Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Prezentace na téma: "Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze."— Transkript prezentace:

1 Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková.  Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2 TROJÚHELNÍK tři různé body A, B, C – neleží v jedné přímce
trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB množina všech bodů, které leží zároveň v těchto třech polorovinách značení: ABC

3 POJMY vrcholy trojúhelníku: body A, B, C
strany trojúhelníku: úsečky AB, BC, CA vnitřní úhly troj.: ∢ BAC, ∢ ABC a ∢ BCA vnější úhly trojúhelníku: kterýkoli z vedlejších úhlu vnitřního úhlu hranice trojúhelníku: sjednocení všech stran hraniční body: body hranice trojúhelníku vnitřní body: všechny ostatní body vnitřek trojúhelníku: množina vnitřních bodů

4 TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST
základní věta o trojúhelníkové nerovnosti pro body A,B,C, které neleží na přímce (jsou tedy vrcholy trojúhelníku), platí vztah:

5 VZTAHY MEZI STRANAMI A ÚHLY
tyto vztahy vyjadřují 4 věty: V1: Součet libovolných dvou stran je větší než strana třetí. trojúhelníková nerovnost: a + b > c b + c > a c + a > b

6 V2: Proti shodným stranám leží shodné vnitřní úhly.
-> proti větší straně leží větší vnitřní úhel

7 V3: Součet vnitřních úhlů je úhel přímý.
součet velikostí vnitřních úhlů:

8 V4: Pro velikosti vnitřních úhlů a vnějších úhlů platí:

9 DĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ dělení podle stran: různostranné rovnoramenné
rovnostranné žádné dvě strany nejsou shodné právě dvě strany jsou shodné všechny strany jsou shodné

10 dělení podle úhlů: ostroúhlé pravoúhlé tupoúhlé
právě jeden vnitřní úhel je tupý všechny vnitřní úhly jsou ostré právě jeden vnitřní úhel je pravý

11 ÚSEČKY TROJÚHELNÍKU střední příčka trojúhelníku
úsečka, jejíž krajní body leží ve středu dvou stran trojúhelníku každá střední příčka troj. je rovnoběžná s jeho protější stranou délka střední příčky je rovna polovině délky protější strany

12 těžnice trojúhelníku úsečka, jejíž krajní body jsou vrchol troj. a střed jeho protější strany všechny tři těžnice se protínají v jednom bodě > bod T – těžiště trojúhelníku jeho vzdálenost od středu jakékoli strany je rovna 1/3 délky příslušné těžnice

13 výška trojúhelníku úsečka, jejíž krajní body jsou vrchol troj. a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně všechny tři úsečky se protínají v jednom bodě > bod V – průsečík výšek ostroúhlý troj. – bod leží uvnitř pravoúhlý troj. – bod splývá s vrcholem pravého úhlu tupoúhlý troj. – bod leží vně

14 pokud označíme délky stran troj
pokud označíme délky stran troj a délky příslušných výšek , potom platí:

15 SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ
dva trojúhelníky jsou shodné, pokud je lze přemístit tak, že se úplně kryjí mají tedy shodné všechny sobě odpovídající strany i vnitřní úhly stačí ověřit, zda je splněné některé z kritérií vět o shodnosti trojúhelníků

16 věty o shodnosti: sss: trojúhelníky se shodují ve všech třech stranách
sus: trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném ssu: trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich usu: trojúhelníky se shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých

17 na základě těchto vět můžeme dokázat věty o určenosti trojúhelníku
trojúhelník lze tedy sestrojit, jsou-li dány: jeho tři strany, které splňují trojúhelníkovou nerovnost dvě strany a konvexní vnitřní úhel, který strany svírají dvě strany a konvexní úhel proti větší z nich jedna strana a dva konvexní vnitřní úhly, jejichž grafický součet je menší než přímý úhel

18 PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou podobné, pokud existuje takové kladné číslo k, že platí:

19 podobnost představuje zmenšení
k > 1 podobnost představuje zvětšení 0 < k < 1 podobnost představuje zmenšení k = 1 shodnost

20 pokud chceme zjistit, zda jsou trojúhelníky podobné, stačí ověřit, zda je splněno některé z kritérií vět o podobnosti trojúhelníků uu: trojúhelníky se shodují ve dvou úhlech sus: jsou si rovny poměry délek dvou stran a jsou shodné úhly jimi sevřené ssu: jsou si rovny poměry délek dvou stran a jsou shodné úhly proti větším z nich

21 SPECIÁLNÍ VĚTY pro pravoúhlý trojúhelník pro rovnoramenný trojúhelník
pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, pokud se shodují v jednom ostrém úhlu nebo v poměru délek dvou odpovídajících si stran pro rovnoramenný trojúhelník rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, pokud se shodují v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu pro rovnostranný trojúhelník každé rovnostranné trojúhelníky jsou podobné

22 ZDROJ POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha : Prometheus, ISBN s. 608.