Násobíme, dělíme mimo obor násobilek do

Prezentace na téma: "Násobíme, dělíme mimo obor násobilek do"— Transkript prezentace:

1 Násobíme, dělíme mimo obor násobilek do 100. 4
Čtvrťáci a matematika IV 4 MA 1 TE 2 TI 3 KA 5 4 6 40 (6 . 6) + 4 = 40 : 6 = x 4 52 52 : 4 = x 13 = x liché , 1 , 3 , 5 7 sudé , 6 4 , 8 2 + 28 Kč 1 5 10 = 20 + 8 84 Násobíme, dělíme mimo obor násobilek do 100. Čtvrté téma kolekce Čtvrťáci a matematika navazuje na předchozí témata této kolekce a na desáté téma kolekce Třeťáci a matematika. Je zaměřeno na opakování a prohloubení násobení a dělení mimo obor násobilek do 100, dělení se zbytkem a vztah n-krát více, méně. Prohloubením v tomto materiálu je poznávání čísel sudých, lichých a s prvočísel. Dále se zde žáci seznámí s tím, co znamená „tucet, kopa, mandel“, a zopakují si přímou úměrnost. Nakonec při řešení aplikační úlohy poznají, jak určit průměrnou hodnotu. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

2 1. Násobení dělení v oboru do 100 Tabulka násobení
Doplňte tabulku násobení. Násobte čísla v prvním – modrém řádku čísly v prvním – žlutém sloupečku. V tabulce násobení ukazujte jednotlivá čísla – součiny a řekněte nebo zapište všechny příklady násobení a dělení, které tomuto číslu v tabulce odpovídají. 10 9 6 5 4 1 8 3 7 2 : . 72 56 54 63 10 9 6 5 4 1 8 3 7 2 8 . 7 = 56 56 : 7 = 8 7 . 8 = 56 7 56 : 8 = 10 9 6 5 4 8 3 7 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 6 8 10 12 14 16 18 20 9 12 18 15 21 24 27 30 9 . 8 = 72 72 : 8 = 9 12 18 15 21 24 27 30 16 20 24 28 32 36 40 8 . 9 = 72 72 : 9 = 8 20 24 28 32 36 40 25 30 35 40 45 50 30 35 40 45 50 36 42 48 54 60 (1) Doplňování tabulky násobení a sestavování příkladů k daným součinům je formou upevňování násobilkových spojů. Dále je vhodné žáky pobídnout, aby si všimli, kolikrát se dané číslo vyskytuje v tabulce jako součin a která z čísel od 1 do 100 se v tabulce násobků vůbec nevyskytují. 9 . 6 = 54 54 : 6 = 9 42 48 54 60 49 56 63 70 6 . 9 = 54 54 : 9 = 6 56 63 70 64 80 72 80 72 81 90 9 9 . 7 = 63 63 : 7 = 7 7 . 9 = 90 100 63 63 : 9 =

3 Ve stovkové tabulce vyznačte násobky čísla:
Čísla, která nemají na místě jednotek násobek 2, jsou čísla 10 9 6 5 4 8 3 7 2 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 50 41 42 43 44 45 47 46 48 49 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 71 72 73 80 74 75 76 77 78 79 1 Čísla, která mají na místě Každý násobek čísla 8 je i násobkem čísel Násobky čísla 8 jsou čísla 10 9 6 5 4 8 3 7 2 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 50 41 42 43 44 45 47 46 48 49 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 71 72 73 80 74 75 76 77 78 79 1 4, 8 (2) Při opakování násobení a dělení čísla 2 se žáci naučí rozlišovat čísla sudá a lichá. Vyučující je podněcuje k tomu, aby sami uvažovali o tom, jak je to s násobky sudých čísel. 2 a 4. sudá. sudá. lichá.

4 Ve stovkové tabulce vyznačte násobky čísla:
Každý násobek čísla 10 je i násobkem čísla 10 9 6 5 4 8 3 7 2 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 50 41 42 43 44 45 47 46 48 49 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 71 72 73 80 74 75 76 77 78 79 1 5, 10 3, 9 Ve stovkové tabulce vyznačte násobky čísla: Každý násobek čísla 9 je i násobkem čísa Čísla 3 a 9 jsou čísla je-li druhým činitelem číslo sudé, je součin číslo Je-li druhým činitelem číslo liché, Číslo 5 je číslo Je-li druhým činitelem číslo sudé, Číslo 10 je číslo , každý násobek čísla 10 je číslo 5. (2) Vyučující vede žáky k tomu, aby uvažovali o tom, jak je to s násobky čísel lichých, aby si uvědomili, že číslo 9 je násobkem čísla 3 a každý násobek čísla 9 je i násobkem čísla 3. Stejně tak je číslo 10 násobkem čísla 5 a každý jeho násobek je i násobkem čísla 5. 3. sudé lichá, sudé. liché. sudé. sudé. liché. liché.

5 Ve stovkové tabulce vyznačte násobky čísel 6 a 7.
Sudá, lichá, prvočísla 10 9 6 5 4 8 3 7 2 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 50 41 42 43 44 45 47 46 48 49 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 71 72 73 80 74 75 76 77 78 79 1 Ve stovkové tabulce vyznačte násobky čísel 6 a 7. Číslo 6 je , každý násobek čísla 6 je číslo Číslo 7 je , jeho násobek s číslem lichým je číslo s číslem sudým je číslo Společnými násobky čísel 6 a 7 jsou čísla Vyznačte alespoň některá z čísel, která jsou beze zbytku dělitelná jen sebou samým a číslem 1, nejsou násobkem žádného z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Jediné prvočíslo, které není liché, je číslo Taková čísla jsou prvočísla. sudé (2) Vyučující opět podněcuje žáky k tomu, aby uvažovali o tom, jak se liší násobky sudého čísla 6 a lichého čísla 7. Na závěr pak ve stovkové tabulce vyhledávají čísla, která nejsou násobkem žádného z čísel – jsou to prvočísla. sudé. liché liché, sudé. 2. 42 a 84.

6 Násobky přirozených čísel do 100
Ve stovkové tabulce vyznačte barevně násobky. 10 9 6 5 4 8 3 7 2 40 31 32 33 34 35 36 37 38 39 50 41 42 43 44 45 47 46 48 49 30 21 22 23 24 25 26 27 28 29 20 11 12 13 14 15 16 17 18 19 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59 70 61 62 63 64 65 66 67 68 69 90 81 82 83 84 85 86 87 88 89 100 91 92 93 94 95 96 97 98 99 71 72 73 80 74 75 76 77 78 79 1 Čísla, která mají na místě jednotek násobek 2, jsou čísla sudá. Čísla, která nemají na místě jednotek násobek 2, jsou čísla lichá. Vyjmenujte aspoň některá z čísel, která nejsou násobkem žádného z čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Která čísla jsou na místě jednotek násobků dvou? (0, 2, 4, 6, 8) Jak se nazývají tato čísla? (Čísla sudá.) Ostatní čísla, která nemají na místě jednotek násobek dvou, jsou čísla lichá. Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo). Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla. První prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997. V tabulce nejsou vybarvena. Jsou to čísla, která jsou beze zbytku dělitelná jen sebou samým a číslem 1. Taková čísla jsou prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

7 Čísla sudá podtrhněte červeně, čísla lichá modře.
Čísla sudá, lichá 6 8 10 12 14 16 18 20 9 15 21 24 27 30 4 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 80 72 81 90 100 5 1 3 7 2 : . V tabulce násobení vyznačte násobky sudých čísel. Co můžete říci o násobcích sudých čísel v tabulce? Jaké číslo v tabulce je součinem dvou lichých čísel? 1. Jsou to sudá čísla. Je to číslo liché. 2 .13 = = = = = 26 3 .13 = 5 .13 = 7 .13 = 9 .13 = 39 52 65 78 91 104 117 lichá 130 sudá lichá = 2 .17 = 4 .17 = 6 .17 = 8 .17 = 34 3 .17 = 5 .17 = 7 .17 = 9 .17 = 51 68 85 (3) Vyznačte v tabulce násobení násobky sudých čísel, tj. čísel 2, 4, 6, 8, 10. Co můžete říci o násobcích sudých čísel v tabulce? (Jsou to čísla sudá.) Násobili jsme číslem sudým čísla sudá a čísla lichá, součin je číslo sudé. Násobili jsme číslo liché číslem lichým, součin je číslo liché. 2. (4) V tomto cvičení si žáci uvědomují, že je rozhodující číslo na místě jednotek. Je-li sudé, je celé číslo sudé, je-li liché, pak je celé číslo liché. 102 119 136 153 170 Čísla sudá podtrhněte červeně, čísla lichá modře. 2. 9 896, 9 869, 7 532, 4 829, 8 881, 8 888, 3 737, 6 842, 5 634, 4 821.

8 Součet, součin, sudé,liché
Na místo jednotek doplňte číslo tak, aby čtyřciferné číslo bylo: sudé , , , , , , liché 1. Součtem dvou sudých čísel je číslo Součtem dvou lichých čísel je číslo Součtem sudého a lichého čísla je číslo Součinem dvou sudých čísel je číslo Součinem dvou lichých čísel je číslo Součinem sudého a lichého čísla je číslo Doplňte slovo sudé, liché tak, aby věty byly pravdivé. 2. 2 6 4 8 1 3 5 7 9 sudé. sudé. liché. sudé. (5.) Tato cvičení jsou shrnutím při rozlišování čísel sudých a čísel lichých. (6.) liché. sudé. Prvočísla jsou čísla a jedno prvočíslo je Je to číslo 3. lichá sudé 2

9 Vyznačte na číselné ose násobky čísel:
Násobky na číselné ose Vyznačte na číselné ose násobky čísel: 3 6 7 10 90 20 30 40 50 60 70 80 100 5 4 1 8 2 9 2 (7) Žáci vyznačovali násobky čísel ve stovkové tabulce a nyní je vyznačí na číselné ose. Vyučující podněcuje žáky k tomu, aby vyhledávali společné násobky. Na číselné ose snadno objeví, že např. číslo 12 je společným násobkem čísel 2, 3, 4, 6. Zrovna tak číslo 24.

10 Násobení dělení mimo obor násobilek
Zapište znázorněné příklady násobení a dělení. 4 2O 8O Jak budete postupovat při výpočtu? 1. 7 98 14 1O = = 60 : 3 = 80 : 2 = = = 56 : 4 = 69 : 3 = Vypočítejte. 2. = = 80 80 : 4 = = 20 = = 98 98 : 7 = = 14 2 . 10 10 . 8 10 + 4 = = = 80 = = = 98 1. (8) Při násobení a dělení dvouciferných čísel si žáci zopakují postup při výpočtu, kdy jednoho činitele dělence rozkládají na dva činitele tak, aby se jim co nejsnadněji počítalo. 2. (10) 80 : 4 = : 4 = 10 . 2= 20 98 : 7 = 70 : : 7 = = 14 = 90 = 20 = 96 = 14 3 . 10 10 . 6 10 + 2 = 80 = 40 = 51 = 23 10 . 8 10 + 7 60 + 9 4 . 10

11 Znázornění penězi Zapište příklady násobení a dělení znázorněné desetikorunami a korunami. Kč 1 10 5 + 28 + 11 = 88 88 : 8 = 11 10 + 1 80 + 8 + 25 = 100 100 : 4 = 25 + 13 = 91 91 : 7 = 91 (9) V tomto cvičení si žáci zopakují poznatek, že sčítání více sobě rovných sčítanců je možno převést na násobení daného sčítance číslem, které je počtem daných sobě rovných sčítanců. 10 + 3 = 84 84 : 3 = 28 20 + 8

12 Příklady násobení, dělení
72 : 3 = 94 : 2 = 84 : 7 = 56 : 4 = 99 : 9 = 75 : 5 = 42 : 3 = 91 : 7 = 84 : 6 = 100 : 5 = 76 : 4 = 87 : 3 = Vypočítejte a kontrolu výpočtu proveďte na kalkulátoru. 2. 1. = = = = = = = = = = = = 4 1 7 8 9 : + = 6 5 - 2 3 . 99 90 96 98 10 + 1 10 + 5 10 + 5 40 + 9 91 87 90 68 10 + 3 20 + 9 10 + 8 10 + 7 72 65 96 92 30 + 6 10 + 3 30 + 2 20 + 3 24 47 12 14 1. (11) V těchto cvičeních jde o zautomatizování postupu výpočtu při násobení a dělení dvouciferných čísel. 2. (12) 11 15 14 13 90 + 9 14 20 19 29

13 Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je.
Rovnice znázorňování n 3 54 a 6 11 20 r 80 1. Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. = a 3 . n = 54 r . 16 = 32 66 = a n = 54 : 3 r = 32 : 16 n = 18 r = 2 84 : v = 7 4 . x = 52 = z 2. Rovnice znázorněte a vyřešte. v 7 x 4 3 15 (13) V těchto cvičeních si žáci pomocí jednoduchých schémat zopakují a upevní postup při řešení rovnic. (14) z 84 52 84 : 7 = v 52 : 4 = x = z 12 = v 13 = x 45 = z

14 Rovnice, aplikační úl- n : 5 = 12 54 : v = 6 5 . s = 55 2 . x = 28 r . 4 = 76 63 : a = 3 e . 5 = 100 70 : m = 5 Vyřešte rovnice. 1. s = 55 : 5 n = 54 : 6= v x = 28 : 2 s = 11 n = 60 x = 14 9 = v r = 76 : 4 63 : 3 = a 100 : 5 = e 70 : 5 = m r = 19 21 = a 20 = e 14 = m žáci tašky Ve třídě zůstalo tašek. Do 1. A chodí 28 žáků. Každý z nich přišel dnes do školy se školní taškou. Při odchodu na hřiště je nechali ve třídě. Kolik tašek zůstalo ve třídě? 2. (15) (16.) Aplikační úloha je v podstatě chytákem. Je samozřejmé, že žáci automaticky doplní správně odpověď, aniž by prováděli výpočet. 1 28 1 28 t = t t t = 28 28

15 Rovnice, apl. úloha Vyřešte rovnice, kontrolu výpočtu proveďte na kalkulátoru. 4 1 7 8 9 : + = 6 5 - 2 3 . 1. 3 . n = 57 5 . s = 85 7 . v = 91 4 . r = 92 e : 29 = 3 z : 34 = 2 a : 19 = 5 m : 14 = 6 e = z = a = m = e = 87 z = 68 a = 95 m = 84 n = 57 : 3 s = 85 : 5 v = 91 : 7 r = 92 : 4 n = 19 s = 17 v = 13 r = 23 Závodu osmiveslic se zúčastnilo sportovců. Závodu osmiveslic se zúčastnilo 11 lodí. Každá osmiveslice má 8 veslařů a jednoho kormidelníka. Kolik sportovců se zúčastnilo závodu? osmiveslice sportovci 2. 1 11 (17) (18) Osmiveslice potřebují kormidelníka, protože veslaři sedí zády po směru jízdy. 9 s 11 9 s s = s = 99 99

16 Vypočítejte, postupujte co nejvýhodněji.
Rovnice n = 72 s = 80 r = 99 v = 96 Vyřešte rovnice, kontrolu výpočtu proveďte na kalkulátoru. 2. Vypočítejte, postupujte co nejvýhodněji. (Činitele můžeme libovolně zaměňovat.) = = = = = = = = = 1. 3 . n = 61 5 . z = 96 10 . a = 82 7 . c = 100 3. = 96 = 90 = 90 = 98 9 . 8 = 72 9 . 9 = 81 = 80 = 84 6 . n = 72 10 . s = 80 9 . r = 99 8 . v = 96 n = 72 : 6 s = 80 : 10 r = 99 : 9 v = 96 : 8 n = 12 s = 8 r = 11 v = 12 (19.) 2., 3. (20.) 10 . a = 5 . z = 3 . n = 7 . c = 10 . a = 10 5 . z = 70 3 . n = 45 7 . c = 56 a = 10 : 10 z = 70 : 5 n = 45 : 3 c = 56 : 7 a = 1 z = 14 n = 15 c = 8

17 Koupím si jich dva tucty.
Tucet, kopa, mandel Kopa je tuctů. Podle obrázku utvořte úlohu. Doplňte stručný záznam a úlohu vyřešte. vajíčka byla ve spíži prodáno zbyla Kdysi se počítalo na tucty, kopy a mandele. Paní Pokorná prodala vajíček a ve spíži jí zbylo vajíček. Kopa jsou mandele. mandel m kopa k tucet t Mám jich ve spíži kopu. Slepice dobře nesly. Koupím si jich dva tucty. kopa k prodejte mi nějaké vajíčka. Prosím, 2 tucty p z z p k z = k - p z = k = 60 p = z = 36 p = 24 (21) Tady by si žáci měli uvědomit, že existují údaje např. časové, které nevyužívají desítkovou soustavu. Hodina má 60 minut (ne 100), čas je udáván v šedesátkové soustavě, kopa je 60. (Tucet – 12, rok – 12 měsíců, den 12 a 12 hodin, veletucet – tucet tuctů 144. Po půltuctech či jiných násobcích 12 se dodnes balí a prodávají například vejce, lahvové nápoje, stolní nádobí a příbory.) (1 tucet – 12 ks, 1 mandel – 15 ks,1 kopa – 60 ks – 12 tuctů, 1 veletucet – 144 ks, 1 velekopa – 3600 ks, 1 kopa – 5 tuctů, 1 kopa – 4 mandele) 24 36 60 n . 12 = 60 m . 15 = 60 12 n = 60 : 12 m = 60 : 15 15 n = 5 m = 4 5 4

18 6 9 7 8 10 12 3 1 2 4 5 11 Rok Květen Duben Březen Leden Prosinec Únor
12 měsíců, 60 minut Tucet (tj. 12) a kopa (tj. 60) jsou čísla, která kdysi měla velký význam. Každý z nás se s nimi dosud denně setkává. Přijdete na to, kde se tato čísla stále vyskytují? 6 9 7 8 10 12 3 1 2 4 5 11 Rok Květen Duben Březen Leden Prosinec Únor Listopad Říjen Září Srpen Červenec Červen Půl tuctu je Půl kopy je Vajíčka se balí do krabiček po půl tuctech, tj. po a do velkých plat po půl kopách, tj. po V prodejně měli na pultě 16 půltuctových krabiček vajec. Kolik tam měli vajec? krabičky vajíčka V prodejně měli na pultě v půltuctových krabičkách vajec. 12 6 9 3 1 2 4 5 7 8 10 11 Rok má měsíců, den má hodin, noc má hodin. Hodina má minut. 12 12 12 60 6 30 6 (22.) Po půltuctech či jiných násobcích 12 se dodnes balí a prodávají například vejce, lahvové nápoje, stolní nádobí a příbory. 30 16 v = 6 1 v = 96 v 96

19 Aplikační úlohy Do 2. B chodí 20 žáků. Paní učitelka koupila každému žákovi sešit za 3 Kč. Kolik korun stály sešity? 1. 3 Kč 20 žáci sešity koruny 20 = k 1 3 20 3 60 = k k k 60 Sešity pro 20 žáků stály Kč. Jedna pastelka stála Kč. pastelky koruny Podle obrázku utvořte úlohu. Doplňte stručný záznam. Úlohu znázorněte a vyřešte. 2. 13 Zlomil jsi mi červenou pastelku. Musíš mi koupit novou. Radši ti ji zaplatím a kup si ji sám. Kolik ti mám dát? Celá krabička stála 39 Kč. 1 n 13 39 (23) Žáci doplní stručný záznam, úlohu znázorní a vyřeší. (24) Žáci utvoří podle obrázku úlohu. (Kája zlomil svému spolužákovi pastelku a měl by mu koupit novou. Chce mu ji raději zaplatit. Jeho spolužák mu ukáže, že v krabičce, která stála 39 korun, měl 13 pastelek. Kolik korun musí dát Kája svému spolužákovi?) 13 n . 13 = 39 n n = 39 : 13 n = 3 39 3

20 Aplikační úloha Ve studentské koleji je v 6 podlažích po 12 pokojích a ve 3 podlažích po 7 pokojích. Kolik pokojů je na této koleji? podlaží pokoje Na koleji je celkem pokojů. r n 1 12 6 n 1 7 3 r p p 6 12 3 7 r n n + r = p = n 3 . 7 = r (25) Vysoké školy, to jsou školy, na nichž se studuje po maturitě. Jsou jen ve větších městech, a proto tam musí být ubytovny pro studenty. Jsou tam nejen pokoje, ale také studovny i prádelny a někde i tělocvičny, proto není ve všech poschodích stejně pokojů. Při řešení se tato složená úloha v podstatě rozloží na tři jednoduché úlohy, které se řeší postupně soustavou rovnic, nebo je možno postupovat tak, že se úloha zapíše jedinou rovnicí. Je vhodné ponechat žákům volnost v tom, jak budou postupovat. Po vyřešení úlohy pak je vhodné různé postupy porovnat. = p 72 = n 21 = r 93 = p p = nebo p = p = 93 93

21 Apl. úloha Jirka má 77 korun, jeho mladší sestra Eva má 11 korun. Co zjistíme, jestliže vypočítáme: 77 : 11, , ? Kč 10 1 5 Eva Jirka 77 11 77 : 11 = n = r = s 11 77 s 11 11 11 n 77 r 11 dohromady (celkem) - s (26) Žáci doplní otázky: Kolikrát více peněz má Jirka než Eva? Kolikrát méně má Eva než Jirka? O kolik korun má Jirka více než Eva? O kolik korun má Eva méně než Jirka? Kolik peněz mají oba sourozenci dohromady? 77 s = 88 o r - více o r - méně n-krát více n-krát méně n = 7 r = 66 J. má než E. E. má než J. 7krát více 7krát méně J. má než E. E. má než J. o 66 více o 66 méně J. a E. mají dohromady 88 korun.

22 Aplikační úloha V sadech mají připraveno k prodeji kilogramů jablek. V sadech sklízejí jablka a ukládají je do bedniček po 15 kilogramech. Mají připravena k prodeji červená, žlutá a červenožlutá jablka. Kolik kilogramů jablek mají připraveno k prodeji? jablka červená žlutá žlutočervená všechna jablka bedničky kg 15 1 4 2 3 9 c z v n 15 c = z = v = 4 c 9 n c = 60 z = 30 v = 45 (27) Podle obrázku a stručného záznamu utvořte úlohu o sklizni jablek v sadech. Úlohu znázorněte a vyřešte. n = ( ). 15 nebo 2 z n = c + z + v 3 v n = n = n = 135 n = 135 135

23 Apl- úloha Mirek šel ze školy pěšky domů minut, to je hodina a minut. Mirek jezdí do školy školním autobusem. Na cestě do školy a zpět stráví v autobuse celkem 22 minut. Včera zmeškal zpáteční autobus a musel jít domů pěšky. Šel zkratkou a strávil na cestě do školy a zpět celkem 87 minut. Jak dlouho mu trvala cesta ze školy pěšky? Školní autobus tam, zpět autobus autobus-pěšky pěšky 22 87 a p 10 90 20 30 40 50 60 70 80 100 (28) Vyučující přivede žáky k závěru, že musí nejdříve vypočítat, jak dlouho trvala jedna cesta autobusem. Předpokládáme, že cesta autobusem od zastávky ke škole trvala stejně dlouho jako cesta od školy do zastávky. a + p = 87 a = 22 : 2 = 16 11 + p = 87 a = 11 p = p = 76 76 1 16

24 Rovnice s více neznámými
Za písmena dosaďte čísla tak, aby rovnosti platily. 85 : 5 - ( : 7) = r = ( ) - s = 3 . v - 21 = z : = = = = : 0 = = = = 0 r = 54 s = 73 v = 7 z = 33 ( ) : 2 = a = 28 : 2 + b = c = d 40 : 2 = = = = 20 = = = = 20 a = 25 b = 6 c = 10 d = 0 (72 : 9 + 4) = e = 65 : 5 + h = 37 + j - 37 = k : = = = = (29) Tyto úlohy jsou velice náročné a je vhodné je žákům zadat jen k dobrovolnému řešení. Obdobné úlohy se vyskytují v různých testech a přijímacích zkouškách, proto je vhodné, aby se žáci s nimi setkali. 100 = = = = 100 e = 8 h = 87 j = 100 k = 50 ( ) = l = 25 . m : 10 = 55 : 5 - n = o = = 50 : 10 = = 5 = = = = 5 l = 43 m = 2 n = 6 o = 40

25 V těchto tabulkách se čísla y vypočítají násobením čísla x .
Graf přímé úměrnosti x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 11 21 22 51 y 58 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 55 54 56 57 60 59 62 61 y = y = 7 . 7 y = y =6 . 9 y = 6. 8 y =7 . 8 y = y = 4 . 5 y = y =12 . 5 x 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 3 2 4 5 16 17 y = x . 3 18 15 45 15 21 24 27 30 33 39 36 42 18 12 48 51 54 3 6 9 22 7 20 18 17 15 11 19 13 y = x . 1 x 10 1 9 3 8 7 6 4 5 x y = x . 6 y = x . 9 y = x . 7 y = x . 8 22 11 13 15 18 17 20 19 7 60 54 48 42 24 30 18 36 6 19 13 25 9 y = x . 2 x 18 17 15 11 22 26 30 50 18 34 36 38 22 44 63 56 49 70 42 35 28 21 7 y = 12 15 14 13 10 11 8 1 x y = x . 4 9 10 1 9 3 8 7 6 4 5 y = 48 52 56 32 44 40 4 36 60 8 32 24 48 40 56 64 72 80 12 10 11 8 1 9 7 5 x y = x . 5 4 5 35 45 50 55 60 20 25 40 9 27 36 45 54 63 72 81 90 y = V těchto tabulkách se čísla y vypočítají násobením čísla x Kolikrát se zvětší (zmenší) x, stále stejným číslem tolikrát se zvětší (zmenší) čslo y. y = (30.) V této úloze se opakuje přímá úměrnost, s níž se žáci seznámili ve 3. ročníku v tématu VI. Rovina, polorovina (žáci se seznamovali se souřadnicemi bodu v rovině) a v tématu VII. Dělení se zbytkem. Takováto závislost mezi dvěma čísly se nazývá přímá úměrnost. Čísly x, y v tabulce přímé úměrnosti jsou určeny body ve čtvercové síti se souřadnicemi. Jsou to body grafu přímé úměrnosti. Body grafu přímé úměrnosti leží která prochází bodem v přímce, 0, 0

26 Doplňte tabulky a nakreslete grafy těmito tabulkami určené. Tabulky
Je, není přímá úměrnost 51 2 y 58 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 13 14 15 16 17 18 19 20 22 21 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 52 53 55 54 56 57 60 59 62 61 x Doplňte tabulky a nakreslete grafy těmito tabulkami určené. Tabulky a grafy přímé úměrnosti vyznačte červeně. 12 20 25 y = x . 2 x 18 17 15 11 22 9 22 18 24 30 34 36 40 44 50 26 y = x : 2 x 18 16 14 10 22 20 12 8 10 11 13 4 5 6 9 8 7 25 y = x + 2 x 18 17 15 11 22 9 12 20 20 22 24 27 19 17 14 13 11 2 (31.) Tady žáci poznávají grafy přímé úměrnosti a grafy, které grafy přímé úměrnosti nejsou. y = x - 2 25 x 18 17 15 11 22 12 20 2 9 10 13 15 16 18 20 23 9 7 y = 96 : x 32 x 12 24 16 3 1 2 4 6 8 96 48 32 24 16 12 8 6 4 3

27 Podle obrázku a stručného záznamu utvořte úlohu
Apl. úloha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 x 11 16 17 18 19 20 y 22 21 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Týna Petr Lída Eva Ota pohlednice Kč sms Podle obrázku a stručného záznamu utvořte úlohu o tom, jak děti posílaly z tábora pozdravy. 1 2 3 7 5 6 8 4 13 Petr zaplatil celkem za pozdravy z tábora Kč, Eva Kč, Lída Kč, Týna Kč, Ota Kč. celkem Kč Týna Petr Lída Eva Ota Já jsem poslala 3 pohlednice a 4 SMS. Já jsem poslal jen SMS. Poslal jsem jich 8. Já jsem poslala 7 pohlednic. Já jsem poslala 1 pohlednici a 6 SMS. Já jsem poslal 5 pohlednic. 39 91 13 65 8 24 12 24 41 91 31 65 3 4 (32) Petr, Eva, Lída, Týna a Ota jsou spolužáci a byli na letním táboře a posílali z tábora pozdravy domů a svým kamarádům. Posílali pohlednice, které stojí i se známkou 13 Kč a mobilem SMS, ty jsou levnější, stojí 3 Kč. Petr posílal jen SMS, poslal jich 8. Eva poslala 3 pohlednice a 4 SMS. Lída poslala jen pohlednice. Poslala jich 7. Týna poslala 1 pohlednici a 6 SMS. Ota poslal jen pohlednice. Poslal jich 5. Kolik každé z dětí zaplatilo za pozdravy? 7 1 6 18 5 39 65 91 26 12 6 18 24 3 24 41 91 31 65

28 Několikrát větší, menší
< 35 7 Kolikrát je 35 větší než 7? O kolik je 35 větší než 7 ? 1. 35 : 7 = 5 5krát 7 1 7 35 28 7 5 35 = 28 o 28 < 80 8 10 90 20 30 40 50 60 70 100 Kolikrát je 80 větší než 8? O kolik je 80 větší než 8? 2. 80 8 8 10 (33.) V těchto úlohách žáci poznávají různé možnosti grafického znázornění vztahu několikrát větší, menší schématy, a to ve čtvercové síti, diagramy, na číselné ose. (34.) 8 80 72 o 72 10krát 80 : 8 = 10 = 72 < 80 8

29 Tabulky, aplikační úloha
2 10 11 12 20 25 100 1 000 v 7krát větší o 7 větší 5 9 kolo auto km min. Vypočítejte a doplňte tabulky. 1. v . 7 7krát větší 14 35 63 70 77 84 140 175 700 7 000 9 12 16 17 18 19 27 32 107 1 007 v + 7 o 7 větší 12 42 99 300 3 000 m 3krát menší o 3 menší 9 30 33 45 60 3krát menší m : 3 3 10 11 4 14 15 1 000 100 33 20 6 9 27 30 39 42 2 997 97 96 57 o 3 menší m - 3 Jirka jede na kole rychlostí 2 km za 6 min. Předjel ho autem jeho soused pan Kratochvíl, jel 3krát rychleji. Jakou rychlostí jel pan Kratochvíl? 2. 1.(35, 36.) Při doplňování tabulek žáci nejdříve určí, jak budou při výpočtu postupovat. 2. (37.) 2 6 3krát rychleji 6 3 . 2 = a a 6 = a 2 km a Auto jelo rychlostí km za 6 min., to je km za hodinu. 6 60

30 Aplikační úloha 1. Klára Lída Eva : 8 + 97 + 42 . 2 15 Kdo si ušetřil více – Eva, nebo Lída? 2. Vypočítejte a doplňte řetěz. 9 . 6 - 8 : 2 . 10 170 si ušetřila více než > Ušetřila jsem si 10krát víc než Eva a 5krát víc než Lída. Lída Eva K L E 100 Klára Lída Eva 5krát více 10krát více n v 100 = 5 . n 100 = 10 . v 100 : 5 = n 100 : 10 = v 20 = n 10 = n Jestliže si Klára ušetřila 100 Kč, pak si Lída ušetřila Kč a Eva Kč. 20 10 (38.) Tuto úlohu lze řešit pouze logickou úvahou a zápisem nerovností. Řešení úlohy, v níž žáci dosadí, že Klára měla 100 Kč, je v podstatě kontrolou řešení. (39) 54 46 23 230 8 42 34 17 30 72 9 106

31 Aplikační úloha 10 20 30 40 50 60 Panu Pospíšilovi je 60 let, jeho syn Petr je o 30 let mladší a jeho vnuk Ivan je 30krát mladší. Kolik let je Petrovi a kolik Ivanovi? Petrovi, synovi pana Pospíšila je let, jeho vnukovi Ivanovi jsou roky. Pan Pospíšil Petr Ivan 60 30krát méně o 30 méně p i 60 30 p i (40) Při řešení aplikační úlohy žáci porovnávají vztahy o n méně a n-krát méně. i = 60 : 30 p = p = 30 i = 2 30 2

32 2. Dělení se zbytkem. Neblíže menší násobek
1. Na číselné ose vyznačte násobky 7 (5). Určete nejblíže menší násobek čísla 7 (5) k červeně vyznačeným číslům. Doplňte tabulku. 2 13 Nejblíže menší násobek čísla 7 k číslu n n Rozdíl čísla n a nejblíže menšího násobku čísla 7 r n - r 25 29 45 48 54 58 68 74 10 90 20 30 40 50 60 70 80 100 6 5 4 1 8 3 7 2 9 2 13 25 29 45 48 54 58 68 74 7 21 28 42 48 56 63 70 6 4 1 3 5 2 10 90 20 30 40 50 60 70 80 100 6 5 4 1 8 3 7 2 9 7 11 22 38 43 67 54 79 86 93 Nejblíže menší násobek čísla 5 k číslu n n Rozdíl čísla n a nejblíže menšího násobku čísla 5 r n - r (41) Toto cvičení je přípravou na opakování dělení se zbytkem. Na číselné ose vyznačte násobky 7. Určete nejblíže menší násobek čísla 7 k číslům 2, 13, 25, 29, 45, 48, 54, 58, 68, 74. Na číselné ose vyznačte násobky 5. Určete nejblíže menší násobek čísla 5 k číslům 7, 11, 22, 38, 43, 54, 67, 79, 86, 93. 7 11 22 38 43 67 54 79 86 93 5 20 35 40 50 65 75 85 90 10 2 1 3 4 Rozdíl čísla a nejblíže menšího násobku daného čísla je vždy menší než dané číslo.

33 Dělenec, dělitel, neúplný podíl, zbytek
10 20 30 40 50 6 5 4 1 8 3 7 2 9 34 : 6 Rozdíl čísla 34 a nejblíže menšího násobku čísla 6 4 6 34 Nejblíže menší násobek čísla 6 k číslu 34 5 4 6 = 34 (42.) Na číselné ose vyznačte nejblíže menší násobek čísla 6 k číslu 34. Znázorněte příklad 34 : 6 na číselné ose a pak i ve čtvercové síti. 34 : 6 = 5 dělenec dělitel neúplný podíl 34 4 zbytek 34 děleno 6 se rovná 5, zbytek 4.

34 Zapište příklady dělení a násobení znázorněné ve čtvercové síti.
Dělení se zbytkem = = = = = 44 : 8 = zb. 68 : 9 = zb. 3 : 6 = zb. 55 : 7 = zb. 26 : 8 = zb. = = = = = 29 : 9 = zb. 61 : 7 = zb. 48 : 5 = zb. 30 : 4 = zb. 71 : 8 = zb. Vypočítejte. 2. Zapište příklady dělení a násobení znázorněné ve čtvercové síti. 1. 6 4 7 1 8 6 40 6 57 8 78 9 40 : 6 = 6 57 : 8 = 7 57 : 7 = 8 78 : 9 = 8 78 : 8 = 9 4 1 1 6 6 (6 . 6) + 4 = 40 (8 . 7) + 1 = 57 (9 . 8) + 6 = 78 1.(43) Ve čtvercové síti jsou znázorněny příklady dělení se zbytkem. Zapište znázorněné příklady dělení se zbytkem i příslušné příklady násobení se sčítáním, které jsou kontrolou správnosti výpočtů příkladů dělení se zbytkem. 2. (44) 44 5 4 29 3 2 68 5 7 61 8 5 3 48 9 3 55 7 6 30 7 2 26 3 2 71 8 7

35 Znázorňování dělení se zbytkem
1. Znázorněte ve čtvercové síti a vypočítejte. 47 : 5 = 65 : 8 = 20 : 7 = 2. Vypočítejte a proveďte kontrolu výpočtu. 74 : 7 = zb. 25 : 6 = zb. 51 : 8 = zb. 13 : 9 = zb. 33 : 6 = zb. 44 : 5 = zb. 86 : 9 = zb. 58 : 7 = zb. 23 : 2 = zb. 30 : 4 = zb. Znázorňování dělení se zbytkem 9 2 8 1 2 6 5 8 7 47 ; 20 65 47 : 5 = 9 65 : 8 = 8 20 : 7 = 2 2 1 6 (5 . 9) + 2 = 47 (8 . 8) + 1 = 84 (7 . 2) + 6 = 20 (45) 2. (46) 10 4 = 74 4 8 = 44 4 1 = 25 9 5 = 86 6 3 = 51 8 2 = 58 1 4 = 13 11 1 = 23 3 5 = 33 7 2 = 30

36 Vyřešte dvojice rovnic.
Apl. úloha Řešte rovnice. 1. n = 53 s = 89 v = 67 r = 80 48 + n = 53 81 + s = 89 60 + v = 67 77 + r = 80 n = s = v = r = n = 5 s = 8 v = 7 r = 3 Vyřešte dvojice rovnic. 2. 2 . r = v 3 . r = 60 11 . a = 55 8 . a = e = v r = 60 : 3 8 . 5 = e a = 55 : 11 40 = v r = 20 40 = e a = 5 (47) (48) 13 . x = 39 5 . x = y 11 . s = z 9 . s = 72 5 . 3 = y x = 39 : 13 = z s = 72 : 9 15 = y x = 3 88 = z s = 8

37 Aplikační úloha Rozdělíme se o ně stejným dílem. Veverka dostala oříšků. Každé z dětí si vzalo oříšků. Podle obrázku utvořte úlohu. Doplňte stručný záznam. Úlohu znázorněte a vyřešte. děti oříšky zbylo Co zbyde, dáme veverce. Máme 71 oříšků. 6 71 1 n z n 71 z 6 6 . n + z = 71 71 : 6 = 11 (49) Žáci utvoří podle obrázku úlohu. (Děti nasbíraly 71 oříšků. Rozhodly se, že se o ně rozdělí stejným dílem a zbytek nechají veverce, která seděla na větvi nad nimi. Kolik oříšků si vzalo každé z dětí? Kolik oříšků nechaly veverce?) 6 . n = 71 - z 5 n = 11 z = 5 = 66 = 66 5 11

38 s co největším počtu žáků. Kolik žáků bylo v jednotlivých družstvech?
Apl. úloha Na hřiště přišlo 29 dětí ze 4. A a 27 dětí ze 4. B. Rozdělily se do 10 družstev s co největším počtu žáků. Kolik žáků bylo v jednotlivých družstvech? Ve družstvech bylo po žácích a v družstvech bylo po žácích. 4.A děti 4.B děti všechny 29 27 v družstva děti v n nebo n + 1 10 n + 1 v 29 27 n v (50) Složenou úlohu žáci rozkládají na dvě úlohy. Vycházejí od otázky. Zbytek rozdělí po jednom do družstev. v : 10 = n = v 56 : 10 = n 56 = v n = 5 zb. 6 4 5 6 6

39 Apl. úloha Petr Jirka Honza Tři kamarádi Jirka, Honza a Petr byli na houbách. Sbírali je a dávali je do jednoho košíčku. Předem se domluvili, že se o ně podělí stejným dílem bez ohledu na to, kolik kdo nasbírá hub. dohromady našel odnesl si To já jsem jich našel 3krát víc. Našel jsem jen 7 hříbků. 7 o 3 více 3krát více n h p Já o 3 víc. v p 7 h v 3 n v 7 + h + p = v 3 . n = v 3 7 h (51) Podle obrázku utvořte úlohu o tom, jak si Jirka, Honza a Petr rozdělili houby, které nasbírali. (Jirka, Honza a Petr byli na houbách. Jirka našel 7 hříbků, Honza jich našel 3krát více než Jirka a Petr jich našel o 3 více než Jirka. O nasbírané houby se rozdělili stejným dílem. Kolik hub si vzal každý z nich?) Žáci pak uvažují o tom, co asi chlapci udělali s těmi hříbky, které zbyly. (Asi si je oba vzal Honza nebo si jeden vzal Honza a jeden Petr, protože oba jich našli více než Jirka.) 7 p 3 = v 3 . n = 38 38 = v n = 38 : 3 n = 12 zb.2 Honza našel hříbků, Petr jich našel Kluci našli celkem hříbků. 21 10 3 . 7 = h 7 + 3 = p 38 21 = h 10 = p Rozdělili se o ně stejným dílem. Každý si odnesl alespoň hříbků. 12

40 Eva, Lída a Jana si počítaly známky v sešitě z matematiky.
Průměrná známka Moje průměrná známka je dvojka. Lída Eva Jana Eva, Lída a Jana si počítaly známky v sešitě z matematiky. Vypočítejte jejich průměrnou známku. jedničky průměrná zn. Eva: 1,3,1,1,3,1,1,1, 4,1,1,1. Lída: 1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2. Jana: 2,1,3,1,1,3,2,3,1,3,2,2. Nejlepší průměrnou známku má má horší průměrnou známku než , protože Janina průměrná známka je Mám z nás tří nejvíc jedniček. 9 e 7 l 4 j Já mám ale nejlepší průměr. e = 19 : 12 l = 17 : 12 j = 24 : 12 e = 1 zb. 7 l = 1 zb. 5 j = 2 V této úloze se žáci seznámí s postupem při výpočtu průměrné hodnoty. V běžném životě se setkáváme s průměrnou rychlostí auta, průměrnou mzdou, průměrným věkem, průměrnou spotřebou elektřiny apod. Lída. Eva Lída. má větší zbytek. čistá dvojka.

41 čokoládka Čokoládová tyčinka stojí 6 Kč. V krabičce jich je 8.
Apl. úloha Čokoládová tyčinka stojí 6 Kč. V krabičce jich je 8. Paní Králová koupila 2 krabičky a tyčinky rozdělila mezi 3 vnoučata. Kolik zaplatila za tyčinky? Kolik tyčinek dostalo každé vnouče? čokoládka 6 Kč k Kč Paní Králová zaplatila za čokoládové tyčinky Kč. krabičky tyčinky koruny t 8 6 6 1 k 1 8 n 2 t n k 6 . t 2 . k n = 2 . k k = 6 . 8 k = 48 n = 6 . t nebo t = 2 . 8 n = n = t = 16 (52) Vyučující žáky vede k tomu, aby si uvědomili, že jsou zde zadány dvěma otázkami dvě samostatné jednoduché úlohy. Po vyřešení druhé úlohy mohou žáci uvažovat o tom, co paní Králová udělala s čokoládovou tyčinkou, která zbyla. n =96 n = 96 96 1 16 5 3 vnoučata tyčinky Každé vnouče dostalo čokoládových tyčinek. 3 16 v 1 v = 16 : 3 v = 5 zb.1 5