Matematika pro počítačovou grafiku

Prezentace na téma: "Matematika pro počítačovou grafiku"— Transkript prezentace:

1 Matematika pro počítačovou grafiku
Středoškolská matematika Analytická geometrie Vektorový a maticový počet Lineární algebra Numerická matematika

2 Symboly skalár [hodnota] a
vektor (sloupcový) s = [s1, …, sn]T s - tučné matice

3 Goniometrické funkce cos(+) = cos()cos() - sin()sin()
sin(+) = cos()sin() + sin()cos() sin( -) = cos()sin() - sin()cos()

4 Vektorový počet Skalární součin normalizace vektoru
aT b = a . b = | a |.| b | cos  úhel  sevřený vektory normalizace vektoru a  b

5 Vektorový počet Vektorový součin (plocha kosodélníka)
|n| = |a x b| = | a |.| b | sin  Složený vektorový součin a b c = aT (b x c) = det [a | b | c ] objem rovnoběžstěnu n b   a

6 Maticový počet Násobení vektoru vektorem Násobení matic vektorem

7 Maticový počet Násobení matic Řešení lineárních rovnic
x je vektor neznámých X je matice neznámých

8 Vektorový počet v geometrii
Rovnice přímky E2 parametrické rovnice x(t) = xA + (xB - xA) t t (- , ) pro úsečku t  < 0 , 1 > explicitní rovnice y = k x + q |k|   resp. x = m y + p |m|   implicitní rovnice aTx + d = 0 úsekový tvar y b a x

9 Vektorový počet v geometrii
Rovnice přímky E2 normálový tvar x cos + y sin - p = 0 p - vzdálenost od počátku polární tvar y p b  r  x a

10 Vektorový počet v geometrii
Rovnice roviny E3 parametrické rovnice x(u,v) = xA + (xB - xA) u + (xC - xA) v u,v (- , ) pro čtyřúhelník u,v  < 0 , 1 > implicitní rovnice aTx + d = 0 ax + by + cz + d = 0 úsekový tvar

11 Vektorový počet v geometrii
Rovnice roviny E3 normálový tvar x cos + y sin + z cos - d = 0 d - vzdálenost od počátku

12 Funkce v E2 Rovnice funkcí v E2 explicitní y = f(x)
Plot[{Exp[-(x*x)]*Cos[x*10]},{x,-2,2}] implicitní F(x,y) = 0 paramerická x = x(t) ParametricPlot[{Cos[3t],Sin[5t]}, {t, 0, 10}]

13 Funkce v E2 Rovnice funkcí v E2 explicitní y = f(x) y = e-x2 cos x
implicitní F(x,y) = 0 x2 + y2 - r2 = 0 paramerická x = x(u,v) x = r cos y = r sin   < 0 , 2)

14 Funkce v E3 Rovnice funkcí v E3 explicitní z = f(x,y)
Plot3D[Cos[x*2y],{x,-3,3},{y,-3,3},PlotPoints->50]

15 Funkce v E3 Rovnice funkcí v E3 implicitní F(x,y,z) = 0

16 Funkce v E3 Paramerická rovnice x = x(t) křivka
ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],t/3}, {t, 0, 20}] ParametricPlot[{t,Sin[t]}, {t, 0, 20}] ParametricPlot[{t,Cos[t]}, {t, 0, 20}] ParametricPlot[{t,t/3}, {t, 0, 20}] x y z

17 Průsečíky Průsečík přímek, resp. úseček
x(t) = xA + s1 t x(p) = xB + s2 p x(t) = x(p) -> xA + s1 t - xB - s2 p = 0 s1 t - s2 p + xA - xB= 0 řešíme tedy soustavu: nutno řešit s odpovídající přesností

18 Průsečíky Průsečík roviny a přímky p: x(t) = xA + s t : aTx + d = 0
dosazením aT [xA + s t ] + d = 0 tedy Určete průsečík s rovinou, pokud je rovina určena parametricky

19 Diferenciální operátory
Gradient (skalár ->vektor) Divergence (vektor ->skalár)

20 Diferenciální operátory
Rotace (vektor ->vektor)