Diferenciální geometrie křivek

Prezentace na téma: "Diferenciální geometrie křivek"— Transkript prezentace:

1 Diferenciální geometrie křivek

2 Způsoby zadání rovinné křivky, polární souřadnice
Parametrické rovnice Imlicitní rovnice Explicitní rovnice Kartézské souřadnice Polární souřadnice f r M x y M x y

3 Křivka třídy Cn Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi X(t) je spojitá na intervalu I X(t) je prostá X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu Vektor derivace X´(t) není nulový. Rovinná křivka Prostorová křivka

4 Cykloida Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení

5 Transformace parametru
Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi f(u) je prostá na J f(u) zobrazuje J na I f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu, pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).

6

7 Tečna křivky Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0): X(t0) X(t)
X(t0+h) X(t0) X(t) Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):

8 Tečna křivky Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.
Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0): Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.

9 Šroubovice

10 Šroubovice Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí ve směru osy o. Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .

11 Šroubovice je křivka konstantního spádu
Tečna šroubovice Šroubovice: tečný vektor: půdorys tečného vektoru: Spád šroubovice: Šroubovice je křivka konstantního spádu

12 Frenetův doprovodný trojhran
Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace. Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným bodem. Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny. Frenetův doprovodný trojhran je tvořen jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b t – tečna n – hlavní normála b – binormála o = (t,n) – oskulační rovina n = (b,n) – normálová rovina

13 Oskulační rovina šroubovice a plocha tečen šroubovice

14 Výpočet Frenetova trojhranu
Jednotkový vektor tečny Jednotkový vektor binormály Jednotkový vektor hlavní normály X

15 Inflexní bod Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní bod křivky, jestliže jsou vektory první a druhé derivace lineárně závislé. V inflexním bodě není určen Frenetův doprovodný trojhran.

16 Délka oblouku křivky X(t) mezi body X(ta) a X(tb)
b=X(tn) X(t1) X(t2) X(t3)

17 Parametrizace délkou oblouku
Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t). 4 2 X(1) X(2) X(3)

18 Křivost křivky Křivost křivky je mírou vychýlení křivky od tečny.

19 Geometrický význam křivosti
Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v něm první křivost nulová. Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má funkce první křivosti extrém.

20 Křivka parametrizovaná délkou oblouku
Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém bodě vektor X´(l) jednotkový. Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky. Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:

21 Výpočet křivosti křivky
Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x) Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2

22 Parametrizace šroubovice délkou křivky

23 Křivost a hlavní normála šroubovice
Šroubovice je křivka konstantní křivosti.

24 Frenetův doprovodný trojhran šroubovice
tečna hlavní normála binormála

25 Ekvidistanta křivky k Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d. Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a s poloměrem rovným distanci r=d

26 Evoluta křivky Obálka normál dané křivky
Množina středů oskulačních kružnic Evoluta je množina singulárních bodů ekvidistantních křivek

27 Oskulační kružnice křivky
V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T. Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost. Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2 ve vrcholu V[0,0]. r =1/k – poloměr křivosti S – střed křivosti

28 Oskulační kružnice elipsy

29 Oskulační kružnice Archimedovy spirály

30 Oskulační kružnice prosté cykloidy

31 Dotyk křivek O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1 bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty parametru s0, l0, pro které platí: Dotyk nultého řádu Dotyk 1.řádu Dotyk 2. řádu t n O k

32 Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně
Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu. Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň n-tého řádu.

33 Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)

34 Taylorův rozvoj kružnice

35 Přechodnice Spojitý průběh křivosti.
křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého úseku a kružnicového oblouku. s an s an Spojitý průběh křivosti. Kubická parabola – užívala se v ČR v železniční dopravě. Bernoulliova lemniskáta – používala se pro zatáčku menších poloměrů, na železnicích, vodních cestách i tramvajových kolejích. Zatáčka – smerovy oblouk

36 Klotoida Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l

37 Klotoida

38 Klotoida a kubická parabola
Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.

39 Blossova přechodnice Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L. Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r. Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l. Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice. Celkové převýšení vzestupnice - pn

40 Blossova přechodnice Převýšení je přímo úměrné křivosti
Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem l,tj. Kde t(l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy přechodnice s rovným úsekem.

41 Blossova přechodnice Funkci t(l) určíme ze vzorce pro křivost křivky parametrizované obloukem. Dosazením t(l) do rovnic pro směrový vektor tečny.

42 Blossova přechodnice Parametrické rovnice - Blossova přechodnice je parametrizovaná délkou l. Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku t(L) platí

43 Aproximace Blossovy přechodnice polynomem
Sestrojíme Taylorův rozvoj v bodě l=0. Po integraci

44 Základní vytyčovací parametry
Pro koncový bod přechodnice l=L. Souřadnice středu kružnicového oblouku Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku