Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky

Prezentace na téma: "Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky"— Transkript prezentace:

1 Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky
Matematická analýza 1 Matematika = kráľovná vied Analýza = kráľovná matematiky 

2 O vyučujúcej... Mária Slavíčková M 147 slavickova@fmph.uniba.sk
Vždy sa vopred om dohodnite na stretnutí časť členovia

3 O predmete... Prednášky: Cvičenia:
Teória – definície, vety, lemy, dôkazy... Cvičenia: Počítanie úloh na pojmy z prednášky (nevyhnutná znalosť toho, čo sa na prednáške robilo)

4 Študijná literatúra Kubáček-Valášek: Cvičenia z matematickej analýzy 1
Gera-Ďurikovič: Matematická analýza 1 Eliáš-Horváth-Kajan: Zbierka úloh z vyššej matematiky Neubrun-Vencko: Matematická analýza 1 J.Ivan: Matematika 1 Berman: Zbierka úloh z matematickej analýzy

5 Hodnotenie... Cvičenie: Skúška: Min. 2 písomky z prebranej látky
Min.60% z písomiek, aby bolo možné ísť ku skúške Skúška: Písomná a ústna časť Písomná časť – riešenie zadaných úloh, min. 50% aby prechod na ústnu Ústna časť – vysvetlenie pojmu, predvedenie dôkazu...

6 Na začiatok... Čo je to matematická analýza? Na čo sa ju učíme?
Kedy v živote mi ju bude treba?

7 O čom bude dnešná prednáška
Výroky a dôkazy v matematiky Číselné množiny a ich vlastnosti Postupnosti a funkcie

8 Výroky a operácie s nimi
Výrok = veta, o kt. má zmysel hovoriť, či je pravdivá, alebo nepravdivá Negácia výroku = opačná hodnota výroku Skladanie výrokov: Konjunkcia (a) Disjunkcia (alebo) Implikácia (potom) Ekvivalencia (práve vtedy keď)

9 Negácia zložených výrokov
De Morganove pravidlo NDÚ: overiť tabuľkovou metódou

10 Spôsob overenia platnosti výroku
Dôkaz tvrdenia (základné typy dôkazov) Priamy dôkaz Nepriamy dôkaz Dôkaz sporom Dôkaz matematickou indukciou

11 Priamy dôkaz Vychádza vždy zo ZNÁMEHO faktu a postupnými úpravami/úvahami sa dostávame k tomu, čo vlastne dokázať chceme

12 Nepriamy dôkaz Predpokladajme, že máme dokázať tvrdenie v tvare: A, potom B Dokazujeme tzv. OBMENU tvrdenia, teda: nie B, potom nie A Sú tieto tvrdenia ekvivalentné?

13 Dôkaz sporom Opäť máme tvrdenie v tvare A, potom B
(čo v prípade, že v takom tvare nie je?) Dokazujeme NEGÁCIU tvrdenia, teda A a súčasne nie B Čo tým dosiahneme? Kde nastáva spor? Naozaj sme dokázali pôvodné tvrdenie?

14 Matematická indukcia Pre postupnosti čísel Má dva hlavné kroky:
1. Ukážeme platnosť pre najmenší člen skúmanej množiny 2. Predpokladáme, že tvrdenie platí pre prvých „n“ hodnôt (Indukčný Predpoklad) a snažíme sa ukázať, že platí aj pre „n+1“-vú hodnotu

15 Nutná a postačujúca podmienka
Majme výrok B je nutná podmienka pre A A je postačujúca podmienka pre B A B AÞB 1

16 Číselné množiny N = prirodzené čísla Z = celé čísla
Q = racionálne čísla R = reálne čísla R-Q = iracionálne čísla C = komplexné čísla Spočítateľné množiny N Z Q R C

17 Základné množinové operácie
Zjednotenie Prienik Rozdiel Doplnok

18 Ohraničenosť množiny A v R
Dolné ohraničenie množiny: Horné ohraničenie množiny: Ohraničená množina: Je ohraničená zhora aj zdola

19 Supremum a Infiumum množiny
Maximum Najväčší prvok množiny Minimum Najmenší prvok množiny Supremum Najmenšie horné ohraničenie Infimum Najväčšie dolné ohraničenie

20 Je vôbec rozdiel medzi týmito hodnotami?
Keď má množina maximum, má aj supremum? Keď má množina infimum, má aj minimum? NDÚ: určte inf, sup, max, min všetkých číselných množín

21 Základné vlastnosti sčitovania a násobenia v R
Na množine R máme definovanú reláciu rovnosti: R1 R2 R3 reflexívnosť symetrickosť tranzitívnosť

22 Na množine R máme definovanú operáciu sčítania týmito podmienkami:
Z A3 vyplýva: (existencia nulového prvku) (definícia opačného prvku) A1 A2 A3 komutatívnosť asociatívnosť rozdiel 2 čísel

23 Na množine R máme definovanú operáciu násobenia týmito podmienkami:
Z M3 vyplýva: (existencia jednotky) (definícia inverzného prvku) M1 M2 M3 M4 komutatívnosť asociatívnosť podiel distributívnosť

24 Usporiadanie reálnych čísel
Na R je definovaná relácia usporiadania U1 U2 U3 U4 trichotómia tranzitívnosť monotónnosť na + monotónnosť na násobenie

25 Lema 1: Dôkaz: 1. Predpokladajme, že , potom podľa U3 platí:

26 Pokračovanie dôkazu LEMY
NDÚ: dokončiť dôkaz pre bod 3 a 4

27 Absolútna hodnota reálneho čísla
Nech , potom absolútnu hodnotu čísla definujeme ako najväčšie číslo z množiny ozn.

28 Vety o absolútnej hodnote
Veta 1: Dôkaz: Veta 2:

29 Do poslednej nerovnosti dosadíme namiesto X výraz X+Y

30 Veta 3: Dôkaz:

31 Reálna funkcia Nech Zobrazenie , ktoré každému prvku z A priradí PRÁVE JEDEN prvok z B sa nazýva FUKNCIOU Množina A: definičný obor funkcie Množina B: obor hodnôt funkcie

32 Rovnosť funkcií Funkcie sa rovnajú práve vtedy, keď: Príklad:

33 Vlastnosti funkcie Prostá (injektívna) funkcia: Párna funkcia:
Nepárna funkcia:

34 Monotónnosť funkcie Rastúca funkcia: Klesajúca funkcia:
Nerastúca funkcia: Neklesajúca funkcia:

35 Týka sa OBORU HODNÔT danej funkcie
Ohraničenosť funkcie Dolné ohraničenie funkcie: Horné ohraničenie funkcie: Ohraničená funkcia: Je ohraničená zhora aj zdola Týka sa OBORU HODNÔT danej funkcie

36 Graf funkcie Nech je funkcia s definičným oborom Množinu usporiadaných dvojíc nazveme GRAFOM funkcie Príklad:

37 Elementárne funkcie Lineárne Mocninové Exponenciálne Logaritmické
Goniometrické Cyklometrické Hyperbolické

38 Lineárna funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme lineárnou Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme funkciou s ABSOLÚTNOU hodnotou

39 Lineárne lomená funkcia
Funkciu s predpisom nazveme NEPRIAMA ÚMERNOSŤ Funkciu s predpisom nazveme LINEÁRNE LOMENÁ funkcia

40 Lineárne lomená funkcia

41 Mocninové funkcie

42 Kvadratická funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme KVADRATICKOU

43 Exponenciálna funkcia
Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme EXPONENCIÁLNOU

44 Logaritmická funkcia Funkciu s definičným oborom a predpisom nazveme LOGARITMICKOU

45 Goniometrické funkcie

46 Ďalšie goniometrické funkcie
Funkcie definované predpismi nazývame SEKANS, resp. KOSEKANS

47 Goniometrické identity

48 Cyklometrické funkcie
Inverzné funkcie k zúženiam funkcií sínus, kosínus, tangens a kotangens

49 Definícia hyperbolických funkcii
Nech , potom funkcie definované: Hyperbolický sínus Hyperbolický kosínus Hyperbolický tangens Hyperbolický kotangens

50 Hyperbolické funkcie

51 Vzťahy medzi hyperbolickými funkciami
NDÚ: dokážte platnosť všetkých uvedených vzťahov

52 Postupnosť Funkcia definovaná na množine prirodzených čísel, ozn.:
Skúste prepísať spôsobom, akým sme definovali funkciu Spôsob zadania: Rekurentne Všeobecný tvar Iný opis členov

53 Vlastnosti postupností
Monotónnosť Rastúca postupnosť Klesajúca postupnosť Ohraničenosť Zdola ohraničená postupnosť Zhora ohraničená postupnosť Ohraničená postupnosť

54 Špeciálne triedy postupností
Aritmetická postupnosť Diferencia d Dôležité vzťahy Geometrická postupnosť Kvocient q Dôležité vzťahy

55 Ďalšie vlastnosti postupností
Vlastnosti, ktoré možno skúmať nástrojmi matematickej analýzy O týždeň