Logaritmická funkcia Mgr. Jozef Vozár 2007.

Prezentace na téma: "Logaritmická funkcia Mgr. Jozef Vozár 2007."— Transkript prezentace:

1 Logaritmická funkcia Mgr. Jozef Vozár 2007

2 Definícia Logaritmickou funkciou so základom z > 0 z<>1,
budeme nazývať inverznú funkciu k exponenciálnej funkcii y = zx . Symbolicky f: y = logz x

3 D(f)= R+ H(f) = R Grafom funkcie je logaritmická krivka

4 Vzťah medzi exponenciálnou a logaritmickou funkciou
Odvodenie: f: y = zx f-1 : x = zy Vyjadríme y, aby sme mohli obidve funkcie zakresliť v tej istej súradnicovej sústave. Tento proces pri tejto funkcii nazývame logaritmovanie f-1 : y = log z x

5 Definícia logaritmu Z toho vyplýva že: x = zy y = log z x x = (z)logzx

6 Vytvorenie grafu : najprv graf exponenciálnej funkcie

7 Potom os 1. a 3. kvadrantu

8 V osovej súmernosti nakreslíme graf logaritmickej funkcie

9 Vytvorenie grafu : najprv graf exponenciálnej funkcie

10 Potom os 1. a 3. kvadrantu

11 V osovej súmernosti nakreslíme graf logaritmickej funkcie

12 Vlastnosti logaritmov
logz z = 1 , pretože z1 = z logz 1 = 0, pretože z0 = 1 logz z2 = 2 logz z0,5 = 0,5

13 Vety o logaritmoch pre prípustné hodnoty a,b,z
logz a.b = logz a + logz b logz a/b = logz a - logz b logz an = n. logz a logz n√a = 1/n. logz a

14 Zmena základu logaritmu
Zmena zo základu z na základ x logx a logz a = –––––-- logx z Pozri príklad

15 Dôkaz logz a/b = logz a - logz b
a/b = zlogza/b a = zlogza b = zlogzb a/b = zlogza /zlogzb zlogza/b = zlogza /zlogzb = zlogza - logzb teda logz a/b = logz a - logz b q.e.d.

16 Riešenie rovníc Pri riešení logaritmických rovníc využívame ,
1. že logaritmická funkcia je prostá: logz a = logz b a = b 2. vety o logaritmoch

17 Pozor, pri logaritmických rovniciach
Príklad č.1 logz (x + 3) = logz (2x - 2) x + 3 = 2x – 2 x = 5 Pozor, pri logaritmických rovniciach treba robiť skúšku! logz (5 + 3) = logz (10 - 2)

18 Príklad č.2 log2 (x + 14) + log2 (x + 2) = 6

19 Riešenie P2 log2 (x + 14).(x + 2) = log2 26 (x + 14).(x + 2) = 64
x2 + 16x – 36 = x 1= 18 , x 2 = - 2 S: log2 ( ) + log2 (18 + 2) = 6 log2 ( ) + log2 (-2 + 2) <> 6 Koreňom je len x 1= 18

20 Príklad č.3 log(4x + 2) - log(3 - x) = 1

21 Riešenie P3 4x + 2 log ––––––- = log 10 3 – x
––––––- = x x = 0 3 – x x = x = 2

22 Príklad č.4 x 2logx - 1 = 100x2 / log

23 (2logx – 1).log x = log 100 + 2log x
Riešenie P4 (2logx – 1).log x = log log x 2log2x – log x – 2log x – 2 = 0 t = log x 2t2 – 3t – 2 = 0 t 1 = 2, t2 = -1/2

24 Riešenie P4 log x = 2 x = 100 log x = -1/2 x = 10-1/2

25 Príklad č.5 1 + log x3 = 10/log x

26 Riešenie P5 1 + 3 log x = 10/log x log x = t 1 + 3t – 10/t = 0
t1 = 10/6 = 5/ log x 5/3, x = 105/3 t2 = log x = -2, x = 10-2

27 Príklad č.6 log16 x + log4 x + log2 x = 7

28 Riešenie P6 log16 x = log2 x/log2 16 = log2 x/4
pozri na zmenu základu

29 Riešenie P6 log16 x + log4 x + log2 x = 7