VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli

Prezentace na téma: "VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli"— Transkript prezentace:

1 VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli
Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“ Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_215_Kli Druh učebního materiálu Prezentace Autor  Mgr. Květa Klímová

2 Vzdělávací obor, pro který je
materiál určen Hotelnictví, Ekonomické lyceum, Obchodní akademie Předmět Matematika Ročník druhý Název tematické oblasti (sady) Funkce Název vzdělávacího materiálu Funkce - goniometrické funkce (1) Anotace Vzdělávací materiál obsahuje definice goniometrických funkcí ostrého úhlu jako poměry délek stran trojúhelníku. Slouží k výkladu látky, která je doplněna příklady. Může být použit ve 2. ročníku matematiky studijních oborů nebo ve 3. ročníku v matematickém semináři při opakování látky. Zhotoveno, (datum/období) červen 2013 Ověřeno 16. dubna 2014

3 Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

4 Podobnost pravoúhlých trojúhelníků
Každé dva pravoúhlé trojúhelníky, které se shodují v jednom ostrém úhlu, jsou podobné (podle věty uu). Protože se každé dva podobné trojúhelníky shodují v poměrech délek všech stran, bylo vhodné tyto poměry pojmenovat, pro jednotlivé hodnoty úhlů vypočítat a sestavit do tabulek. Tyto poměry se nazývají goniometrické funkce a to sinus úhlu, kosinus úhlu, tangens úhlu a kotangens úhlu. Výpočty dnes obvykle provádíme na kalkulátoru.

5 Goniometrické funkce ostrého úhlu
sinus úhlu 𝒔𝒊𝒏 𝜶= 𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒕𝒊𝒍𝒆𝒉𝒍é 𝒐𝒅𝒗ě𝒔𝒏𝒚 𝒅é𝒍𝒌𝒂 𝒑ř𝒆𝒑𝒐𝒏𝒚 kosinus úhlu 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑦 tangens úhlu 𝑡𝑔𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 kotangens úhlu 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙é 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑦 Vzhledem k úhlu alfa je strana: 𝑎……………𝑝𝑟𝑜𝑡𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑏………………𝑝ř𝑖𝑙𝑒ℎ𝑙á 𝑜𝑑𝑣ě𝑠𝑛𝑎 𝑐…………………………𝑝ř𝑒𝑝𝑜𝑛𝑎

6 Zapište goniometrické funkce úhlu alfa jako poměry délek stran v příslušném pravoúhlém trojúhelníku:
Trojúhelník KLM Trojúhelník PQR 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑘 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑙 𝑚 𝑡𝑔𝛼= 𝑘 𝑙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑙 𝑘 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑞 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑝 𝑟 𝑡𝑔𝛼= 𝑞 𝑝 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼= 𝑝 𝑞

7 Výpočty v pravoúhlém trojúhelníku
Dopočítejte zbývající strany a úhly v pravoúhlém trojúhelníku ABC, jestliže: 𝒃=𝟏𝟐 𝒄𝒎, 𝒄=𝟏𝟑 𝒄𝒎 𝒂=𝟐𝟒 𝒄𝒎, 𝜶=𝟑𝟓°𝟏𝟓´ Výpočet: pomocí Pythagorovy věty odvěsnu a 𝑎= 𝑐 2 − 𝑏 2 pomocí funkce kosinus úhel alfa 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑏 𝑐 pomocí úhlu alfa úhel beta 𝛽=90°−𝛼 Výsledek: 5 𝑐𝑚, 22°37´,67°23´ Výpočet: pomocí úhlu alfa úhel beta 𝛽=90°−𝛼 pomocí funkce tangens stranu b 𝑏= 𝑎 𝑡𝑔𝛼 pomocí Pythagorovy věty přeponu c= 𝑎 2 + 𝑏 2 Výsledek: °45´,34 𝑐𝑚,42 𝑐𝑚

8 Hodnoty goniometrických funkcí vybraných úhlů
Zapište přesné hodnoty goniometrických funkcí pro úhly 30°, 45°, 60°. K výpočtu využijte obrázky: 30° 45° 60° sinus 1 2 2 2 3 2 kosinus tangens 3 3 1 3 kotangens

9 Slovní úlohy Příklad č.2 Lanovka má délku m. Její sklon je 32°. Jaký je výškový rozdíl dolní a horní stanice lanovky? Příklad č.1 Na břehu řeky je změřena vzdálenost AB = 20 m kolmá na směr AC. Z bodu B je vidět bod C na protějším břehu pod úhlem 60°. Jaká je vzdálenost bodů A, C? Řešení: pomocí funkce tangens. Šířka řeky je 34,6 m. Řešení: pomocí funkce sinus. Výškový rozdíl je 1324,8 m.

10 Slovní úlohy - procvičení
Příklad č. 1 Dvě přímé ulice se křižují v místě K v úhlu 51°. Místo A na jedné z těchto ulic, vzdálené m od křižovatky K, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? (1 263 m) Příklad č. 2 Jaký je sklon žebříku délky 6,2 m, který je svým horním okrajem opřen ve výšce 5,12 m? (55°40´) Příklad č. 3 Určete poloměr kružnice, ve které ke středovému úhlu 66°20´ přísluší tětiva délky 66 cm. (60,32 cm) Příklad č. 4 Dvě navzájem kolmé síly působí v jednom bodě. Vypočtěte velikost výslednice, jestliže síly mají velikost 25,6 N a 44,8 N. Určete velikost úhlu, který svírá výslednice s kratší silou. (51,6 N; 60°15´)

11 Historická poznámka Podobně jako jiné vědy vznikla a rozvíjela se i nauka o goniometrických funkcích při řešení praktických úloh. Potřeba řešení úzce souvisela astronomií, mořeplavectvím a stavebnictvím. Některé znalosti měli již Egypťané, Babyloňané a Chaldejci, od kterých ve 4. st. př. n. l. získali základní poznatky starořečtí matematici. Například dělení plného úhlu na 360° a stupeň na 60´. Dnešní podobu trigonometrie vytvořil petrohradský akademik švýcarského původu Leonhard Euler ( ). Rozšířil definici goniometrických funkcí na všechny úhly.

12 Použitá literatura: PAVLÍKOVÁ, Pavla a SCHMIDT, Oskar. Základy matematiky. Vyd. 1. Praha: Vydavatelství VŠCHT, vi, 264 s. ISBN X. ODVÁRKO, Oldřich. Sbírka úloh z matematiky pro gymnázia. Funkce. 1. vyd. Praha: Prometheus, s. Učebnice pro střední školy. ISBN klodner, Jaroslav. Sbírka úloh z matematiky pro obchodní akademie. 2. vyd. Svitavy: Svitavská tiskárna, s.  Použité zdroje: Pro sestrojení grafů jsem použila program GeoGebra. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.