Trigonometrie (1) (19).

Prezentace na téma: "Trigonometrie (1) (19)."— Transkript prezentace:

1 Trigonometrie (1) (19)

2 Projekt: CZ.1.07/1.5.00/ OAJL - inovace výuky Příjemce: Obchodní akademie, odborná škola a praktická škola pro tělesně postižené, Janské Lázně, Obchodní 282 Tento projekt je financován Evropskou unií – Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR. Autor: Richard Fiedler Předmět: Matematika

3 Obsah 1 Definice trigonometrie 2 Využití trigonometrie 3
Sinová věta a kosinová věta 4 Sinová věta (1) 5 Sinová věta (2) 6 Kosinová věta (1) 7 Kosinová věta (2) 8 Další trigonometrické věty (1) 9 Další trigonometrické věty (2) 10 Další trigonometrické věty (3)

4 Definice trigonometrie
1 Trigonometrie z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein = měřit je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

5 Využití trigonometrie
2 Trigonometrie má základní význam při triangulaci, která se používá v astronomii k měření vzdáleností mezi dvěma hvězdami, v geodézii k měření vzdálenosti dvou bodů a v satelitních navigačních systémech při určování polohy.

6 Sinová věta a kosinová věta
3 Základní dva nástroje trigonometrie jsou 1) sinová věta a 2) kosinová věta. Pomocí nich lze vyřešit jakýkoliv obecný trojúhelník.

7 Sinová věta (1) 4 𝐚 𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐛 𝐬𝐢𝐧 𝛃 = 𝐜 𝐬𝐢𝐧 𝛄

8 Sinová věta (2) Předchozí rovnost lze přepsat do tvaru:
5 Předchozí rovnost lze přepsat do tvaru: 𝐚 𝐛 = 𝐬𝐢𝐧 𝛂 𝐬𝐢𝐧 𝛃 𝐛 𝐜 = 𝐬𝐢𝐧 𝛃 𝐬𝐢𝐧 𝛄 𝐜 𝐚 = 𝐬𝐢𝐧 𝛄 𝐬𝐢𝐧 𝛂

9 Kosinová věta (1) 6 Stejně jako věta sinová také věta kosinová platí v obecném trojúhelníku a je vyjádřena těmito rovnostmi: 𝐚𝟐=𝐛𝟐+𝐜𝟐−𝟐𝐛𝐜·𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝐛𝟐=𝐚𝟐+𝐜𝟐−𝟐𝐚𝐜·𝐜𝐨𝐬 𝜷 𝐜𝟐=𝐚𝟐+𝐛𝟐−𝟐𝐚𝐛·𝐜𝐨𝐬 𝜸

10 Kosinová věta (2) 7 Pro pravoúhlý trojúhelník se kosinová věta zjednoduší na větu Pythagorovu 𝐜𝐨𝐬 𝜸=𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎°=𝟎 𝐜𝟐=𝐚𝟐+𝐛𝟐−𝟐𝐚𝐛·𝐜𝐨𝐬 𝜸

11 Další trigonometrické věty (1)
8 𝐫= 𝐚 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛂 = 𝐛 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛃 = 𝐜 𝟐𝐬𝐢𝐧 𝛄 kde r je poloměr kružnice opsané r

12 Další trigonometrické věty (2)
9 Kromě známých platných základních vzorců pro výpočet obsahu obecného trojúhelníka platí též: 𝐒= 𝐚𝐛 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝜸= 𝐚𝐜 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝜷= 𝐛𝐜 𝟐 ·𝐬𝐢𝐧 𝛂

13 Další trigonometrické věty (3)
10 Kromě věty sinové a kosinové existuje též věta tangentová: 𝐜−𝐚 𝐜+𝐚 = 𝐭𝐠 𝜸−𝜶 𝟐 𝐭𝐠 𝜸+𝜶 𝟐 𝐛−𝐜 𝐛+𝐜 = 𝐭𝐠 𝜷−𝜸 𝟐 𝐭𝐠 𝜷+𝜸 𝟐 𝐚−𝐛 𝐚+𝐛 = 𝐭𝐠 𝜶 −𝜷 𝟐 𝐭𝐠 𝜶 +𝜷 𝟐

14 Použité zdroje