UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU I.

Prezentace na téma: "UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU I."— Transkript prezentace:

1 UŽITÍ INTEGRÁLNÍHO POČTU I.
Autor: RNDr. Věra Freiová Gymnázium K. V. Raise, Hlinsko, Adámkova 55

2 Obsah útvaru 𝑼=𝑼 𝒂, 𝒃, 𝒇 Útvar je omezen osou 𝑥, tj. přímkou 𝑦=0, dále přímkami 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏 a grafem spojité funkce v intervalu 𝑎;𝑏 . 𝑆 𝑈 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

3 Př. Vypočítejte obsah plochy ohraničené křivkami: a) 𝑓:𝑦= 𝑥 2 +1, 𝑦=0, 𝑥=−1, 𝑥=2 (obrázek!) 𝑆 𝑈 = −1 2 𝑥 2 +1 𝑑𝑥= 𝑥 3 3 +𝑥 −1 2 = = − − 1 3 −1 =6 …… fce 𝑓 na −1;2 nezáp. b) 𝑓:𝑦=− 𝑥 2 +2𝑥−3, 𝑦=0, 𝑥=0, 𝑥=3 𝑆 𝑈 = 0 3 −𝑥 2 +2𝑥−3 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑥 2 −3𝑥 0 3 = − −9 =9 …… fce 𝑓 na 0;3 záp.

4 Obsah útvaru 𝑼=𝑼 𝒂, 𝒃, 𝒇, 𝒈 Útvar ohraničen křivkami 𝑦=𝑓 𝑥 , 𝑦=𝑔 𝑥 , 𝑥=𝑎, 𝑥=𝑏. 𝑆 𝑈 = 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 𝑑𝑥

5 Př. Vypočítejte obsah plochy omezené křivkami: a) 𝑦=2− 𝑥 2 , 𝑦=𝑥 (obrázek!) Musíme určit meze integrálu = průsečíky daných funkcí: 2− 𝑥 2 =𝑥  𝑥 2 +𝑥−2=0   𝑥+2 𝑥−1 =0  𝑥=−2, 𝑥=1 Pro obsah platí: 𝑆 𝑈 = −2 1 2− 𝑥 2 −𝑥 𝑑𝑥= = 2𝑥− 𝑥 3 3 − 𝑥 2 2 −2 1 =2− 1 3 − 1 2 − − −2 = 9 2

6 b) 𝑦=𝑥, 𝑦= 1 𝑥 , 𝑦=0, 𝑥=2 Začneme výpočtem průsečíků daných funkcí: 𝑥= 1 𝑥  𝑥 2 =1  𝑥 =1  𝑥=±1 𝑥=0. Jiné funkce se neprotínají. Výpočet obsahu plochy musíme rozdělit na dvě části, první je omezena osou 𝑥 a přímkou, druhá část je ohraničena osou 𝑥, hyperbolou a přímkou 𝑥=2: 𝑆 𝑈 = 0 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥= 𝑥 ln 𝑥 = = 1 2 −0+ ln 2− ln 1 = ln 2

7 Zdroje: Hrubý D., Kubát J.: Matematika pro gymnázia (Diferenciální a integrální počet), Prometheus, Praha 2005