Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

Prezentace na téma: "Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika"— Transkript prezentace:

1 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Faktoriál VY_32_INOVACE_M4r0102 Mgr. Jakub Němec

2 Faktoriál Faktoriál čísla je číslo, které je rovno součinu všech kladných celých čísel menších nebo rovných číslu 𝑛, tzn. že pro činitele platí: 𝒏∙ 𝒏−𝟏 ∙ 𝒏−𝟐 ∙…∙𝟐∙𝟏, v případě, že 𝑛=0, je hodnota faktoriálu rovna jedné. Faktoriál značíme 𝒏! a tento zápis čteme jako „n faktoriál“. Faktoriál se v kombinatorice hojně využívá, především díky své vlastnosti, že se čitatelé zmenšují o jedničku, což se výborně hodí k využití kombinatorického pravidla součinu a k jeho aplikacím.

3 Vlastnosti faktoriálu
Každý součin, který tvoří faktoriál, je konečný. Pokud je faktoriál určitého čísla, je možné jej rozepsat na součin všech jeho členů: 0!=1 1!=1 2!=2∙1=2 3!=3∙2!=3∙2∙1=6 4!=4∙3!=4∙3∙2!=4∙3∙2∙1=24 10!=10∙9∙8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1= Faktoriál neznámého čísla lze také rozepsat na součin. Z definice již víme, že platí 𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 ∙…∙2∙1. Podobně jako u faktoriálu určitého čísla je možné faktoriál neznámého čísla částečně rozepsat, což se nám bude hodit při úpravách výrazů s faktoriálem: 𝑛!=𝑛∙ 𝑛−1 !=𝑛∙ 𝑛−1 ∙ 𝑛−2 !=… 𝑎𝑡𝑑 𝑛+2 != 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 != 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ∙𝑛!= = 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ∙𝑛∙ 𝑛−1 !=…𝑎𝑡𝑑

4 𝑎) 7!∙4! 10! 𝑏) 9! 3! ∙ 6! 11! Upravte výrazy. U prvního příkladu je zřejmé, že můžeme vypočítat každý faktoriál zvlášť a poté zlomky zkrátit. Existuje však jednodušší postup: upravit faktoriály, které poté zkrátíme. Druhý příklad je již obtížnější, ale obdobným postupem získáme výsledek. Třetí příklad je již obtížný. Sami si můžete zvolit, zda nejprve upravíte zlomky a poté odečtete, nebo zda nejdřív odečtete (zde je nutná dobrá znalost rozepisování faktoriálu) a poté upravíte výsledek na základní tvar. 𝑐) 6! 10! − 5! 8! 𝑎) 7!∙4! 10! = 7!∙4! 10∙9∙8∙7! = 4! 10∙9∙8 = 4∙3∙2∙1 10∙9∙8 = 𝟏 𝟑𝟎 𝑏) 9! 3! ∙ 6! 11! = 9! 3! ∙ 6∙5∙4∙3! 11∙10∙9! = 1 1 ∙ = 𝟏𝟐 𝟏𝟏 𝑐) 6! 10! − 5! 8! = 6! 10∙9∙8∙7∙6! − 5! 8∙7∙6∙5! = = 1 10∙9∙8∙7 − 1 8∙7∙6 = 6−90 10∙9∙8∙7∙6 =− =− 𝟏 𝟑𝟔𝟎 𝑐) 6! 10! − 5! 8! = 6! 10∙9∙8! − 5! 8! = 6!−90∙5! 10∙9∙8! = 6!−15∙6∙5! 10∙9∙8! = = 6!−15∙6! 10∙9∙8! =− 14∙6! 10∙9∙8∙7∙6! =− 14 10∙9∙8∙7 =− 𝟏 𝟑𝟔𝟎

5 𝐷 𝑓 :𝑛≥−1, 𝑡𝑒𝑑𝑦 𝑛∈ℕ 𝐷 𝑓 :𝑛≥1, 𝑡𝑒𝑑𝑦 𝑛∈ℕ 𝐷 𝑓 :𝑛≥−1 𝑎) 3∙ 𝑛+3 ! 𝑛+1 !
𝑎) 3∙ 𝑛+3 ! 𝑛+1 ! 𝑏) 𝑛! 𝑛+3 ! ∙ 𝑛+1 ! 𝑛−1 ! Upravte výrazy a určete definiční obor. Stejný postup jako u určitého faktoriálu můžeme využít i pro neurčitý faktoriál. U něj si však musíme dát pozor na definiční obor, protože faktoriál záporného čísla neexistuje. 𝑐) 𝑛+2 ! 𝑛+1 ! + 𝑛+1 ! 𝑛+2 ! 𝑎) 3∙ 𝑛+3 ! 𝑛+1 ! = 3∙ 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! 𝑛+1 ! =𝟑 𝒏 𝟐 +𝟏𝟓𝒏+𝟏𝟖 𝐷 𝑓 :𝑛≥−1, 𝑡𝑒𝑑𝑦 𝑛∈ℕ 𝑏) 𝑛! 𝑛+3 ! ∙ 𝑛+1 ! 𝑛−1 ! = 𝑛∙ 𝑛−1 ! 𝑛+3 ∙ 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! ∙ 𝑛+1 ! 𝑛−1 ! = = 𝒏 𝒏 𝟐 +𝟓𝒏+𝟔 𝐷 𝑓 :𝑛≥1, 𝑡𝑒𝑑𝑦 𝑛∈ℕ 𝑐) 𝑛+2 ! 𝑛+1 ! + 𝑛+1 ! 𝑛+2 ! = 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! 𝑛+1 ! + 𝑛+1 ! 𝑛+2 ∙ 𝑛+1 ! = =𝑛+2+ 1 𝑛+2 = 𝑛 𝑛+2 = 𝒏 𝟐 +𝟒𝒏+𝟓 𝒏+𝟐 𝐷 𝑓 :𝑛≥−1

6 Úkol závěrem 1) Upravte výrazy. U výrazu s faktoriálem neznámé určete definiční obor: a) 3!∙7! 5! ∙ 8! 5!∙10! = b) 3! 6! + 5! 7! = c) 5∙ 𝑛−1 ! 𝑛+1 ! − 𝑛−2 ! 𝑛! =

7 Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN