Metodické pokyny Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník.

Prezentace na téma: "Metodické pokyny Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník."— Transkript prezentace:

1

2 Metodické pokyny Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník. Inovace spočívá ve využití interaktivního prostředí. Výklad využívá podobnosti trojúhelníků. Před výkladem je třeba zopakovat věty o podobnosti trojúhelníků. Žák musí mít psací a rýsovací potřeby, barevné tužky.

3 Klíčová slova: odvěsny, přepona úseky na přeponě podobnost trojúhelníků obsah pravoúhelníků

4 Řešení pravoúhlého trojúhelníka Eukleidovy a Pythagorova věta

5 Názvy stran: AB … přepona trojúhelníka AC, BC …odvěsny trojúhelníka Velikosti stran: ǀABǀ = c ǀACǀ = b ǀBCǀ = a

6 CP … výška na přeponu AP … úsek na přeponě přilehlý k odvěsně b BP … úsek na přeponě přilehlý k odvěsně a v = ǀPVǀ C a = ǀBPǀ C b = ǀAPǀ

7 APC CPB (uu) = =

8 Eukleidova věta o výšce: v 2 = c a. C b V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků na přeponě. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě.

9 v 2 = c a. C b

10 ACB CPB ACB APC = = = =

11 Eukleidova věta o odvěsně: a 2 = c. C a b 2 = c. C b V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku na přeponě. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a přilehlého úseku na přeponě.

12 a 2 = c. c a

13 b 2 = c. C b

14 Sečteme oba vztahy: a 2 = c. c a b 2 = c. C b a 2 + b 2 = c. c a + c. C b = c.(c a + C b ) = c 2 a 2 + b 2 = c 2

15 Pythagorova věta: a 2 + b 2 = c 2 V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnina délek obou odvěsen. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

16 a 2 + b 2 = c 2

17 Věta obrácená k větě Pythagorově: Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah a 2 + b 2 = c 2, pak je tento trojúhelník pravoúhlý a c je délka přepony.

18 Z historie:

19 Eukleidés též Euklides (asi 325 př. n. l. – 260 př. n. l.) byl řecký matematik a geometr. Eukleides - Wikipedie. [Online] 14. 12 2012. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.

20 O Eukleidově životě víme velmi málo. Narodil se v Řecku, většinu života strávil v Egyptě. Vedle základů geometrie se věnoval i teorii čísel, perspektivě, kuželosečkám. Hlavním jeho dílem jsou Základy, kde ve třinácti knihách, jež začínají stanovením deseti základních axiomů. Základy shrnují práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů a jsou nejúspěšnější matematickou knihou všech dob, která se užívala víc než 2000 let!

21 Pythagoras ze Samu (6. století př. n. l.) byl řecký matematik a filosof. Pythagoras - Wikipedie. [Online] 20. 1 2013. [Citace: 21. 1 2013.] http://cs.wikipedia.org/wiki.

22 Starší kultury věděly, že trojúhelník, jehož strany jsou v poměru 3:4:5 je pravoúhlý a Číňané to dovedli i geometricky dokázat. Z díla Pythagora se nic nezachovalo. Věta pojmenována něho, byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).

23 Citace zdroje: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Planimetrie. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 206 s. ISBN 80- 701-5468-3.