Kvadratické nerovnice - grafická metóda

Prezentace na téma: "Kvadratické nerovnice - grafická metóda"— Transkript prezentace:

1 Kvadratické nerovnice - grafická metóda
Mgr. Mihályi Juraj ZSŠ v Štúrove Aprobácia: matematika- fyzika

2 Návod na použitie prezentácie
Prezentácia je riadená užívateľom (kliknutie myšou znamená posun prezentácie) podľa jeho požiadaviek na čas, potrebný na jednotlivé kroky Pozorne treba prečítať komentáre a návody, svedomite vyriešiť príklady Do obsahu prezentácie nie je možné zasahovať Príjemné štúdium Vám prajem!

3 Obsah Cieľ prezentácie Opis témy Druhy kvadratických nerovníc
Opis grafickej metódy Prezentácie vlastnej metódy s príkladmi Záver Použitá literatúra a linky

4 Cieľ prezentácie: Téma, kvadratické nerovnice robí problémy takmer všetkým žiakom, najmä finalizácia riešenia, t. z. mechanizmus zvládnu s radosťou, ale určiť výsledok podľa grafu už väčšina žiakov nerobí, alebo nerobí dobre. Práve z toho dôvodu chýba v prezentácii toto mechanizmus a kladie sa dôraz na správnu interpretáciu údajov grafu.

5 Opis témy Téma nasleduje v učive 1. ročníka študijných odborov ZSŠ ihneď po tematickom celku: kvadratické funkcie a rovnice. To znamená, že žiaci vedia načrtnúť parabolu s rôznymi koeficientami a vedia riešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu, pokiaľ reálne riešenie existuje. Tieto vedomosti využijú naďalej a namiesto doterajších výsledkov diskrétneho typu sa naučia počítať aj výsledky typu intervalového

6 Aké sú to nerovnice? Ukážeme druhy kvadratických nerovníc:

7 Najlepší prípad: Ak príslušná kvadratická rovnica má reálne riešenia, vypočítame ich:

8 Ukážka konkrétneho príkladu

9 Ako ďalej? Takto:

10 Kreslenie grafu 1. graf y -2 4 x

11 Keďže ľavá strana nerovnice je reprezentovaná parabolou na obrázku, hľadáme oblasť, v ktorej je parabola menšia, alebo rovná nule. Príslušnú úsečku na osi „x“ môžeme považovať za riešenie kvadratickej nerovnice. Píšeme ho v tvare intervalu:

12 Ak je v nerovnici ostrá nerovnosť, interval je otvorený
Ak je v nerovnici neostrá nerovnosť, interval je uzavretý, ako v predošlom príklade

13 Príklad na precvičovanie
Vyriešte nerovnicu v množine R až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

14 Výpočty:

15 Hotový náčrt Parabola typu „ „ vrcholom nad osou „x“

16 SKÚŠKA!!!!.... Pre istotu sa oplatí dosadiť nejaké číslo z množiny „P“ do nerovnice a zistiť pravdivosť. (Niekedy je jednoduchšie dosadiť také číslo, ktoré v množine „P“ nie je, tým pádom samozrejme dostanete po dosadení nepravdivý výrok.)

17 Ďalšie typy kvadratických nerovníc:
Riešte graficky nerovnicu: v množine R. Príklad urobte sami až do fázy hotového grafu, a potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie!

18 Hotový graf... Tvrdenie výrokovej formy:
Parabola má nezápornú časť nad osou „x“ a na osi „x“. Z toho vyplýva, že príslušná časť osi „x“ sa dá napísať úniou dvoch intervalov:

19 Poznámka... V prípade ostrej nerovnosti sú intervaly otvorené!

20 Príklady na precvičovanie:
Najprv vyriešte nasledovné príklady v množine R, potom si pozrite ďalšiu stranu prezentácie:

21 Zhrnutie výsledkov:

22 Čo sa stane, ak D=0 ???? Ak D=0, potom kvadratická rovnica má práve jedno reálne riešenie, čiže parabola sa dotýka osi „x“ v tom čísle, ktoré je riešením rovnice. To znamená, že celá parabola ( ktorá reprezentuje ľavú stranu upravenej nerovnice ) je . Ak to porovnáme s požiadavkou nerovnice (tvrdením výrokovej formy ), ľahko nájdeme riešenie.

23 Príklad Riešte v množine reálnych čísel nerovnicu:
Z grafu vidíme, že požiadavke nerovnice vyhovuje jediný bod paraboly, x=2 .

24 Ak kvadratická rovnica nemá reálne riešenie, potom parabola, ktorá ju reprezentuje, musí byť nad osou „x“ (a>0), alebo pod osou „x“ (a<0). Riešenie kvadratickej nerovnice je v tomto prípade , alebo

25 D=-7 P=(-∞;∞) Dôvod: Celá parabola je kladná: tvrdeniu nerovnice vyhovuje celá os „x“.

26 D=-16 Riešenie: P={ } Dôvod: Žiadna časť paraboly nie je ≤ 0, lebo celá parabola je nad osou „x“, teda je kladná.

27 Využitie kvadratických nerovníc:
Často sa stretávame s problémom určenia definičného oboru rôznych funkcií, kde treba riešiť kvadratické nerovnice, napríklad:

28 Ďalej... Kvadratická nerovnica je často súčasťou inej, zložitejšej rovnice, resp. nerovnice:

29 Z praktických problémov uvediem len jeden z oblasti balistiky:
Z plošiny veže vo výške 108m vystrelili vodorovne projektil o 12.h 20 min. Určte časový interval, v ktorom sa bude projektil pohybovať vo výške vyššej, ako 10m nad pätou veže. ( okolnosti, ktoré kladú odpor pohybu projektilu, zanedbáme )

30 Jedná sa o pohyb, ktorý je zložený z rovnomerného priamočiareho pohybu a z voľného pádu:
Náčrt situácie:

31 Po preložení do „reči“ matematickej:
Jedná sa o riešenie nerovnice:

32 Po vypočítaní: Nakoľko nás zaujíma nezáporný časový interval, upravíme výsledok na :

33 Po porovnaní s počiatočnými podmienkami môžeme dať odpoveď:
Projektil sa bude pohybovať vo výške väčšej, ako 10m nad pätou veže v čase od 12:20:00 do 12:20:4,43. Ak berieme do úvahy aj rýchlosť vystreleného projektilu, môžeme vypočítať, v akej vzdialenosti dopadne na zem, čo je veľmi dôležité z hľadiska zabezpečenia takéhoto „pokusu“.

34 Ako matematika vo všeobecnosti...
aj riešenie kvadratických nerovníc rozvíja myslenie žiakov, napomáha ku komplexnej analýze zložitých problémov. Kto vie narábať s týmito detailmi, lepšie obstojí aj vo svete komplikovaných reálnych situácií.

35 Použitá literatúra a linky
Jirásek F.: Zbierka úloh z matematiky pre SOŠ a študijné odbory SOU, 1. časť, Bratislava 1987

36 KONIEC