ŠTATISTIKA.

Prezentace na téma: "ŠTATISTIKA."— Transkript prezentace:

1 ŠTATISTIKA

2 Základné pojmy Štatistický súbor Rozsah súboru Kvantitatívny znak
Kvalitatívny znak ARITMETICKÝ PRIEMER Geometrický, Harmonický priemer MODUS MEDIÁN Grafy -Polygón početnosti a histogram SMERODAJNÁ ODCHÝLKA DISPERZIA-ROZPTYL Štatistická závislosť znakov-KOEFICIENT KORElÁCIE

3 Pr.1 Vypočítajte priemerný prospech žiaka Janka Hraška na konci roka ak dosiahol takéto výsledky z jednotlivých predmetov Sj D Rj M F Bio Tv 2 1 3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 OBSAH

4

5 Aritmetický priemer známok je:
OBSAH

6 Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M
Def: Štatistickým súborom rozumieme danú konečnú neprázdnu množinu M. (napr. množina predmetov, resp.známok) Počet n všetkých prvkov množiny M sa nazýva rozsah súboru. (počet predmetov-známok.....n=7) Kvantitatívnym znakom súboru M nazývame ľubovoľnú funkciu f, ktorá zobrazuje množinu M do množiny R. (Jednotlivým predmetom priradí známku, teda reálne číslo) (Hodnoty tejto funkcie označme x1, x2, ....xn)

7 ARITMETICKÝ PRIEMER Ak hodnoty množiny M označíme x1, x2, x3 …xn , tak aritmetickým priemerom znaku x je číslo OBSAH

8 Vážený priemer Absolútna početnosť Relatívna početnosť

9 Pr 2. V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke:
Chc ch1 ch2 ch3 ch4 ch5 ch6 ch7 ch8 Ch9 výška 160 168 174 171 179 190 Vypočítajte priemer (vážený) Modus Medián Smerodajnú odchýlku Zostrojte histogram OBSAH

10 Tabuľky Výška xi 160 X1 168 X2 171 X3 174 X4 X5 X6 179 X7 X8 190 X9
Xj Počet Nj 160 x1 1 n1 168 x2 n2 171 x3 n3 174 x4 3 n4 179 x5 2 n5 190 x6 n6 OBSAH

11 Priemer OBSAH

12 Geometrický priemer

13 Harmonický priemer

14 Pr. Vypočítajte AP, VP, GP, HP daného štatistického súboru:
2, 3, 5, 7, 9 3, 4, 5, 8, 10, 11, výsledky

15 Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0
MODUS Je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota spomedzi x1, x2, .....xn. Označenie: mod(x)=xj0, nj<nj0 OBSAH

16 MEDIÁN Je prostredná hodnota medzi číslami x1, x2, x3, xn ak ich usporiadame podľa veľkosti. Označenie: med(x) Poznámka: Ak rozsah súboru n je párne číslo, potom sú prostredné hodnoty dve a za medián sa berie ich aritmetický priemer. OBSAH

17 Grafické znázornenie štatistického súboru
Histogram Spojnicový diagram Kruhový diagram

18 HISTOGRAM Je stĺpcový diagram, tvorený obdĺžnikmi, ktorých obsahy sú úmerné príslušným početnostiam, ktorých strana na osi x = hodnota znaku, strana na osi y = jeho početnosť.

19 Úloha 1: Znázornite pomocou histogramu hodnoty daného štatistického súboru. ( xj je výška chlapcov)
150 165 170 180 nj 2 3 1 4

20 Polygón početnosti = Spojnicový diagram
polygón početnosti = spojnicový diagram, získame spojením bodov, u ktorých: súradnica x je hodnota sledovaného znaku, súradnica y = jeho početnosť, t.j. bodov

21 Úloha 2: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor.
Xj 150 165 170 180 nj 2 3 1 4

22 Kruhový diagram diagram tvorený kruhom rozdelený, na kruhové výseky.
Počet výsekovzodpovedá počtu štatistických tried. Veľkosti stredových uhlov týchto výsekov sú priamo úmerné početnosti daného znaku.

23 Úloha 3: Znázornite pomocou polygónu početnosti – spojnicového diagramu daný štatistický súbor.
Xj 150 165 170 180 nj 2 3 1 4

24

25 PRÍKLADY K 13, K14, K17 OBSAH

26 Príklady K12, K14

27 Rozptyl a smerodajná odchýlka
Okrem charakteristiky polohy je dobré vedieť aj to, nakoľko sa jednotlivé hodnoty od tejto charakteristiky odchyľujú. Na to sa obvykle používa tzv. smerodajná odchýlka resp. rozptyl. OBSAH

28 Def. : Nech x1, x2,. xn sú všetky hodnoty daného znaku x
Def.: Nech x1, x2, ....xn sú všetky hodnoty daného znaku x. Potom sa číslo s nazýva SMERODAJNÁ ODCHÝLKA, pričom: OBSAH

29 Resp.

30 Poznámka: Čím je číslo s menšie, tým sú menšie rozdiely a tým sú čísla xi rozmiestnené bližšie okolo aritmetického priemeru.

31 Veta: Interval obsahuje aspoň všetkých členov x1,2, x3, .....xn. OBSAH

32 Druhá mocnina čísla s sa nazýva DISPERZIA alebo ROZPTYL

33 resp. OBSAH

34 Poznámka: Rozptyl, podobne ako smerodajná odchýlka, poukazuje na to, nakoľko sa odchyľujú jednotlivé čísla ( hodnoty štatistického súboru) od priemeru. OBSAH

35 V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke:
Riešme príklad 2: V triede je 9 chlapcov, ktorých výšky sú uvedené v tabuľke: Chc ch1 ch2 ch3 ch4 ch5 ch6 ch7 ch8 Ch9 výška 160 168 174 171 179 190 OBSAH

36 Smerodajná odchýlka Výpočet Tabuľka Kalkulačka

37 Štatistická závislosť znakov Zošit 3/str. 30 -33
KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

38 V mnohých prípadoch sa na prvkoch
základného súboru sledujú dva znaky X, Y. Jednou z úloh matematickej štatistiky je kvantitatívne charakterizovať „mieru závislosti“ medzi týmito dvoma znakmi veličinami napr. medzi výškou a hmotnosťou študentov,

39 V aplikáciach matematickej štatistiky obľúbenou charakteristikou závislosti je
KOEFICIENT KORELÁCIE (korelačná odchýlka)

40 Def: Nech x1, x2, ......xn sú hodnoty znaku X
Nech y1, y2, yn sú hodnoty znaku Y vo výberovom súbore Nech sú aritmetické priemery, resp. disperzie(rozptyly), resp. smerodajné odchýlky týchto znakov vo výberovom súbore, tj.

41

42 Výraz : sa nazýva KONVARIANCIA znakov X,Y

43 Koeficientom korelácie r je potom hodnota:
OBSAH

44 Poznámka: Koeficient korelácie určuje, do akej miery lineárny vzťah y = ax+b aproximuje (približuje) hodnoty znaku Y hodnotami X. Zaužívalo sa nasledujúce odstupňovanie tesnosti lineárnej závislosti medzi hodnotami znakov X, Y :

45 Malá, ak Mierna, ak Silná, ak

46 Dá sa ukázať, že pre koeficient korelácie platí
pričom vtedy a len vtedy, keď závislosť medzi znakmi X, Y je lineárna, t.j keď existujú také čísla a, b že y =ax+b OBSAH

47 Pr. (K20) Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo?
Osem žiakov z triedy vypočítalo koeficient korelácie medzi výškou a hmotnosťou členov svojej rodiny. V tabuľke sú uvedené ich výsledky. Koľko členov sa pri výpočte určite pomýlilo? Domáca úloha

48 žiak A B C D E F G H Koeficient korelácie 0,3 -0,7 1,2 -1,7 0,9 0,5 1,4 2,3 A) Štyria B) Traja C) Dvaja D) Jeden

49 Správna odpoveď je: Pomýlili sa štyria, teda A)
lebo pre koeficient korelácie platí t. j.

50 Riešme príklad: str. 31-Pr.1
Vypočítajte koeficient korelácie a charakterizujte mieru väzby medzi výškou a hmotnosťou študentov.

51 Odpoveď Koeficient korelácie je 0,88.
Na základe tohto výsledku možno hovoriť o silnej lineárnej závislosti medzi výškou a hmotnosťou študentov vybraného gymnázia. Domáca úloha 2

52 Pr. (K22) V tabuľke sú uvedené výsledky piatich žiakov, testovaných z matematiky a z fyziky. Z každého z testov sa dalo získať maximálne 15 bodov. Z čiastočného spracovania týchto výsledkov vyplýva, že z matematiky získali študenti priemerne 11 bodov, z fyziky 9,2 bodu. Smerodajná odchýlka pri teste z matematiky bola 2,4 bodu, pri teste z fyziky 2,2 bodu. Aký bol koeficient korelácie medzi obidvoma predmetmi? Domáca úloha

53 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Matematika 9 11 15 12 8 Fyzika 7 13 10
A) 0,4 B) 0,6 C) 0,8 D) 1

54 medzi dvoma predmetmi je
Správna odpoveď je: Koeficient korelácie medzi dvoma predmetmi je 0,8 teda C.

55 Domáca úloha1: Matematika-zošit 3 .......Str.32- Pr. 2
Matematika- zošit Str.33- cv. 1 Zbierka str. 56-pr. Zbierka str. 57- pr. 8, 9 Matematika strednej školy v testoch 2.časť str.94/ K20, K22

56 Domáca úloha 2: Matematika strednej školy v testoch 2.časť str.94/ K22 Matematika 4. ročník ... Zošit 3/ str.32 –Pr.2 Zbierka 4. ročník Zošit 4/ OPAKOVANIE ŠTATISTIKY –písomka matematika/4. ročník – databáza úloh zo štatistiky (ukážky z monitorov – pravdepodobnosť a štatistika)

57 Ďakujem za pozornosť a prajem príjemný deň

58 Spracoval: Mgr. Róbert Janok Michal Bošiak-oktáva v šk. roku 2005/06
Boli použité aj príspevky študentov: Michal Bošiak-oktáva v šk. roku 2005/06 (úlohy K13,K14, K17-spracované v exeli) Lukáš Ďurkovič -4. I v šk. roku 2005/06 ( úlohy K12, K14) Gymnázium Sečovce, Kollárova 17