FYZIKÁLNÍ APLIKACE DIFERENCIÁLNÍHO POČTU

Prezentace na téma: "FYZIKÁLNÍ APLIKACE DIFERENCIÁLNÍHO POČTU"— Transkript prezentace:

1 FYZIKÁLNÍ APLIKACE DIFERENCIÁLNÍHO POČTU

2 Př.1.: K baterii s elektromotorickým napětím 𝑈 𝑒 a vnitřním odporem 𝑅 𝑖 je připojen spotřebič. Výkon baterie je 𝑃= 𝑈 𝑒 𝐼− 𝐼 2 𝑅 𝑖 . Při jakém proudu bude výkon maximální? Hledáme extrém funkce 𝑃=𝑃(𝐼), určeme tedy její první derivaci 𝑑𝑃 𝑑𝐼 = 𝑈 𝑒 −2𝐼 𝑅 𝑖 , a položme ji rovnu 0. Z rovnice 𝑈 𝑒 −2𝐼 𝑅 𝑖 =0 dostáváme stacionární bod 𝐼= 𝑈 𝑒 2 𝑅 𝑖 . Pro druhou derivaci funkce platí 𝑑 2 𝑃 𝑑 𝐼 2 =−2 𝑅 𝑖 , takže získaný extrém je maximum. Z toho plyne, že pro hodnotu 𝐼= 𝑈 𝑒 2 𝑅 𝑖 je výkon maximální.

3 Př.2.: Dva světelné zdroje jsou umístěny 30cm od sebe a poměr jejich svítivostí je 27:8. Najděte na jejich spojnici nejméně osvětlený bod. Předpokládáme ideální situaci (tj. světelné zdroje stejného druhu, paprsky dopadají kolmo na uvažované místo). Označíme-li vzdálenost hledaného bodu od jednoho zdroje 𝑥, pak jeho vzdálenost od druhého zdroje je 30−𝑥. Jsou-li dále 𝐼 1 , 𝐼 2 svítivosti jednotlivých zdrojů, pak pro intenzitu osvětlení v bodech platí: 𝑦= 𝐼 1 𝑥 2 + 𝐼 2 30−𝑥 2 . Zderivujeme a dostáváme: 𝑦´=− 2 𝐼 1 𝑥 𝐼 2 30−𝑥 3 . Položíme tedy derivaci rovnu 0 a upravíme: 𝐼 1 𝐼 2 = 𝑥 3 30−𝑥 3 = 27 8 , a nakonec vypočítáme 𝑥=18. Určíme znaménko první derivace a ověříme charakter extrému, tj. minimum. Místo, které je nejméně osvětleno, je 18cm od silnějšího zdroje.

4 Př.3.: Dva hmotné body jsou umístěny v soustavě souřadnic v bodech 𝐴 0;8 , 𝐵 7;0 (v m). V témže okamžiku se se oba hm. body dají do pohybu po osách soust. souř. k jejímu počátku. Hm. bod umístěný v bodě A se pohybuje rychlostí 𝑣 1 = 1𝑚. 𝑠 −1 , hm. bod umístěný v bodě B se pohybuje rychlostí 𝑣 2 =2𝑚. 𝑠 −1 . Po kolika sekundách bude vzdálenost hmotných bodů nejmenší? Za dobu 𝑡 se hm. bod pohybující se z bodu A bude nacházet v bodě 𝐴 𝑡 0;8− 𝑣 1 𝑡 = 0;8−𝑡 , podobně druhý bod v bodě 𝐵 𝑡 7− 𝑣 2 𝑡;0 7− 𝑣 2 𝑡;0 = 7−2𝑡;0 . Vzdálenost těchto bodů je funkcí proměnné 𝑡, označme ji 𝑙 𝑡 : 𝑙 𝑡 = 8−𝑡 2 + 7−2𝑡 2 = 5 𝑡 2 −44𝑡+113 , a protože hledáme její extrém, určeme první derivaci a položme ji rovnu 0: 𝑙´ 𝑡 = 10𝑡− 𝑡 2 −44𝑡+113 =0. Nalezená hodnota 𝑡=4,4 je minimem funkce 𝑙 𝑡 (viz znaménko 1. derivace). Vzdálenost hmotných bodů bude nejkratší za 4,4s, jejich odpovídající vzdálenost je po dosazení 4,02m.