OPAKOVÁNÍ ZE 7. TŘÍDY.

Prezentace na téma: "OPAKOVÁNÍ ZE 7. TŘÍDY."— Transkript prezentace:

1 OPAKOVÁNÍ ZE 7. TŘÍDY

2 Celá a racionální čísla, početní operace
Obvody a obsahy rovinných útvarů, konstrukce Objemy a povrchy těles Shodnost Přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka Poměr, měřítko mapy Trojčlenka, slovní úlohy

3 Celá čísla Čísla přirozená s nulou + rozšíření o záporná čísla (nalevo od 0) 5 a –5 … čísla navzájem opačná Číselná osa

4 Racionální čísla Lze je zapsat pomocí zlomku

5 DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA

6 Intuitivní zavádění reálných čísel
Obsah čtverce/objem krychle – výpočet strany (odmocniny) Mocniny V kterém učivu se žáci setkávají s tímto učivem? PYTHAGOROVA VĚTA OBVOD ČTVERCE OBJEM KRYCHLE POVRCH KRYCHLE OBSAH KRUHU OBJEM VÁLCE OBJEM KUŽELE OBJEM KOULE Zápis čísel pomocí mocnin 10 – aplikace ve fyzice (mikrosvět x Vesmír)

7 Druhá mocnina Součin dvou sobě rovných činitelů a ∙ a = a2 72 = 7 ∙ 7
a… základ 2… exponent, mocnitel a2… druhá mocnina (čteme á na druhou) 72 = 7 ∙ 7 (–0,1)2 = (–0,1) ∙ (–0,1) (–3)2 = 9 –32 = –9

8 Umocnit číslo na druhou znamená vypočítat jeho druhou mocninu.
Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, tedy buď kladné číslo nebo nula. Druhá mocnina čísla a čísla k němu opačného se sobě rovnají. 22 = (–2)2 Umocnit číslo na druhou znamená vypočítat jeho druhou mocninu.

9 Určování druhé mocniny
kalkulátor tabulky násobení (a + b)2 druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti

10 Umocňování na druhou čísel s „nulami“
Umocňování na druhou čísla „končícího nulami“ Umocňování na druhou desetinného čísla „začínajícího nulami“ Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 6

11 Počítání s mocninami příklady

12 Druhá odmocnina Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je NEZÁPORNÉ číslo b, pro které platí b2 = a. Píšu

13 Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo.
Druhá odmocnina z žádného záporného čísla neexistuje. Záporné číslo tedy nemůžeme odmocnit dvěma.

14 Určování druhé odmocniny
kalkulátor tabulky často jen přibližně (zaokrouhlené) druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti – obrácený postup

15 Odmocňování dvěma čísel s „nulami“
Odmocňování dvěma čísla „končícího nulami“ Odmocňování dvěma desetinného čísla „začínajícího nulami“ Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 15, 16

16 Počítání s odmocninami
příklad

17 Třetí mocnina Třetí mocnina čísla a je součin a ∙ a ∙ a = a3 (čteme á na druhou) 73 = 7 ∙ 7 ∙ 7 (–0,1)3 = (–0,1) ∙ (–0,1) ∙ (–0,1) Třetí mocnina kladného čísla je kladné číslo, nuly je nula, záporného čísla je záporné číslo. Příklady

18 Třetí odmocnina

19 Pravidla pro počítání s mocninami

20 Zápis čísla ve tvaru a ∙ 10n
Opakování – zápis čísla v desítkové soustavě – zkrácený a rozvinutý; viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 47 Mocniny o základu 10 – strana 47 Každé kladné číslo můžeme zapsat ve tvaru a ∙ 10n, kde a je číslo větší nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo. Kolečko z didaktiky matematiky Video mikrosvět/makrosvět

21 PYTHAGOROVA VĚTA

22 Pythagorova věta Opakování – přepona, odvěsna, pravý úhel
Pythagoras, 6. století př. n. l. Je dán pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c. Pak v tomto trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami je roven obsahu čtverce nad přeponou. Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku

23 Jinak řečeno… c2 = a2 + b2 Důkaz Pythagorovy věty
Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí: c2 = a2 + b2 Důkaz Pythagorovy věty

24 Věta obrácená k Pythagorově větě
Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí-li pro ně c2 = a2 + b2, pak je trojúhelník pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

25 Výpočet délek stran v pravoúhlém trojúhelníku

26 Motivace – algebrogramy, křížovky, matematická kouzla
VÝRAZY A MNOHOČLENY Motivace – algebrogramy, křížovky, matematická kouzla

27 Číselné výrazy – výpočet hodnoty výrazu
Ve výrazu bez závorek: Nejprve umocňujeme a odmocňujeme Potom násobíme a dělíme Nakonec sčítáme a odčítáme Ve výrazu se závorkami: Nejprve počítáme hodnoty výrazů v závorkách = odstraňujeme závorky

28 Typy závorek Kulaté (okrouhlé) ( ) Hranaté [ ] Složené { }
Odstraňování závorek: - Nejdříve kulaté, pak hranaté, nakonec složené

29 Výrazy s proměnnou – výpočet hodnoty výrazu
Hodnotu výrazu se dvěma proměnnými a, b vypočítáme dosazením čísel do výrazu.

30 Výraz Je každé číslo, každá proměnná
Jejich součet, rozdíl, součin dvou výrazů Podíl dvou výrazů, za předpokladu, že dělitel je různý od nuly Mocnina, absolutní hodnota výrazu Opačné výrazy – liší se pouze znaménkem před všemi svými členy

31 Jednočlen

32 Mnohočlen

33 Sčítání a odčítání výrazů
Sčítat a odčítat můžeme pouze ty členy, ve kterých jsou proměnné ve stejných mocninách. Sčítání mnohočlenů Odstraníme závorky Najdeme členy, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách Tyto členy sečteme (odečteme)

34 Násobení výrazů Při násobení jednočlenů můžeme koeficienty i proměnné libovolně sdružovat a zaměňovat jejich pořadí. Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenu mnohočlenem

35 Násobení mnohočlenu jednočlenem
Násobení mnohočlenu mnohočlenem

36 Úprava na součin vytýkáním před závorkou

37 Úprava na součin pomocí vzorců
Geometrická interpretace

38 Motivace? Zavedení lineární rovnice?

39 Rovnice s jednou neznámou

40 Řešení rovnice Řešit rovnici znamená určit všechna taková čísla, pro která se hodnota levé strany této rovnice rovná hodnotě její pravé strany. Každé takové číslo se nazývá kořen rovnice nebo řešení rovnice. O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou!

41 Ekvivalentní úpravy Takové, při kterých rovnice původní i rovnice upravená mají stejné kořeny Záměna obou stran rovnice Přičtení nebo odečtení stejného čísla nebo stejného výrazu (mnohočlenu) k oběma stranám rovnice Vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným mnohočlenem, který je pro každou hodnotu proměnné různý od nuly

42 Řešení lineárních rovnic
Zjednodušíme. Odstraníme závorky. Odstraníme zlomky. Všechny členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na jednu stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla) převedeme na druhou stranu rovnice. Vypočítáme neznámou. Provedeme zkoušku!!! Každá lineární rovnice má právě jeden kořen.

43 Užití lineárních rovnic
Slovní úlohy Pozorně přečíst zadání Mezi neznámými údaji zvolit jednu neznámou Pomocí zvolené neznámé vyjádřit všechny údaje z textu Sestavit rovnici a vyřešit ji Provést zkoušku (nestačí dosadit do rovnice, ale do zadání úlohy!) Napsat odpověď Vyjádření neznámé ze vzorce

44 Motivace: dopravní značky, plecháček
KRUH, KRUŽNICE Motivace: dopravní značky, plecháček

45 Kruh, kružnice Je dán bod S a reálné číslo r > 0. Kružnice k je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost r. |SX|= r Kruh K (psacím) je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. |SX|≤ r

46 Kruh – jen oblouk, kružnice – vyplněný oblouk
S = střed kružnice/kruhu r = poloměr kružnice/kruhu – úsečka s krajními body S a libovolným bodem kružnice d = průměr kružnice/kruhu – úsečka, jejímiž krajními body jsou 2 body kružnice a která prochází středem kružnice d = 2 ∙ r

47 Rýsujeme kružnici – vždy prvně vyznačíme střed!
Rýsování Rýsujeme kružnici – vždy prvně vyznačíme střed! Libovolně (aby něco pěkného vzniklo – terče, kytičky, …) Kružnice, která má daný střed – poloměr libovolně (spíš větší) Daný střed a daný poloměr Daný střed a prochází daným bodem

48 Vzájemná poloha kružnice a přímky
Sečna Tečna Vnější přímka

49

50 Tečna ke kružnici v daném bodě kružnice
Tečna ke kružnici rovnoběžná s přímkou

51 Thaletova věta Obrácená věta
Jestliže je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a přeponou AB, pak tento vrchol leží na kružnici s průměrem AB. Obrácená věta Jestliže vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici s průměrem AB, pak trojúhelník ABC je pravoúhlý s přeponou AB.

52 Thaletova kružnice Množina vrcholů všech pravých úhlů, jejíž ramena procházejí body AB, je kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A, B Animace?

53 Užití Thaletovy věty Tečna ke kružnici z bodu ležící vně kružnice
Viz učebnice, 3. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 22 Nejprve vždy sestrojíme bod dotyku!!! Užití Thaletovy kružnice při konstrukci pravoúhlého trojúhelníku

54 Vzájemná poloha dvou kružnic
Spojnice středů dvou kružnic = středná 1 společný bod vnitřní nebo vnější 2 společné body Žádný společný bod Společný střed Nemají společný střed

55 Soustředné kružnice Kružnice, které mají společný střed

56

57

58 Délka kružnice, obvod kruhu

59 Obsah kruhu

60 VÁLEC

61 Válec Motivace

62 Kreslíme válec

63 Síť válce

64 Povrch válce

65 Objem válce

66 KULOVÁ PLOCHA, KOULE

67 Koule, kulová plocha

68 Koule

69 KONSTRUKČNÍ ÚLOHY

70 Geometrické značky

71 Množiny všech bodů dané vlastnosti
Ekvidistanta přímky Kružnice Kruh Osa úsečky Osa úhlů Mezikruží Viz samostatný dokument

72 Konstrukční úlohy – postup
Rozbor – umění dívat se Načrtneme a barevně zvýrazníme zadané prvky Postup konstrukce – umění sestavit plán Zapíšeme postup konstrukce Konstrukce – umění realizovat plán Narýsujeme podle postupu Zkouška Přeměříme, zda odpovídá zadání, určíme počet řešení úlohy

73 Konstrukční úlohy Konstrukce trojúhelníků Konstrukce čtyřúhelníků
Rovnoběžník Lichoběžník Konvexní čtyřúhelníky

74 ZDROJE ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (1), Mocniny a odmocniny, Pythagorova věta, výrazy. Praha: Prometheus, Učebnice pro základní školy. ISBN ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (2), Lineární rovnice, základy statistiky. Praha: Prometheus, Učebnice pro základní školy. ISBN ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (3), Kruh, kružnice, válec, konstrukční úlohy. Praha: Prometheus, Učebnice pro základní školy. ISBN EISLER, Jaroslav. Matematika od pětky do osmičky. Havlíčkův Brod: Fragment, ISBN

75 http://old. zsdobrichovice