Množiny bodů dané vlastnosti

Prezentace na téma: "Množiny bodů dané vlastnosti"— Transkript prezentace:

1 Množiny bodů dané vlastnosti
Základní názvosloví Kružnice Thaletova kružnice Rovnoběžné přímky Osa úsečky Osa úhlu Souhrnné konstrukční úlohy Konstrukce trojúhelníku Konstrukce čtyřúhelníku Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

2 Základní názvosloví menu
Množinou M všech bodů dané vlastnosti V rozumíme takový geometrický útvar G, jehož všechny body splňují následující dvě podmínky: 1) Každý bod útvaru G má danou vlastnost V. 2) A obráceně, každý bod, který má danou vlastnost V, je bodem útvaru G.

3 Množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| = r, je
MVBDV - Kružnice menu Množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| = r, je kružnice k(S;r). Kružnice k(S;r) je množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| = r X1 X2 r=|SX1| X7 r r r r S X6 X3 r r X5 X4 k

4 Množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| ≤ r je
MVBDV - Kružnice menu Množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| ≤ r je kruh K(S;r). Kruh K(S;r) je množina všech bodů X, které mají od bodu S vzdálenost|SX| ≤ r X1 X2 X8 r ≤ |SX1| X7 r X9 r r r S X6 X3 r r X10 X5 X4 k

5 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jehož vrchol C leží na
MVBDV - Kružnice menu 1) Sestrojte trojúhelník ABC, jehož vrchol C leží na polopřímce BX ve vzdálenosti 6 cm od bodu B. X k 1. k ; k(B; r = 6 cm) C 2. C ; C   BX  k 3.  ABC A B

6 2) Je dána základna AB rovnoramenného  ABC s rameny
MVBDV - Kružnice menu 2) Je dána základna AB rovnoramenného  ABC s rameny délky 5 cm. Sestrojte bod C a  ABC narýsujte. 1. k1 ; k1 (A; r = 5 cm) A 2. k2 ; k2 (B; r = 5 cm) k2 3. C ; C  k1  k2 4.  ABC C k1 B

7 3) Sestrojte kružnice k1 a k2 s poloměrem 2,5 cm, které mají
MVBDV - Kružnice menu 3) Sestrojte kružnice k1 a k2 s poloměrem 2,5 cm, které mají střed na přímce p a procházejí bodem A k2 k1 p S2 S1 1. a ; a (A; r = 2,5 cm) 2. S ; S  p  a 3. k ; k (S; r = 2,5 cm) A a

8 4) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jejichž vrchol C leží
MVBDV - Kružnice menu 4) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jejichž vrchol C leží na kružnici m ve vzdálenosti 6,5 cm od bodu A k C1 m M 1. k ; k (A; r = 6,5 cm) C2 2. C ; C  k  m 3.  ABC A B

9 5) Sestrojte kružnice k1 a k2 s poloměrem 2 cm, které mají
MVBDV - Kružnice menu 5) Sestrojte kružnice k1 a k2 s poloměrem 2 cm, které mají středy S1a S2 na kružnici k a procházejí bodem P k k1 1. a ; a (P; r = 2 cm) 2. S ; S  k  a 3. k1 ; k1 (S1 , r = 2 cm) S1 S 4. k2 ; k2 (S2 , r = 2 cm) a P S2 k2

10 6) Jsou dány kolmé přímky m, n. Bod S, který leží v průsečíku
MVBDV - Kružnice menu 6) Jsou dány kolmé přímky m, n. Bod S, který leží v průsečíku přímek m, n, je vrcholem čtverce RSTU se stranou 4 cm. Vrchol T leží na přímce n. Sestrojte vrcholy čtverec RSTU. k2 n 1. k1 ; k1 (S , r = 4 cm) U T k3 k1 2. T ; T  k1  n 3. R ; R  k1  m 4. k2 ; k2 (T , r = 4 cm) 5. k3 ; k3 (R , r = 4 cm) 6. U ; U  k2  k3 7. čtverec ABCD m R S

11 7) Je dáno rameno DE rovnoramenného  DEF se základnou
MVBDV - Kružnice menu 7) Je dáno rameno DE rovnoramenného  DEF se základnou EF a polopřímka DR. Sestrojte  DEF, jestliže vrchol F leží na polopřímce DR. E k 1. k ; k (D , r = |DE|) R F D 2. F ; F   DR  k 3.  DEF

12 8) Je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod C. Sestrojte
MVBDV - Kružnice menu 8) Je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod C. Sestrojte  ABC, jestliže vrchol B leží na přímce p a |BC|= 5 cm . 1. k ; k (C , r = 5 cm) C 2. B ; B  k  p 3.  ABC k A B p

13 9) Jsou dány 2 rovnoběžné přímky p a r. Na přímce p leží
MVBDV - Kružnice menu 9) Jsou dány 2 rovnoběžné přímky p a r. Na přímce p leží vrchol A kosočtverce ABCD se stranou 4 cm. Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže B  p , C  r a úhel  je tupý. k3 k2 1. k1 ; k1 (A , r = 4 cm) D C 2. B ; B  k1  p r 3. k2 ; k2 (B , r = 4 cm) 4. C ; C  k2  r 5. k3 ; k3 (C , r = 4 cm) 6. D ; D  k3  r A B p k1 7. kosočtverec ABCD

14 10) Je dána úsečka AB a polopřímka XY. Sestrojte  ABC,
MVBDV - Kružnice menu 10) Je dána úsečka AB a polopřímka XY. Sestrojte  ABC, jestliže vrchol C leží na polopřímce XY těžnice tc = 4 cm. 1. Sc ; Sc je střed AB Y C 2. k ; k(Sc; r = 4 cm) k 3. C ; C   XY  k 4.  ABC X A Sc B

15 MVBDV – Thaletova kružnice
menu Množinou všech bodů X, které s body A, B svírají pravý úhel, je Thaletova kružnice k s průměrem AB Thaletova kružnice s průměrem AB je množina všech bodů X, které s body A, B svírají pravý úhel. X2 X3 X1 k A B X6 X4 X5

16 1) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB,
MVBDV – Thaletova kružnice menu 1) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB, jestliže vrchol C je ve vzdálenosti 5 cm od bodu A. k2 1. S ; S je střed AB C 2. k1 ; k1 (S; r = |SA|) k1 3. k2 ; k2 (A; r = 5 cm) 4. C ; C  k1  k2 5.  ABC A S B

17 2) Sestrojte všechny pravoúhlé trojúhelníky ABC s
MVBDV – Thaletova kružnice menu 2) Sestrojte všechny pravoúhlé trojúhelníky ABC s přeponou AB, jestliže vrchol C leží na přímce p. p C2 1. S ; S je střed AB C1 2. k ; k (S; r = |SA|) k 3. C ; C  k  p 4.  ABC A S B

18 3) Sestrojte pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC s přeponou AB.
MVBDV – Thaletova kružnice menu 3) Sestrojte pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC s přeponou AB. o 1. o ; o je osa AB C 2. S ; S  o  AB k 3. k ; k (S; r = |SA|) 4. C ; C  k  o 5.  ABC A S B

19 4) Je dána kružnice k sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte
MVBDV – Thaletova kružnice menu 4) Je dána kružnice k sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte pravoúhlý  ABC s přeponou AB, jestliže |BC|= 4,5 cm. k1 C k 1. k1 ; k1 (B; r = 4,5 cm) 2. C ; C  k  k1 3.  ABC A S B

20 5) Sestrojte čtyřúhelník ABCD s pravým úhlem při vrcholu C,
MVBDV – Thaletova kružnice menu 5) Sestrojte čtyřúhelník ABCD s pravým úhlem při vrcholu C, jestliže vrchol C má ležet na polopřímce XY. Y C 1. S ; S je střed DB k 2. k ; k (S; r = |SB|) D 3. C ; C   XY  k X 4. čtyřúhelník ABCD S p A B

21 6) Sestrojte všechny pravoúhlé trojúhelníky XYZ s
MVBDV – Thaletova kružnice menu 6) Sestrojte všechny pravoúhlé trojúhelníky XYZ s přeponou XY, jestliže vrchol Z má ležet na kružnici k. k 1. S ; S je střed XY Z2 Z1 2. k1 ; k1 (S; r = |SX|) k1 3. Z ; Z  k  k1 4.  ABC S X Y

22 7) Úsečka AC je úhlopříčka obdélníku ABCD.
MVBDV – Thaletova kružnice menu 7) Úsečka AC je úhlopříčka obdélníku ABCD. Narýsujte obdélník ABCD, jestliže vrchol D leží na přímce p. p k D 1. S ; S je střed AC 2. k ; k (S; r = |SA|) 3. D ; D  k  p 4.  DS A S C 5. B ; B   DS  k 6. obdélník ABCD B

23 8) Je dána kružnice k se středem v bodě S a vně kružnice
MVBDV – Thaletova kružnice menu 8) Je dána kružnice k se středem v bodě S a vně kružnice bod A. Sestrojte tečny z bodu A na kružnici k a body dotyku označte T. t1 T1 k1 1. S1 ; S1 je střed SA k 2. k1 ; k1 (S1; r = |S1A|) 3. T ; T  k  k1 4. t ; t = AT S S1 A T2 t2

24 MVBDV – rovnoběžné přímky menu
Množina všech bodů X, které mají od přímky p vzdálenost x, jsou rovnoběžné přímky r1, r2 ve vzdálenosti x Rovnoběžné přímky r1, r2 ve vzdálenosti x jsou množina všech bodů X, které mají od přímky p vzdálenost x X1 X2 X6 X8 r1 x x x x p x x x x r2 X3 X4 X5 X7

25 1) Sestrojte trojúhelník ABC s výškou vc = 4 cm, jestliže vrchol
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 1) Sestrojte trojúhelník ABC s výškou vc = 4 cm, jestliže vrchol C leží na polopřímce BX X 1. p ; p AB , |pAB|= 4 cm C 2. C ; C   BX  p p 3.  ABC 4 cm A B

26 2) Sestrojte bod X, který leží na přímce b ve vzdálenosti 3,5 cm
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 2) Sestrojte bod X, který leží na přímce b ve vzdálenosti 3,5 cm od přímky p b X r 1. r ; r p , |rp|= 3 cm 3 cm 2. X ; X  b  r p

27 MVBDV – rovnoběžné přímky
menu 3) Sestrojte kružnice k1 a k2 s poloměrem 2 cm, které se dotýkají přímky p a jejichž středy S1 a S2 leží na kružnici k. 1. r ; r p , |rp|= 2 cm 2. S ; S  k  r 3. k1 ; k1 (S1; r = 2 cm) 4. k2 ; k2 (S2; r = 2 cm) k1 k2 k S1 S2 r S 2 cm p

28 4) Sestrojte kružnici k s poloměrem 3 cm, která prochází
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 4) Sestrojte kružnici k s poloměrem 3 cm, která prochází bodem A a dotýká se přímky p. 1. r ; r p , |rp|= 3 cm k1 2. k1 ; k1 (A; r = 3 cm) k 3. S ; S  k1  r 4. k ; k (S; r = 3 cm) A r S 3 cm p

29 5) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jejichž vrchol C leží na
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 5) Sestrojte všechny trojúhelníky ABC, jejichž vrchol C leží na kružnici k ve vzdálenosti 3 cm od přímky p. 1. r ; r p , |rp|= 3 cm 2. C ; C  k  r 3.  ABC k C2 C1 r S 3 cm p A B

30 MVBDV – rovnoběžné přímky
menu 6) Je dán úhel ABX. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže vzdálenost vrcholu C od úsečky AB je 4 cm a zároveň platí, že |< ABC|= 2.| < ABX| Y 1. < ABY ; |< ABY|= 2.|< ABX| p C 2. p ; p AB , |pAB|= 4 cm 3. C ; C  p   BY X 4.  ABC A B

31 7) Úsečka AB, která leží na přímce p, je strana kosočtverce
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 7) Úsečka AB, která leží na přímce p, je strana kosočtverce ABCD. Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže jeho výška je 3 cm 1. r ; r p , |rp|= 3 cm k2 k1 2. k1 ; k1 (B; r = |AB|) D C 3. C ; C  k1  r r 4. k2 ; k2 (C; r = |AB|) 5. D ; D  k2  r 6. kosočtverec ABCD p A B

32 a výška lichoběžníku je 3 cm.
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 8) Jsou dány přímky p, r a bod A, který leží na přímce p, je vrcholem rovnoramenného lichoběžníku ABCD. Sestrojte tento lichoběžník, jestliže B  p , D  r , základna AB má velikost 4 cm a výška lichoběžníku je 3 cm. r 1. x ; x p , |xp|= 3 cm k2 2. D ; D  x  r D C 3. k1 ; k1 (A; r = 4 cm) x 4. B ; B  k1  p 5. k2 ; k2 (B; r = |DA|) 6. C ; C  k2  x 7. lichoběžník ABCD B p A k1

33 9) Přepona KL pravoúhlého trojúhelníku  KLM leží na přímce p.
MVBDV – rovnoběžné přímky menu 9) Přepona KL pravoúhlého trojúhelníku  KLM leží na přímce p. Sestrojte trojúhelník KLM, jestliže vzdálenost bodu M od přímky p je 2,5 cm. 1. r ; r p , |rp|= 2,5 cm k M1 M2 2. S ; S je střed KL r 3. k ; k(S; r = |SK|) 4. M ; M  k  r 5. trojúhelník KLM K S L p

34 MVBDV – rovnoběžné přímky
menu 10) Je dána přímka p a na ní body A a Sc, přičemž bod Sc je střed úsečky AB. Narýsujte  ABC, jestliže vc = 3 cm a tc = 4 cm. 1. k1 ; k1 (Sc; r = |ASc|) k2 2. B ; B  k1  p C1 C2 3. r ; r p , |rp|= 3 cm r 4. k2 ; k2 (Sc; r = 4 cm) 5. C ; C  k2  r 6. trojúhelník ABC k1 A Sc B p

35 MVBDV – osa úsečky menu Množina všech bodů X, které mají od dvou bodů A, B stejnou vzdálenost je osa o úsečky AB Osa úsečky AB je množina všech bodů X, které mají od bodů A, B stejnou vzdálenost o X1 x1 X2 x1 x2 x2 A B x3 x3 X3 x4 x4 X4

36 1) Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB,
MVBDV – osa úsečky menu 1) Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB, jestliže bod C leží na přímce p. o 1. o ; o je osa AB C 2. C ; C  o  p p 3.  ABC A B

37 2) Sestrojte kružnici k, která má střed na přímce p a prochází
MVBDV – osa úsečky menu 2) Sestrojte kružnici k, která má střed na přímce p a prochází body A, B k 1. o ; o je osa AB o 2. S ; S  o  p 3. k ; k(S; r = |SA|) p S A B

38 MVBDV – osa úsečky menu 3) Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou c, jestliže bod C leží na kružnici k. o C2 1. o ; o je osa AB k 2. C ; C  o  k 3.  ABC C1 A B

39 4) Sestrojte rovnoramenný trojúhelníky ABC se základnou AB,
MVBDV – osa úsečky menu 4) Sestrojte rovnoramenný trojúhelníky ABC se základnou AB, jestliže bod C má ležet na přímce p. A 1. o ; o je osa AB 2. C ; C  o  p 3.  ABC B p C o

40 5) Sestrojte kružnici k, která prochází body A, B, C
MVBDV – osa úsečky menu 5) Sestrojte kružnici k, která prochází body A, B, C k 1. o1 ; o1 je osa AB o1 C 2. o2 ; o2 je osa BC 3. S ; S  o1  o2 o2 4. k ; k(S; r = |SA|) S A B

41 6) Sestrojte pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC s přeponou AB.
MVBDV – osa úsečky menu 6) Sestrojte pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník ABC s přeponou AB. A 1. o ; o je osa AB 2. S ; S  o  AB k 3. k ; k(S; r = |SA|) 4. C ; C  o  k C o 5.  ABC S B

42 7) Sestrojte kružnici k, která prochází krajními body úsečky
MVBDV – osa úsečky menu 7) Sestrojte kružnici k, která prochází krajními body úsečky XY a bodem Z o1 k 1. o1 ; o1 je osa XY Z 2. o2 ; o2 je osa YZ 3. S ; S  o1  o2 4. k ; k(S; r = |SX|) o2 S X Y

43 MVBDV – osa úsečky menu 8) AC je úhlopříčka kosočtverce ABCD. Sestrojte tento kosočtverec, jestliže vrchol D leží na přímce p o D p 1. o ; o je osa AC 2. D ; D  o  p 3. S ; S  o  AC A S 4. k ; k(S; r = |SD|) C 5. B ; B  o  k 6. kosočtverec ABCD k B

44 MVBDV – osa úsečky menu 9) Na přímce p je dána úsečka AB a mimo ní bod D. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, jestliže platí |BC|=|CD| o D C r 1. r ; r p , D  r 2. o ; o je osa DB 3. C ; C  o  r 4. lichoběžník ABCD B p A

45 10) Jsou dány úsečky AB a XY. Kružnice k prochází
MVBDV – osa úsečky menu 10) Jsou dány úsečky AB a XY. Kružnice k prochází krajními body obou úseček. Nalezněte střed S kružnice k o1 1. o1 ; o1 je osa AB o2 2. o2 ; o2 je osa XY A B 3. S ; S  o1  o2 k X S Y

46 osy úhlů o1, o2 , které svírají přímky p1 a p2
MVBDV – osa úhlu menu Množina všech bodů X, které mají od dvou přímek p1 a p2 stejnou vzdálenost, jsou osy úhlů o1, o2 , které svírají přímky p1 a p2 Osy úhlů o1, o2 jsou množina všech bodů X, které mají od přímek p1 a p2 stejnou vzdálenost X5 p1 x5 x5 x4 x1 X1 x2 x3 o1 X4 x2 X3 X4 x1 x3 x x6 x6 x4 X6 p2 o2

47 1) Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímek a, b a má střed
MVBDV – osa úhlu menu 1) Sestrojte kružnici k, která se dotýká přímek a, b a má střed na přímce p. b p 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky a, b k 2. S ; S  o  p o 3. k ; k(S; r = |Sa|) S r a

48 2) Sestrojte kružnici k, která je vepsaná trojúhelníku ABC
MVBDV – osa úhlu menu 2) Sestrojte kružnici k, která je vepsaná trojúhelníku ABC 1. o1 ; o1 je osa úhlu CAB C 2. o2 ; o2 je osa úhlu ABC o2 3. S ; S  o1  o2 k o1 4. k ; k(S; r = |S AB|) S r B A

49 3) Sestrojte kružnice k1 a k2, které se dotýkají přímek a, b
MVBDV – osa úhlu menu 3) Sestrojte kružnice k1 a k2, které se dotýkají přímek a, b a mají střed na kružnici k. a k2 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky a, b o k 2. S ; S  o  k 3. k1 ; k1 (S1; r = |S1a|) 4. k2 ; k2 (S2; r = |S2a|) S2 S1 k1 b

50 4) Narýsujte čtyřúhelník ABCD, jestliže vrchol C má stejnou
MVBDV – osa úhlu menu 4) Narýsujte čtyřúhelník ABCD, jestliže vrchol C má stejnou vzdálenost od přímek p, q a zároveň leží na přímce r. q 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, q D 2. C ; C  o  r o 3. čtyřúhelník ABCD C r p A B

51 5) V rovině jsou dány přímky p a q, v jejich průsečíku leží
MVBDV – osa úhlu menu 5) V rovině jsou dány přímky p a q, v jejich průsečíku leží bod A. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC, jestliže vrchol B leží na přímce p, vrchol C na přímce q a výška na základnu BC je 5 cm. 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, q a q C 2. k ; k (A; r = 5 cm) 3. S ; S  o  k k o 4. a ; a  o , S  a S 5. B ; B  a  p 6. C ; C  a  q 7. trojúhelník ABC A B p

52 6) Narýsujte čtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce p
MVBDV – osa úhlu menu 6) Narýsujte čtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce p a střed čtverce (průsečík úhlopříček) leží na přímce r. q o 1. q ; q  p , A  q D C 2. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, q k 2. S ; S  o  r 3. k ; k (S; r = |SA|) S 4. C ; C  o  k 5. B ; B  k  p 6. D ; D  k  q 7. čtverec ABCD A B p r a

53 7) Narýsujte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami
MVBDV – osa úhlu menu 7) Narýsujte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, jestliže vrchol B leží na přímce q, vrchol D leží na přímce p. 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, q 2. x ; x  o , C  x 3. D ; D  x  p D C x 4. y ; y  o , A  y 5. B ; B  y  q 6. lichoběžník ABCD y A B p q o

54 8) V rovině jsou dány přímky p a r. Na přímce p leží bod A.
MVBDV – osa úhlu menu 8) V rovině jsou dány přímky p a r. Na přímce p leží bod A. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, jestliže vrchol B leží na přímce p a pata výšky na stranu BC leží na přímce r. X 1. Y ; Y  p a o 2. < XAY; |< XAY|= 600 C 3. o ; o je osa úhlu XAY 4. Pa ; Pa  o  r Pa 5. a ; a  o , Pa  a 6. B ; B  a  p 7. C ; C  a   AX r 8. trojúhelník ABC A B p Y

55 9) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na
MVBDV – osa úhlu menu 9) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce r, vrchol D leží na přímce p a úhlopříčka AC má velikost 6 cm. p o2 k o1 D C 1. o1 ; o1 je osa úhlu, který svírají přímky p, r 2. k ; k (A; r = 6 cm) 3. C ; C  o  k 4. o2 ; o2 je osa AC 5. B ; B  o2  r 6. D ; D  o2  p A B r 7. kosočtverec ABCD

56 10) V rovině jsou dány přímky x a y, v jejich průsečíku leží bod A.
MVBDV – osa úhlu menu 10) V rovině jsou dány přímky x a y, v jejich průsečíku leží bod A. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC, jestliže vrchol B leží na přímce x, vrchol C na přímce y a poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku je 3 cm. y 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky x, y C k2 2. k1 ; k1 (A; r = 3 cm) o 3. S ; S  o  k1 k1 4. k2 ; k2 (S; r = 3 cm) 5. B ; B  k2  x S 6. C ; C  k2  y A B x 7. trojúhelník ABC

57 1) Na polopřímce BZ sestrojte bod C tak, aby body ABC
MVBDV – konstrukční úlohy menu 1) Na polopřímce BZ sestrojte bod C tak, aby body ABC tvořily vrcholy rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB a trojúhelník ABC narýsujte. o C 1. o ; o je osa AB Z B 2. C ; C  o   BZ 3.  ABC A

58 2) Je dán úhel ABX a přímka p. Sestrojte trojúhelník ABC,
MVBDV – konstrukční úlohy menu 2) Je dán úhel ABX a přímka p. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže bod C leží na přímce p (Cp) a zároveň platí, že |< ABC|= 2.| < ABX| p Y 1. < ABY ; |< ABY|= 2.|< ABX| C 2. C ; C  p   BY 3.  ABC X A B

59 3) Sestrojte obdélník ABCD, jestliže bod B leží na přímce p
MVBDV – konstrukční úlohy menu 3) Sestrojte obdélník ABCD, jestliže bod B leží na přímce p a S je průsečík úhlopříček tohoto obdélníku. C 1. k ; k(S;r = |AS|) k 2. B ; B  k  p 3.  AS 4. C ; C  k   AS D 5.  BS B S 6. D ; D  k   BS 7. obdélník ABCD p A

60 4) Je dána úhlopříčka AC obdélníku ABCD a polopřímka KL.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 4) Je dána úhlopříčka AC obdélníku ABCD a polopřímka KL. Vrchol D leží na polopřímce KL. Sestrojte body B, D a narýsujte obdélník ABCD. 1. S ; S je střed AC L k D 2. k ; k(S; r = |SA|) (Thal. kružnice) 3. D ; D   KL  k 4.  DS C 5. B ; B   DS  k A S 6. obdélník ABCD K B

61 5) Sestrojte čtverec ABCD, jestliže úhlopříčka BD leží na přímce p .
MVBDV – konstrukční úlohy menu 5) Sestrojte čtverec ABCD, jestliže úhlopříčka BD leží na přímce p . 1. x ; x  p , C  x 2. S ; S  x  p C 3. k ; k(S; r = |SC|) D 4. A ; A  x  k 5. B, D ; B, D  p  k S 6. čtverec ABCD B A p k x

62 6) Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby bod B ležel na přímce q
MVBDV – konstrukční úlohy menu 6) Sestrojte trojúhelník ABC tak, aby bod B ležel na přímce q a výška na stranu a (BC) ležela na přímce p. p q 1. x ; x  p , C  x 2. B, B  x  q C 3.  ABC B x A

63 7) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na
MVBDV – konstrukční úlohy menu 7) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce q, vrchol D leží na přímce p a střed kosočtverce (průsečík úhlopříček) leží na přímce r. p r k1 o D C 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, q 2. S ; S  o  r 3. k1 ; k1 (S; r = |SA|) S 4. C ; C  o  k1 5. a ; a  o , S  a 6. B ; B  a  q A B 7. D ; D  a  p q a 8. kosočtverec ABCD

64 8) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD (AB CD), jehož
MVBDV – konstrukční úlohy menu 8) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD (AB CD), jehož vrchol B je obrazem bodu C v osové souměrnosti podle osy o. 1. x ; x  p , C  x k2 D C p 2. S ; S  x  o 3. k1 ; k1(S; r = |SC|) o 4. B ; B  x  k1 S 5. AB 6. p ; p AB , C  p k1 B 7. k2 ; k2(A; r = |BC|) A 8. D ; D  p  k2 x 9. lichoběžník ABCD

65 9) Sestrojte kružnici k s průměrem AB a na kružnici k
MVBDV – konstrukční úlohy menu 9) Sestrojte kružnici k s průměrem AB a na kružnici k sestrojte všechny body X, které mají od bodu C vzdálenost 2 cm. k1 1. S ; S je střed AB 2. k ; k(S; r = |AS| k 3. k1 ; k1(C; r = 2 cm) X1 4. X ; X  k  k1 C A X2 S B

66 10) CPc je výška na základnu rovnoramenného trojúhelníku ABC.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 10) CPc je výška na základnu rovnoramenného trojúhelníku ABC. Sestrojte tento trojúhelník, jestliže bod A leží na přímce p. 1. x ; x  CPc , Pc  x C x 2. A ; A  p  x B 3. k ; k(Pc; r = |APc | k 4. B ; B  k  x Pc 5.  ABC A p

67 11) AB je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC. Bod X leží
MVBDV – konstrukční úlohy menu 11) AB je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABC. Bod X leží na výšce vc. Sestrojte bod C a trojúhelník ABC narýsujte. p 1. S ; S je střed AB C k 2. k ; k(S; r = |SA|) (Thaletova kr.) 3. p ; p  AB , X  p X 4. C ; C  p  k 5.  ABC S A B

68 12) Bod A je vrchol obdélníku ABCD se středem v bodě S. Bod
MVBDV – konstrukční úlohy menu 12) Bod A je vrchol obdélníku ABCD se středem v bodě S. Bod B leží na polopřímce ST. Sestrojte obdélník ABCD. k 1.  AS C D 2. k ; k(S; r = |AS|) 3. C ; C  k   AS 4. B ; B  k   ST S 5.  TS B 6. D ; D  k   TS A T 7. obdélník ABCD

69 13) Je dána přímka p a na ní bod T. Sestrojte kružnici k
MVBDV – konstrukční úlohy menu 13) Je dána přímka p a na ní bod T. Sestrojte kružnici k s poloměrem 2,5 cm, která se dotýká přímky p v bodě T. k2 1. x ; x  p , T  x p S2 2. a ; a(T; r = 2,5 cm) 3. S ; S  a  x T 4. k ; k(S; r = 2,5 cm) k1 a S1 x

70 14) Je dána kružnice k se středem v bodě S, Sestrojte obdélník
MVBDV – konstrukční úlohy menu 14) Je dána kružnice k se středem v bodě S, Sestrojte obdélník MNOP vepsaný do kružnice k, jestliže |MN|= 4 cm. |MN|>|NO| k 1.  MS P O 2. O ; O   MS  k 3. k1 ; k1(M; r = 4 cm) S 4. N ; N  k1  k 5.  NS M 6. P ; P   NS  k N 7. obdélník ABCD k1

71 15) ABV je rovnostranný trojúhelník. K bodům AB sestrojte
MVBDV – konstrukční úlohy menu 15) ABV je rovnostranný trojúhelník. K bodům AB sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB, jestliže |CV| = 2 cm. o B 1. o ; o  AB , V  o 2. k ; k(V; r = 2 cm) 3. C ; C  k  o A 4.  ABC k C V

72 16) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, jestliže
MVBDV – konstrukční úlohy menu 16) Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD, jestliže základna AB leží na přímce p, bod R leží na základně CD a bod P je průsečík úhlopříček. D 1. q ; q p , R  q C q R 2.  AP 3. C ; C   AP  q P 4. k ; k(P; r = |AP|) 5. B ; B  k  p 6.  BP B p A 7. D ; D   BP  q k 8. lichoběžník ABCD

73 17) A,B jsou vrcholy kosočtverce ABCD, bod X leží na
MVBDV – konstrukční úlohy menu 17) A,B jsou vrcholy kosočtverce ABCD, bod X leží na úhlopříčce AC. Sestrojte chybějící body C, D a čtyřúhelník narýsujte. k3 k1 D C k2 1.  AX 2. k1 ; k1(B; r = |AB|) 3. C ; C  k1   AX 4. k2 ; k2(A; r = |AB|) 5. k3 ; k3(C; r = |AB|) X 6. D ; D  k2  k3 6. kosočtverec ABCD A B

74 18) Body BD jsou vrcholy lichoběžníku ABCD se základnami
MVBDV – konstrukční úlohy menu 18) Body BD jsou vrcholy lichoběžníku ABCD se základnami AB, CD. Vrchol A leží na přímce p, vrchol C na přímce q. Pro délky stran lichoběžníku platí |BC|=|CD|. Sestrojte body A, C lichoběžníku a lichoběžník narýsujte. p C 1. r ; r q , B  r q 2. A ; A  p  r D 3. o ; o je osa BD 4. C ; C  o  q 5. lichoběžník ABCD r B A o

75 19) Sestrojte kružnici k opsanou rovnoramennému lichoběžníku DEFG
MVBDV – konstrukční úlohy menu 19) Sestrojte kružnici k opsanou rovnoramennému lichoběžníku DEFG o1 G 1. o1 ; o1 je osa FG k 2. o2 ; o2 je osa DE F 3. S ; S  o1  o2 4. k ; k(s; r = |SD|) S E D o2

76 20) Sestrojte kružnici k se středem v bodě S tak, aby
MVBDV – konstrukční úlohy menu 20) Sestrojte kružnici k se středem v bodě S tak, aby procházela bodem A a dotýkala se v bodě T přímky t. p 1. p ; p  t , T  p 2. o ; o je osa AT k A 3. S ; S  o  p 4. k ; k(S; r = |ST|) o t S T

77 21) Body A, C jsou vrcholy obdélníku ABCD. Bod D tohoto
MVBDV – konstrukční úlohy menu 21) Body A, C jsou vrcholy obdélníku ABCD. Bod D tohoto obdélníku leží přímce p. Sestrojte body B, D a obdélník ABCD narýsujte. p k 1. S ; S je střed AC C 2. k ; k(S; r = |AS|) 3. D ; D  k  p D 4.  DS S 5. B ; B  k   DS B 6. obdélník ABCD A

78 22) Body B, C jsou vrcholy rovnoramenného lichoběžníku
MVBDV – konstrukční úlohy menu 22) Body B, C jsou vrcholy rovnoramenného lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD, kde |AB|>|CD|. Výška v lichoběžníku ABCD spuštěná z vrcholu C leží na přímce p. Velikost strany CD je rovna velikosti výšky lichoběžníku. Narýsujte tento lichoběžník. 1. r ; r  p , B  r k1 C 2. X ; X  p  r q 3. q ;q r , C  q D 4. k1 ; k1(C; r = |CX|) 5. D ; D  k1  q 6. k2 ; k2(D; r = |CB|) r B X 7. A ; A  k2  r A k2 8. lichoběžník ABCD p

79 23) Bod A leží na přímce r a je vrcholem kosočtverce ABCD.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 23) Bod A leží na přímce r a je vrcholem kosočtverce ABCD. Strany BC a DA jsou rovnoběžně s přímkou p. Výška kosočtverce je 3 cm. Sestrojte kosočtverec ABCD. 1. q ; q r , ve vzdálenosti 3 cm k2 D C 2. s ; s p , A  s q 3. D ; D  s  q 4. k1; k1(A;r = |AD|) 3 cm k1 5. B ; B  k1  r 6. k2; k2(D; r = |AD|) 7. C ; C  k2  q A B r 8. kosočtverec ABCD p s

80 12) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže bod C leží na přímce p
MVBDV – konstrukční úlohy menu 12) Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže bod C leží na přímce p a o je osa úhlu CAB. Y p C o 1. < BAY ; |< BAY|= 2.|< BAo| 2. C ; C  p   AY 3.  ABC A B

81 25) Je dána úsečka AB a bod T. Sestrojte trojúhelník ABC,
MVBDV – konstrukční úlohy menu 25) Je dána úsečka AB a bod T. Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže bod T je těžištěm tohoto trojúhelníku. k 1. S ; S je střed AB C 2.  ST 3. k ; k(T; r = 2. |TS|) 4. C ; C  k   ST 5. trojúhelník ABC T B A S

82 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 26) V rovině je dána přímka p a mimo ní body A a C, které jsou vrcholy pravoúhlého lichoběžníku ABCD s pravými úhly při vrcholech A a D. Vrcholy B a D leží na přímce p. Sestrojte body B a D a lichoběžník ABCD narýsujte. p 1. S ; S je střed AC k 2. k ; k(S; r = |AS|) D 3. D ; D  k  p C 4.  DA S 5. r ; r   DA , A r A B 6. B ; B  r  p r 7. lichoběžník ABCD

83 27) V rovině leží úsečka ASa a bod B, který neleží na úsečce ASa.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 27) V rovině leží úsečka ASa a bod B, který neleží na úsečce ASa. Úsečka ASa je těžnicí  ABC. Sestrojte tento trojúhelník. 1.  BSa k C 2. k ; k(Sa; r = |BSa|) 3. C ; C  k   BSa 4. trojúhelník ABC Sa A B

84 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 28) V rovině leží kružnice k se středem v bodě S a body A, C ležící na této kružnici. Sestrojte lichoběžník ABCD, jehož všechny vrcholy leží na kružnici k a rameno AD má stejnou velikost jako kratší základna CD. o C 1. o ; o je osa BD D k 2. D ; D  o  k 3. p ; p CD , A  p 4. B ; B  p  k S p 5. lichoběžník ABCD B A

85 29) V rovině leží úsečka AC a přímka p, která je s ní rovnoběžná.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 29) V rovině leží úsečka AC a přímka p, která je s ní rovnoběžná. Sestrojte všechny rovnoramenné trojúhelníky ABC se základnou AB, jejichž vrchol B leží na přímce p. 1. k ; k(C; r = |AC|) 2. B ; B  k  p A C 3. trojúhelník ABC B1 B2 p k

86 30) Bod D je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD se
MVBDV – konstrukční úlohy menu 30) Bod D je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD se základnami AB a CD. Přímka o je osa souměrnosti tohoto lichoběžníku, vrchol A leží na přímce p a pro délky stran lichoběžníku platí |BC|=|CD|. Narýsujte tento lichoběžník. q k1 1. q ; q  o , D  q Y C 2. X ; X  o  q k2 3. k1 ; k1(X; r = |XD|) r 4. C ; C  k1  x X D B 5. Y ; Y  o  p 6.  YC 7. k2 ; k2(C; r = |CD|) 8. B ; B  k2   YC 9. r ; r q , B  r A o 10. A ; A  r  p p

87 31) V rovině leží rovnoběžné přímky a, b. Na přímce a leží
MVBDV – konstrukční úlohy menu 31) V rovině leží rovnoběžné přímky a, b. Na přímce a leží body P, Q . Sestrojte všechny pravoúhlé trojúhelníky PQR, jejichž vrchol R leží na přímce b. 1. p1 ; p1  a , Q  p1 2. R1 ; R1  p1  b Q P 3. p2 ; p2  a , P  p2 S a 4. R2 ; R2  p2  b 5. S; S je střed PQ 6. k; k(S; r = |PS|) 7. R3, R4 ; R3, R4  k  b R1 R3 R4 R2 b k 8. trojúhelník PQR p1 p2

88 32) Bod P je patou výšky na stranu AC trojúhelníku ABC a bod
MVBDV – konstrukční úlohy menu 32) Bod P je patou výšky na stranu AC trojúhelníku ABC a bod Q je patou výšky na stranu AB trojúhelníku ABC. Sestrojte trojúhelník ABC. q C 1.  AQ 2.  AP 3. q ; q   AQ , Q  q 4. p ; p   AP , P  p P 5. B ; B   AQ  p 6. C ; C   AP  q 7. trojúhelník ABC A Q B p

89 33) Sestrojte střed S kružnice k opsané pětiúhelníku ABCDE
MVBDV – konstrukční úlohy menu 33) Sestrojte střed S kružnice k opsané pětiúhelníku ABCDE o1 B 1. o1 ; o1 je osa AB C 2. o2 ; o2 je osa DE A 3. S ; S  o1  o2 S k E D o2

90 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 34) V rovině leží úsečka AB a mino ní bod S. Body A, B jsou vrcholy trojúhelníku ABC a bod S je středem kružnice vepsané tomuto trojúhelníku. Y 1.  AS X C 2. < BAX; |< BAX|=2.|< BAS| 3.  BS 4. < ABY; |< ABY|=2.|< ABS| 5. C ; C   AX   BY 6.  ABC s A B

91 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 35) V rovině leží přímky p, q, které se protínají v bodě B. Bod B je vrcholem  ABC, jehož vrchol A leží na přímce p a vrchol C leží na přímce q. Bod S je středem kružnice opsané  ABC q C 1. k; k(S; r = |BS|) k 2. A ; A  k  p 3. C ; C  k  q 4.  ABC S p A B

92 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 36) V rovině leží úsečka AB a mimo ní bod D. Úsečka AB je přeponou pravoúhlého  ABC. Bod D je vnějším bodem  ABC a má od bodu B stejnou vzdálenost jako bod C. Sestrojte  ABC. k2 1. S ; S je střed AB C 2. k1 ; k1 (S; r = |SA|) k1 3. k2 ; k2 (B; r = |BD|) 4. C ; C  k1  k2 5.  ABC S A B D

93 37) V rovině leží úsečka AB a polopřímka AX. Sestrojte  ABC
MVBDV – konstrukční úlohy menu 37) V rovině leží úsečka AB a polopřímka AX. Sestrojte  ABC s výškou va = 4,5 cm, jestliže vrchol C leží na polopřímce AX X C 1. S ; S je střed AB 2. k1 ; k1 (S; r = |SA|) k2 3. k2 ; k2 (S; r = 4,5 cm) Pa 4. Pa ; Pa  k1  k2 k1 5.  BPa 6. C ; C AX    BPa B A S 7. trojúhelník ABC

94 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 38) V rovině je dána polopřímka AX a mimo ní bod S. Sestrojte pravoúhlý  ABC s přeponou BC, jestliže vrchol B leží na polopřímce AX a S je střed kružnice opsané tomuto . p 1. q ; q   AQ , Q  q k C 2. k ; k (S; r = |SA|) 3. B ; B   AX  k S 4. C ; C  p  k 5.  ABC B A X

95 39) V rovině je dána přímka p, na ní body B, Y a mimo ní bod D.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 39) V rovině je dána přímka p, na ní body B, Y a mimo ní bod D. Sestrojte rovnostranný  ABC tak, aby bod A ležel na přímce p a bod D ležel na úsečce AC. r C 1. < YBX; |< YBX|= 600 X o 2. o ; o je osa úhlu YBX D 3. r ; r  o , D  r 4. A ; A  r  p 5. C ; C  r   BX 6.  ABC Y A B p

96 40) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na
MVBDV – konstrukční úlohy menu 40) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce r, vrchol D leží na přímce p a střed S (průsečík úhlopříček) leží na přímce q. p x k o D C 1. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, r 2. S ; S  o  q S 3. k ; k (S; r = |SA|) 4. C ; C  o  k q 5. x ; x  o , S  x 6. B ; B  x  r 7. D ; D  x  p A B r 8. kosočtverec ABCD

97 41) V rovině je dána úsečka AB a polopřímka AX. Narýsujte
MVBDV – konstrukční úlohy menu 41) V rovině je dána úsečka AB a polopřímka AX. Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol D leží na polopřímce AX. X q D C p k 1. k ; k (A; r = |AB|) 2. D ; D   AX  k 3. p ; p AB , D  p 4. q ;q AD , B  q 5. C ; C  p  q 6. kosočtverec ABCD A B

98 42) Body A, B, C jsou vrcholy čtyřúhelníku ABCD. Pro vrchol D
MVBDV – konstrukční úlohy menu 42) Body A, B, C jsou vrcholy čtyřúhelníku ABCD. Pro vrchol D platí, že |CD|=|DA| a zároveň úhel ADC má velikost 900. o 1. o ; o je osa AC D 2. S ; S  AC  o k 3. k ; k (S; r = |SA|) C 4. D ; D k  o 5. čtyřúhelník ABCD S A B

99 43) Úsečka AB je tětiva kružnice k. Sestrojte tuto kružnici,
MVBDV – konstrukční úlohy menu 43) Úsečka AB je tětiva kružnice k. Sestrojte tuto kružnici, jestliže její střed leží na přímce p. o p 1. o ; o je AB 2. S ; S  o  p k 3. k ; k (S; r = |SA|) S A B

100 44) Vrcholy  ABC leží na kružnici k se středem v bodě S.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 44) Vrcholy  ABC leží na kružnici k se středem v bodě S. Sestrojte  A‘B‘C‘ středově souměrný s  ABC podle bodu S. C 1.  AS B 2. A‘ ; A‘  k   AS k 3.  BS 4. B‘ ; B‘  k   BS S A‘ 5.  CS A 6. C‘ ; C‘  k   CS 7.  A‘B‘C‘ B‘ C‘

101 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 45) Na kružnici k se středem v bodě S leží bod C. Kružnice k je kružnicí opsanou  ABC, pro který platí, že |BC|= 3 cm a úhel při vrcholu C má velikost 900. Sestrojte  ABC. B C 1. k1 ; k1 (C; r = 4 cm) k1 2. B ; B  k1  k 3. BC S 4. p ; p  BC , C  p 5. A ; A  p  k 6.  ABC k A p

102 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 46) Na kružnici k se středem v bodě S leží bod A, uvnitř kružnice k leží bod B. Body A, B jsou vrcholy rovnoram.  ABC se základnou AC. Pata kolmice z vrcholu B na stranu AC leží na kružnici k. Sestrojte  ABC. A 1. S1 ; S1 je střed AB k1 2. k1 ; k1(S1; r = |AS1|) Pb 3. Pb ; Pb  k1  k S1 4.  APb k2 S 5. k2 ; k2(B; r = |AB |) 6. C ; C  k2   APb B C k 7.  ABC

103 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 47) V rovině je dána přímka p, na ní leží bod C a mimo ní bod S. Bod C je vrcholem kosočtverce ABCD. Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže bod S je středem souměrnosti tohoto kosočtverce a bod B leží na přímce p. 1.  CS C 2. k1 ; k1(S; r = |SC|) 3. A ; A  C   CS k2 4. x ; x  AC , S  x D B x 5. B ; B  x  p S 6. k2 ; k2(S; r = |SB|) 7. D ; D  k2  x p 8. Kosočtverec ABCD k1 A

104 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 48) V rovině jsou dány přímky b, c, d. V průsečíku přímek b a c leží bod A. Sestrojte obdélník ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce b, vrchol c leží na přímce c a vrchol d leží na přímce d. x D d 1. x ; x  b , A  x 2. D ; D  x  d 3. y ; y  x , D  y C c 4. C ; C  y  c A 5. z ; z  y , C  z y 6. B ; B  z  b 7. obdélník ABCD B z b

105 49) Sestrojte osu souměrnosti o, která bod C zobrazí do bodu C‘.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 49) Sestrojte osu souměrnosti o, která bod C zobrazí do bodu C‘. Sestrojte obdélník A‘B‘C‘D‘, který je obrazem obdélníku ABCD v osové souměrnosti podle sestrojené osy o. D C C‘ 1. o ; o je osa CC‘ 2. obdélník A‘B‘C‘D‘ D‘ B‘ A B A‘ o

106 4 cm a výška lichoběžníku je 3 cm.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 50) Jsou dány přímky p, r a bod A, který leží na přímce p, je vrcholem rovnoramenného lichoběžníku ABCD. Sestrojte tento lichoběžník, jestliže B  p , X  BC , základna AB má velikost 4 cm a výška lichoběžníku je 3 cm. 1. k1 ; k1 (A; r = 4 cm) 2. B ; B  k1  p k2 D C 3. x ; x p , |xp|= 3 cm x 4.  BX 5. C ; C  x   BX X 6. k2 ; k2 (A; r = |BC|) 7. D ; D  k2  x B A p 8. lichoběžník ABCD k1

107 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 51) V rovině leží přímka q, na ní bod C a mimo ní bod P. Bod C je vrchol pravoúhlého  ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Strana AC leží na přímce q. Bod P je pata výšky na stranu AB. Sestrojte  ABC. C 1. x ; x  q , C  x 2.  CP 3. y ; y   CP, P  y A 4. A ; A  y  q q 5. B ; B  x  y P 6.  ABC y B x

108 MVBDV – konstrukční úlohy
menu 52) V rovině leží přímka AB a přímka o procházející bodem B. Sestrojte kosočtverec ABCD, jestliže o je jeho osa souměrnosti. o k1 k2 D 1. k1 ; k1 (A; r = |AB|) 2. D ; D  k1  o C 3. k2 ; k2 (D; r = |AB|) 4. k3 ; k3 (B; r = |AB|) k3 5. C ; C  k2  k3 6. kosočtverec ABCD A B

109 53) V rovině je dána přímka p, na ní body A, S a mimo ní bod X.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 53) V rovině je dána přímka p, na ní body A, S a mimo ní bod X. Sestrojte obdélník ABCD, jestliže S je střed souměrnosti a bod X leží na základně CD. k 1. k ; k (S; r = |AS|) 2. C ; C  p  k D X 2.  CX C 4. D ; D  k   CX 5.  DS 6. B ; B  k   DS S 7. obdélník ABCD A B p

110 54) V rovině je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod S.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 54) V rovině je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod S. Sestrojte rovnoramenný  ABC se základnou BC, jestliže bod S je střed kružnice opsané tomuto  a vrchol B leží na přímce p. 1. k1 ; k1 (S; r = |AS|) k2 2. B ; B  p  k1 C 3. k2 ; k2 (A; r = |AB|) 4. C ; C  k1  k2 k1 5.  ABC S A B p

111 55) V rovině je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod C.
MVBDV – konstrukční úlohy menu 55) V rovině je dána přímka p, na ní bod A a mimo ní bod C. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnou AB, jestliže velikost úhlopříčky BD je 5 cm a pro vrchol B platí, že |AB|=|BC| a zároveň leží na přímce p. 1. o; o je osa AC 2. B ; B  p  o C D r 3. r; r p , C  r k 4. k ; k (B; r = 5 cm) 5. D ; D  r  k 6. lichoběžník ABCD A B p o

112 56) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na
MVBDV – konstrukční úlohy menu 56) Narýsujte kosočtverec ABCD, jestliže vrchol B leží na přímce r, vrchol C leží na přímce q, vrchol D leží na přímce p. q p o2 o1 C D 1. o1 ; o1 je osa úhlu, který svírají přímky p, r 2. C ; C  o1  q 3. o2 ; o2 je osa AC 4. B ; B  o2  r 5. D ; D  o2  p 6. kosočtverec ABCD A B r

113 57) V rovině je dána přímka p a na ní body A, Sc a Pc. Sestrojte
MVBDV – konstrukční úlohy menu 57) V rovině je dána přímka p a na ní body A, Sc a Pc. Sestrojte  ABC, jestliže Sc je střed strany AB, Pc je pata výšky z vrcholu C a těžnice tc má velikost 4 cm. x k2 C 1. k1 ; k1 (Sc; r = |ASc|) 2. B ; B  k1  p 3. x ; x  p , Pc  x 4. k2 ; k2 (Sc; r = 4 cm) 5. C ; C  k2  x p A Sc B Pc 6.  ABC k1

114 58) V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte  ABC, jestliže
MVBDV – konstrukční úlohy menu 58) V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte  ABC, jestliže těžnice ta je 6 cm a těžnice tb je 4,5 cm. C k3 1. k1 ; k1 (A; r = 4 cm) 2. k2 ; k2 (B; r = 3 cm) 3. T ; T  k1  k2 k2 4. S; S je střed AB T 5.  ST k1 6. k3 ; k3 (T; r = 2.|TS|) 7. C ; C  k3   ST A B S 8.  ABC

115 59) Bod S je průsečík úhlopříček kosočtverce ABCD. Jeho
MVBDV – konstrukční úlohy menu 59) Bod S je průsečík úhlopříček kosočtverce ABCD. Jeho vrchol B leží na přímce p a jeho vrcholy C, D leží na přímce r. Narýsujte tento kosočtverec. 1. q ; q  r , S  q 2. X1 ; X1  q  r q t 3. k1 ; k1(S; r = |AX1|) X1 4. X2 ; X2  q  k1 r C D 5. s ; s  q , X2  s 6. B ; B  s  p 7.  BS S 8. D ; D   BS  r k1 9. t ; t   BS , S  t s A X2 B 10. A ; A  t  s 11. C ; C  t  r p 12. kosočtverec ABCD

116 60) Bod C je vrchol čtverce ABCD. Úhlopříčka AC je rovnoběžná
MVBDV – konstrukční úlohy menu 60) Bod C je vrchol čtverce ABCD. Úhlopříčka AC je rovnoběžná s RS, vrchol D leží na úsečce RS. Sestrojte čtverec ABCD. 1. p ; p RS , C  p S C r 2. r ; r  p , C  r 3. o ; o je osa úhlu, který svírají přímky p, r k1 4. D ; D  o  SR 5. q ; q  o , D  q B D 6. A ; A  p  q k2 7. k1 ; k1 (C; r = |CD|) o 8. k2 ; k2 (A; r = |CD|) A 9. B ; B  k1  k2 10. Kosočtverec ABCD R p q

117 MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu
A 1. Náčrt a rozbor 2. Postup konstrukce 1) S: ∆ ABC D: a = 6 cm b = 5 cm < ACB = 1080 1) BC; |BC|= 6 cm 2)  BCX; |< BCX|=1080 b = 5 cm 3) k; k(C, 5 cm) 1080 B a = 6 cm C 4) A ; A  k  CX < ACB = 1080 < 1800 5) ∆ ABC X ∆ ABC lze narýsovat 3. Konstrukce A k X k A B C 4. Závěr Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení B C

118 MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu
1. Náčrt a rozbor 2. Postup konstrukce 2) S: ∆ ABC D: b = 3 cm α = 990 γ = 330 B 1. CA; |CA|= 3 cm 2.  CAX; |<CAX|= 990 3.  ACY; |<ACY|= 330 γ=330 α=990 4. B ; B  CY  AX C b = 3 cm A 5. ∆ ABC = 1320 < 1800 3. Konstrukce X ∆ ABC lze narýsovat B Y Y X B C A C A 4. Závěr Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

119 MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu
1. Náčrt a rozbor 2. Postup konstrukce 3) S: ∆ EFG D: e = 4 cm f = 7 cm g = 6 cm G 1) EF; |EF|= 6 cm e = 4 cm f = 7 cm 2) k1; k1(E, 7 cm) 3) k2; k2(F, 4 cm) 4) G ; G  k1  k2 E g = 6 cm F 3. Konstrukce 5) ∆ EFG 4 + 6 = 10 > 7 G ∆ EFG lze narýsovat k2 k2 k1 k1 G E F E F 4. Závěr Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

120 MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu
2. Postup konstrukce 1. Náčrt a rozbor 4) S: ∆ ABC D: c = 6 cm tc = 6 cm vc = 3 cm C 1) AB; |AB|= 6 cm 2) p; p||AB ve vzdálenosti 3 cm 3) Sc; Sc je střed AB vc = 3 cm 4) k; k(Sc, 4 cm) tc = 4 cm 5) C ; C  k  p 6) ∆ ABC Sc A B c = 6 cm 3. Konstrukce k C1 C2 p C p k A Sc B Sc A B 4. Závěr Úloha má ve zvolené polorovině 2 řešení

121 MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu
1. Náčrt a rozbor 2. Postup konstrukce 5) S: ∆ ABC D: c = 5 cm tc = 4 cm β = 720 C 1) AB; |AB|= 5 cm 2)  ABX; |<ABX|=720 3) Sc; Sc je střed AB 4) k; k(Sc, 4 cm) tc = 4 cm 5) C ; C  k  BX β=720 Sc 6) ∆ ABC A B X c = 5 cm 3. Konstrukce X k C C k A Sc B Sc A B 4. Závěr Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

122 6) Sestroj rovnoramenný trojúhelník ABC se se základnou
MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu 6) Sestroj rovnoramenný trojúhelník ABC se se základnou c = 7 cm a výškou vc= 3 cm. Postup konstrukce: Náčrt a rozbor: C 1. AB ; AB = 7 cm 2. o ; o je osa AB 3. p ; p||AB ve vzdálenosti 3 cm vc = 3 cm 4. C ; C  k  p 5. trojúhelník ABC o A 7 cm B Konstrukce: C o C p p 3 cm 3 cm A B A B

123 7) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém má přepona
MVBDV - konstrukce trojúhelníku menu 7) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC, ve kterém má přepona AB velikost 6 cm a odvěsna AC má velikost 4 cm. l Postup konstrukce: Rozbor: C 1. AB ; AB = 6 cm 2. S ; S  AB , SA = SB 4 cm 3. k ; K(S; SA) 4. l ; l(A ; 4 cm) 5. C ; C  k  l 6. trojúhelník ABC A B 6 cm S C k k l A B S

124 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
1) S: kosočtverec ABCD D: a = 5 cm,  = 1150 2. Postup konstrukce 1. AB; |AB|= 5 cm 2. k1; k1(B, 5 cm) 3.  ABX; |<ABX|=1150 1. Náčrt a rozbor 4. C ; C  k1  BX D c = 5 cm C 5. k2; k2(C, 5 cm) a = b = c = d 6. k3; k3(A, 5 cm) d = 5 cm 7. D ; D  k2  k3 b = 5 cm 8. kosočtverec ABCD  = 1150 3. Konstrukce k2 X A a = 5 cm B C k3 D Který z bodů C nebo D jsem schopný sestrojit (který z trojúhelníků ABC nebo ABD) D X C k3 k1 Určitě bod C (trojúhelník ABC) podle věty SUS a budu tedy rýsovat úhel a kružnici k1 k2 A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

125 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
2) S: kosodélník ABCD D: a = 6 cm, b = 3 cm, |AC| = 7 cm 2. Postup konstrukce 1. AB; |AB|= 6 cm 2. k1; k1(B, 3 cm) 3. k2; k2(A, 7cm) 1. Náčrt a rozbor 4. C ; C  k1  k2 D c = 6 cm C a = c , b = d 5. k3; k3(C, 6 cm) 7 cm 6. k4; k4(A, 3 cm) d = 3 cm b = 3 cm 7. D ; D  k3  k4 8. kosodélník ABCD A a = 6 cm B 3. Konstrukce k3 k2 k2 k3 Který z bodů C nebo D jsem schopný sestrojit (který z trojúhelníků ABC nebo ABD) D C k4 D C k1 Určitě bod C (trojúhelník ABC) podle věty SSS a budu tedy rýsovat 2 kružnice k1 k4 A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

126 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
2. Postup konstrukce 3) S: kosodélník ABCD D: a = 6 cm, α = 680 |< ABD|= 450 1. AB; |AB|= 6 cm 2.  BAX; |<BAX|= 680 3.  ABY; |<ABY|= 450 4. D ; D  AX  BY 1. Náčrt a rozbor D c = 6 cm 5. k; k(D, 6 cm) C 6. p; p||AB , D  p a = c 7. C ; C  k  p 8. kosodélník ABCD 3. Konstrukce 680 450 X a = 6 cm B A Y C Y D X C p Který z bodů C nebo D jsem schopný sestrojit (který z trojúhelníků ABC nebo ABD) D p k Určitě bod D (trojúhelník ABD) podle věty USU a budu tedy rýsovat 2 úhly k A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

127 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
4) S: obecný lichoběžník ABCD (a//c) D: a = 5 cm, c = 3,5 cm |< ABD|= 650, |BD|= 4 cm 2. Postup konstrukce 1. AB; |AB|= 5 cm 2. k1; k1(B, 4 cm) 3.  ABX; |<ABX|= 650 1. Náčrt a rozbor D c = 3,5 cm C 4. D ; D  k1  BX 5. p; p||AB , D  p 4 cm 6. k2; k2(D, 3,5 cm) 7. C ; C  k2  p 650 8. lichoběžník ABCD A a = 5 cm B 3. Konstrukce X Který z bodů C nebo D jsem schopný sestrojit (který z trojúhelníků ABC nebo ABD) D C k2 k1 p X D C p k1 Určitě bod D (trojúhelník ABD) podle věty SUS a budu tedy rýsovat úhel a kružnici k2 A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

128 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
2. Postup konstrukce 5) S: rovnoramenný lichoběžník ABCD (a//c) D: a = 6 cm, b = 5 cm, α = 780 1. AB; |AB|= 6 cm 2.  BAX; |<BAX|= 780 1. Náčrt a rozbor 3. k1; k1(A, 5 cm) D C 4. D ; D  AX  k1 b = d 5. p; p||AB , D  p d = 5 cm b = 5 cm 6. k2; k2(B, 5 cm) 7. C ; C  k2  p 780 3. Konstrukce X 8. lichoběžník ABCD a = 6 cm B A k1 D C1 C2 p k1 X C1 C2 Který z bodů C nebo D jsem schopný sestrojit (který z trojúhelníků ABC nebo ABD) p D k2 k2 Určitě bod D (trojúhelník ABD) podle věty SUS a budu tedy rýsovat úhel a kružnici A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení Čtyřúhelník ABC2D by nebyl rovnoramenný lichoběžník A B

129 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
6) S: obecný lichoběžník ABCD D: a = 4 cm, b = 5 cm |< ABD|= 420, |BD|= 6,5 cm 2. Postup konstrukce 1. AB; |AB|= 4 cm 2. k1; k1(B, 6,5 cm) 3.  ABX; |<ABX|= 420 1. Náčrt a rozbor 4. D ; D  k1  BX D C 5. p; p||AB , D  p 6. k2; k2(B, 5 cm) 6,5 cm b = 5 cm 7. C ; C  k2  p 3. Konstrukce 420 8. lichoběžník ABCD X a = 4 cm B k2 A k2 C1 X D C2 p C1 p D C2 k1 k1 A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 2 řešení

130 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
2. Postup konstrukce 7) S: čtyřúhelník ABCD D: a = 6 cm, b = 3 cm, c = 7 cm |< ABD|= 450, α = 780 1. AB; |AB|= 6 cm 2.  BAX; |<BAX|= 780 3.  ABY; |<ABY|= 450 1. Náčrt a rozbor 4. D ; D  AX  BY D 5. k1; k(D, 7 cm) c = 7 cm 6. k2; k(B, 3 cm) C 7. C ; C  k1  k2 b = 3 cm 780 450 3. Konstrukce 8. čtyřúhelník ABCD a = 6 cm B X A k1 Y Y X D k1 D C k2 C k2 A B A B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

131 MVBDV - konstrukce čtyřúhelníku menu
2. Postup konstrukce 8) S: čtyřúhelník ABCD D: a = 5 cm, b = 4 cm, c = 3 cm, d = 6 cm,  = 1150 1. AB; |AB|= 5 cm 2. k1; k1(B, 4 cm) 3.  ABX; |<ABX|=1150 1. Náčrt a rozbor 4. C ; C  k1  BX D c = 3 cm C 5. k2; k2(C, 3 cm) 6. k3; k3(A, 6 cm) d = 6 cm b = 4 cm 7. D ; D  k2  k3  = 1150 8. čtyřúhelník ABCD 3. Konstrukce k2 B A a = 5 cm k3 D X D k3 X C C k1 k1 k2 A A B B Úloha má ve zvolené polorovině 1 řešení

132 MVBDV – konstrukční úlohy
menu Konec prezentace