Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu:

Prezentace na téma: "Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu:"— Transkript prezentace:

1 Obchodní akademie, Střední odborná škola a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky, Hradec Králové Autor: Mgr. Lenka Marková Název materiálu: VY_32_INOVACE_1_ROVNICE_13 Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Téma sady: Rovnice Obor, ročník: Ekonomické lyceum a obchodní akademie, 1.,3. a 4. ročník Datum vytvoření: květen 2013 Anotace: Řešení kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou metodou intervalů Metodický obsah: Výklad nového učiva, příklady na procvičení, ve vyšších ročnících k opakování učiva. Prezentace je určena jako podklad pro výklad v hodině, ale i k samostudiu formou e-learningu.

2 Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Při řešení kvadratických rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou užíváme metodu intervalů, tedy postupujeme obdobně jako při řešení lineárních rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou.

3 A) Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou
Anulováním výrazu v absolutní hodnotě dostaneme „nulový bod“ (případně žádný nebo dva "nulové body“), pomocí kterého (kterých) rozdělíme číselnou osu na jednotlivé intervaly. Na základě definice absolutní hodnoty odstraníme absolutní hodnoty v jednotlivých intervalech a rovnice v nich vyřešíme. Jednotlivá řešení sjednotíme a dostaneme výsledek.

4 A) Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou
Př. 1 Řešte v ℛ: 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 −2 n. b.: 𝑥=−2 𝐼 1 = −∞;− 𝐼 2 = −2; ∞ 𝐼 1 = −∞;− 𝐼 2 = −2; ∞ 𝑥+2 − 𝑥+2 𝑥+2 𝑥 2 + 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 2 +𝑥+2=𝑥+13 𝑥 2 −𝑥−2=𝑥+13 𝑥 2 =11 𝑥 2 −2𝑥−15=0 𝑥 2 − 𝑥+2 =𝑥+13 𝑥 = 11 𝑥−5 𝑥+3 =0 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 5∈ 𝐼 2 a −3∉ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 − 11 ∈ 𝐼 1 a ∉ 𝐼 1 𝑥 1,2 =± 11 𝑥 1 =5 𝑥 2 =−3 𝒦 1 = − 11 𝒦 2 = 5 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 𝒦= − 11 ,5

5 Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 nulové body: -2 2 𝑥 2 −4=0 𝑥=−2, 𝑥=2
𝑥 2 −4=0 𝑥=−2, 𝑥=2 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;2) 𝐼 3 = 2 ;+∞) 𝐼 1 =(−∞;−2) 𝐼 2 = −2 ;2) 𝐼 3 = 2 ;+∞) 𝑥 2 −4 ( 𝑥 2 −4) −( 𝑥 2 −4) ( 𝑥 2 −4) 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 − 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 𝑥 2 −4=3 𝑥 2 − 𝑥 2 +4=3 𝑥 2 stejný výpočet jako v 𝐼 1 𝑥 2 −4 =3 𝑥 2 −2𝑥 2 =4 − 4𝑥 2 =−4 𝑥 2 =−2 𝑥 2 =1 𝒦 1 ={} 𝑥 1 =−1 𝑥 2 =1 𝒦 3 ={} 𝒦 2 = −1;1 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑑𝑟𝑢ℎá 𝑚𝑜𝑐𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑒𝑚ůž𝑒 𝑏ý𝑡 𝑧á𝑝𝑜𝑟𝑛á 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 −1;1∈ 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑑𝑟𝑢ℎá 𝑚𝑜𝑐𝑛𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑒𝑚ůž𝑒 𝑏ý𝑡 𝑧á𝑝𝑜𝑟𝑛á 𝒦= −1;1

6 B) Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou
Při řešení nerovnic s absolutní hodnotou postupujeme obdobně jako při řešení rovnic s absolutní hodnotou. Rozdíl je pouze v tom, že nezjišťujeme, zda kořen patří do daného intervalu, ale zjišťujeme průnik řešení a daného intervalu.

7 Př. 1 Řešte v ℛ: 𝑥 2 +2𝑥−3 >2𝑥+1
nulové body: 𝑥 2 +2𝑥−3=0 𝑥+3 𝑥−1 =0 𝑥=−3, 𝑥=1 𝐼 1 = −∞;−3 𝐼 2 = −3; 1 𝐼 3 = 1; ∞ -3 1 𝐼 1 = −∞;−3 𝐼 2 = −3; 1 𝐼 3 = 1; ∞ 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3 − 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3>2𝑥+1 −𝑥 2 −2𝑥+3>2𝑥+1 𝑥 2 +2𝑥−3>2𝑥+1 𝑥 2 −4>0 −𝑥 2 −4𝑥+2>0 stejný výpočet jako v 𝐼 1 𝑥−2 𝑥+2 >0 𝑥 2 +4𝑥−2<0 + - + Řešení KN 𝑥 2 +2𝑥−3 >2𝑥+1 𝑥∈ −∞; −2 ∪ 2; ∞ 𝑥∈ −2− 6 ,−2+ 6 𝑥∈ −∞; −2 ∪ 2; ∞ 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 2 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 3 𝑝𝑟𝑜𝑡𝑜ž𝑒 𝑗𝑑𝑒 𝑜 𝑝𝑟ů𝑛𝑖𝑘 ř𝑒š𝑒𝑛í 𝑎 𝐼 1 -3 −2− 6 −2+ 6 1 𝒦 1 = −∞; −3 𝒦 2 = −3 ; −2+ 6 𝒦 3 = 2; ∞ 𝒦= 𝒦 1 ∪ 𝒦 2 ∪ 𝒦 3 𝒦=(−∞; − ∪ 2; +∞

8 Př. 2 Řešte v ℛ: 𝑥 2 −2𝑥+5 ≥2 𝑥 2 −3 nulové body: 𝑥 2 −2𝑥+5=0
D<0, proto nemá rovnice žádné řešení v ℛ 𝑥 1,2 = 2± −2 2 −4∙1∙5 2∙1 = 2± −16 2 nulové body neexistují číselná osa je jediným intervalem 𝐼= −∞;∞ 𝐼= −∞;∞ 𝑥 2 −2𝑥+5 𝑥 2 −2𝑥+5 𝑥 2 −2𝑥+5 ≥2 𝑥 2 −3 𝑥 2 −2𝑥+5≥2 𝑥 2 −3 po dosazení libovolného čísla z 𝐼 dostáváme kladný výsledek, a proto před kulatou závorku píšeme pomyslné + −𝑥 2 −2𝑥+8≥0 𝑥 2 +2𝑥−8≤0 𝑥−2 𝑥+4 ≤0 + - + 𝒦= −4,2

9 Kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
Procvičování: Řešte v ℛ: x+2 + x−2 = 𝑥 2 +4 𝑥 2 −2x+2 =17 1− 𝑥 2 ≤ 1 2 𝑥+1 5−6x+ 𝑥 2 >0 Výsledky: 𝒦={0} 𝒦={−3;5} 𝒦={−1}∪ 1 2 ; 3 2 𝒦=ℛ∖{1;5}

10 Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
Zdroje, autorská práva HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, ISBN CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2001, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN X. Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora. Všechny neocitované kliparty jsou součástí prostředků MS Office. „Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoli další využití podléhá autorskému zákonu.“