Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná.

Prezentace na téma: "Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná."— Transkript prezentace:

1 Derivace funkce Derivací funkce f je funkce f ´ která udává sklon (strmost) funkce f v každém jejím bodě Kladná hodnota derivace  rostoucí funkce Záporná hodnota derivace  klesající funkce Nulová hodnota derivace  možný extrém x x1 f(x1) x2 f(x2) f x  f(x) x

2 Význam derivace Pohybová rovnice
Určení rychlosti a zrychlení z pohybové rovnice Rychlost je derivací polohy podle času, zrychlení derivací rychlosti podle času  druhou derivací polohy podle času Je-li známa poloha tělesa v každém čase, tj. funkce x(t), y(t), z(t) …. kinematika tělesa, získáme dvojím derivováním zrychlení v každém okamžiku  2. Newtonovým zákonem sílu .... dynamiku tělesa

3 Význam derivace Vztah síly a potenciální energie
Síla je dána prostorovou derivací potenciální energie Ze znalosti potenciální energie jako funkce souřadnic lze získat derivováním působící sílu

4 Význam derivace Určování lokálních extrémů (minima, maxima)
Řešení úlohy minimalizuje určitou funkci Stabilní poloha – minimalizace potenciální energie, nulová síla Termodynamická rovnováha – maximalizace entropie Řešení diferenciálních rovnic Např. řešení pohybové rovnice

5 Pravidla pro počítání derivací
Derivace základních funkcí f f´ xn x konst. nxn-1 1 sin x cos x -sin x ex ax ax.ln a ln x loga x 1/x 1/(x.ln a)

6 Pravidla pro počítání derivací
Derivace součtu Derivace součinu

7 Pravidla pro počítání derivací
Derivace podílu

8 Pravidla pro počítání derivací
Derivace složené funkce

9 Derivace vyšších řádů

10 Harmonický kmitavý pohyb
Mechanický vznik harmonického kmitavého pohybu Těleso na pružině Síla úměrná výchylce k k ... tuhost pružiny m Řešení diferenciální rovnice ... maximální výchylka a může být libovolné, úhlová frekvence  musí splňovat podmínku

11 Harmonický kmitavý pohyb
Rychlost k m Zrychlení

12 Harmonický kmitavý pohyb
Potenciální energie pružiny m k Kinetická energie tělesa

13 Parciální derivace U funkce více proměnných definujeme derivace podle jednotlivých proměnných a značíme je symbolem  Jedná-li se o prostorou funkci tří souřadnic, tvoří parciální derivace podle jednotlivých souřadných os vektor – gradient funkce f

14 Spočtěte parciální derivace

15 Spočtěte druhé parciální derivace

16 Derivace podle prostorové proměnné značení čárkou
Fyzikální derivace Derivace podle prostorové proměnné značení čárkou Derivace podle času značení tečkou Parciální derivace udávají změnu hodnoty funkce f (její strmost) při změně pouze jedné ze závislých proměnných (x,t)

17 Fyzikální derivace Derivování vektorových funkcí probíhá po složkách a platí pro něj obdobná pravidla jako pro skalární funkce

18 Fyzikální derivace Derivování funkce velikosti polohového vektoru r a odvozených funkcí lze provádět buď podle skalární velikosti nebo vektorově pomocí vyjádření není obecně rovno rychlosti viz otáčivý pohyb

19 Síla v radiálním potenciálovém poli
Síla je záporným gradientem potenciální energie

20 Síla v radiálním potenciálovém poli
Výsledný vektor síly Radiální gravitační, elektrostatické pole