KMT/DIZ1 Věty, poučky a jejich důkazy ve školské matematice

Prezentace na téma: "KMT/DIZ1 Věty, poučky a jejich důkazy ve školské matematice"— Transkript prezentace:

1 KMT/DIZ1 Věty, poučky a jejich důkazy ve školské matematice
Problémy spojené s dokazováním (matematická věta, obrácená a obměněná věta, typy důkazů, důkazy vět ve vyučování, úsudek) Logická organizace matematické látky Květoň, Luhan Jaká znáte tvrzení, která se na ZŠ vyučují?

2 Jiná pojmenování matematických vět
Matematická věta Co to je? Jaký má tvar? Jiná pojmenování matematických vět - pravdivý výrok o matematických objektech - výrok většinou převoditelný na implikaci P  T - v P  T je P předpoklad (podmínka), T je tvrzení (závěr) - postačující a nutná podmínka mat. věta objeví se heuristicky (indukce) vyvodí se ze známých tvrzení (dedukce) obměny vět s více předpoklady – negT -> negP1 v negP2, negT A P1 obrácené věty s více předpoklady ! v příkladech uvedené věty nejsou výroky ! lemma – pomocné tvrzení x Zornovo lemma kritérium – objektivní měřítko, podle něhož posuzujeme objekt, výrazný znak objektu, v M posouzení platnosti tvrzení kritérium dělitelnosti 9 (znak dělitelnosti 9), kritérium rovnoběžnosti, B.-C. kritérium konvergence řady, kritéria konvergence řad pravidlo – Cramerovo, Sarrusovo, L‘Hospitalovo, odvozovací pravidla teorém 4 barev unsolved problems, millenium problems, Hilbertovy problémy Goldbachova hypotéza – každé sudé číslo větší než dva lze zapsat jako součet dvou prvočísel zákon – komutativní, asociativní – něco, co platí, mohu použít pro úpravu - lemma, kritérium, pravidlo, tvrzení - hypotéza, teorém - axiom, zákon

3 Obměněná a obrácená věta
Co je obměněná věta? Co je obrácená věta? Jaký je rozdíl mezi obměněnou a obrácenou větou? - původní věta: P  T - obměněná věta: T  P - původní věta: P  T - obrácená věta: T  P

4 d. jednotlivého tvrzení – individuální m.věty
Typy důkazů - dle tvaru výroku d. jednotlivého tvrzení – individuální m.věty d. obecného tvrzení (obsahuje ) d. existenčního tvrzení (obsahuje ) d. výroku obsahující  d. výroků obsahující obecný i existenční kvantifikátor - dle postupu d. přímý d. nepřímý důkazy – prostor pro deduktivní myšlení používají se odvozovací pravidla dedukce – logické odvození formálního charakteru, věty se vyvozují z jiných na základě vztahu mezi jejich formou a strukturou, nezávisle na konkrétním obsahu - důkazy obsahují deduktivní úvahy, při deduktivních úvahách se používají odvozovací pravidla

5 Důkazy vět ve vyučování
Cíl naučit hotové důkazy – součást matematické teorie naučit dokazovat věty samostatně Pravidla výuky důkazů pochopili Ž obsah věty správně? -> zopakovat vše potřebné pro důkaz vědí Ž, že argumenty použité v důkazu jsou pravdivé? -> logické mezery vyplníme pokusem, názorem, intuicí, znalostmi odjinud vyvolání potřeby důkazu (od cca 8. třídy), přímé důkazy - diferenciace výuky (slabé Ž nenutíme do důkazů) Didaktické problémy spojené s dokazováním př. Důkaz věty sss.

6 Příklady V rovnoramenném trojúhelníku ABV se základnou AB sestrojte jeho těžnici tv = VS. Zdůvodněte (dokažte), že ASV  BSV. Prodos, M7, 47/1 1. AV je shodné s BV protože jsou to ramena trojúhelníku 2. AS je shodné s BS, protože S je středem AB 3. VS je shodné s VS, protože je to společná strana obou trojúhelníků Z toho plyne, že trojúhelníky jsou shodné podle sss.

7 premisa 1 1. Jestliže Kašpar zpronevěřil
Usuzování premisa Jestliže Kašpar zpronevěřil premisa 2 mnoho peněz, pak mají …………….. úsudek Kašparovi na auto. premisa n 2. Kašparovi mají na auto. závěr Z ? 1. Jestliže 6 dělí 54, pak 3 dělí 54. 2. 6 dělí 54 Z ? usuzování jako způsob tréninku deduktivního myšlení na základě vztahů mezi premisami vytvoříme/odvodíme nové tvrzení pravidla usuzování Je-li x = 2, pak x^2 = 4. x je různé od 2 x^2 je různé od 4