem počátku a dokonce jejich koncové body (označené hvězdičkami) tvoří pěkný obrázek.

29 Fraktál snadno a rychle
Matematicky bychom naši předchozí početní hru s šipečkami mohli vyjádřit pomocí rovnice 𝒛 𝒏+𝟏 = 𝒛 𝒏 𝟐 +𝒄 𝑐 je nějaká šipečka (my jsme vyzkoušeli 𝑐= 1,1 a 𝑐= −1 2 , 1 2 ) 𝑧 𝑛+1 je výsledek po (𝑛+1) krocích 𝑧 𝑛 je výsledek po 𝑛 krocích a začínáme vždy se 𝑧 0 = 0,0

30 Mandelbrotova množina
Teď si představte, že bychom takto prozkoumali všechny možné hodnoty 𝑐 černě bychom obarvili vrcholy těch šipeček 𝑐, pro které zůstanou hodnoty 𝑧 𝑛 ve všech krocích omezené, jako třeba v případě 𝑐= − 1 2 , 1 2 bíle bychom obarvili ty, které utečou k nekonečnu, jako třeba 𝑐= 1,1 Výsledná černobílá množina se taky jmenuje po Mandelbrotovi

31 To je ona:

32 Mandelbrotova množina II
Mandelbrotova množina je asi nejslavnější fraktál na světě a má mnoho úžasných vlastností. Čím blíž se na ni díváte, tím víc neuvěřitelných detailů nacházíte. Prohlédněte si pár následujících obrázků z wikipedie, které postupně odhalují jemnější a jemnější detaily Mandelbrotovy množiny.

33

34

35

36 Hrátky s fraktály Jak vás jednou fraktály zaujmou, už se od nich neodtrhnete. Stáhněte si třeba zkušební verzi prográmku UltraFractal a pohrajte si. Nebo se aspoň podívejte na videoprůzkum Mandelbrotovy množiny. Na webu najdete tisíce krásných obrázků fraktálů i mnoho výukových, popularizačních i odborných textů.

37 Obrázky jsou sice hezké, ale jaké z toho všeho plyne poučení?

38 Poučení 1: Svět je jednodušší, než se zdá.
Strašně komplikovaný a úžasně uspořádaný systém plný různých pravidelností, vzorů a struktur na všech možných úrovních může být produktem úplně jednoduchého pravidla. Jen ho najít. Tušili byste, že za celou nekonečnou složitostí Mandelbrotovy množiny je pouze jediná kraťoučká rovnice 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 2 +𝑐, kdybych vám ji neukázal?

39 Poučení 2: Svět je složitější, než se zdá.
I úplně jednoduchá pravidla mohou vést ke zdánlivě nekonečně složitému chování a přesná znalost těchto pravidel nám nemusí nijak přispět k porozumění, vysvětlení a předvídání toho, jak se systém vlastně bude chovat. Tušili byste, že v rovnici 𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛 2 +𝑐 je někde schovaný obrázek mořského koníka?

40 Fraktály jsou všude kolem nás …
… stačí se jen dívat.