Nechť (, , P) je pravděpodobnostní prostor:

Prezentace na téma: "Nechť (, , P) je pravděpodobnostní prostor:"— Transkript prezentace:

1 Nechť (, , P) je pravděpodobnostní prostor:
Náhodná veličina. Nechť (, , P) je pravděpodobnostní prostor: je základní prostor,  je -algebra (všechny podmnožiny ), P je pravděpodobnost. Náhodná veličina X je reálná měřitelná funkce X:   R. Poznámka: Měřitelná funkce: vzorem otevřeného intervalu je prvek , neboli je podmnožina . Příklad. Házíme kostkou. = {padne 1, padne 2, …, padne 6} jsou všechny podmnožiny  P je pravděpodobnostní funkce definovaná na . Definujeme náhodnou veličinu X: padne i  i. Rozlišujeme diskrétní a spojité náhodné veličiny. Diskrétní náhodná veličina má obor hodnot diskrétní (například konečný). Spojitá náhodná veličina má obor hodnot interval, nebo jejich spočetné sjednocení.

2 Diskrétní náhodná veličina.
Ke každé hodnotě oboru hodnot definujeme pravděpodobnost, s níž hodnota nastane. Postup je následující: p je tak zvaná pravděpodobnostní funkce. Jestliže obor hodnot náhodné veličiny X je {x1, x2, …, xn}, pak Náhodná veličina X je definována současně: předpisem pravděpodobnostní funkcí Další možnost je definovat náhodnou funkci předpisem a distribuční funkcí F takto:

3 Příklad. Auto musí projet 4 křižovatky řízené semafory. Na každém semaforu může být buď zelená, nebo červená (oranžovou neuvažujeme). Označme náhodnou veličinu X počet projetých křižovatek na zelenou do první, kam dojede na červenou. Napište pravděpodobnostní funkci p a distribuční funkci F. Obor hodnot X je {0, 1, 2, 3, 4} p(0) = 0.5 p(1) = 0.52 = 0.25 p(2) = 0.53 = 0.125 p(3) = 0.54 = p(4) = 0.54 = p(x) = 0, x > 4. F(x) = pro

4 Příklad. V osudí je 5 bílých a 7 červených míčků. Náhodná veličina X představuje počet bílých míčků mezi pěti vybranými. Vytvořte pravděpodobnostní a distribuční funkci této náhodné veličiny. Obor hodnot X je {0, 1, 2, 3, 4, 5} , x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

5 Spojitá náhodná veličina.
K popisu se používá distribuční funkce F. F (x) = P (X (w) < x) Vlastnosti F(x) (společné pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu): 0 ≤ F(x) ≤ 1 P(x1 ≤ X (w) < x2) = F(x2) - F(x1) pro x1 < x2 F(x) je neklesající funkce F(- ∞) = 0, F(∞) = 1 F(x) je zleva spojitá v bodech x = xi, i = 1,2,..., a spojitá v ostatních bodech. Místo pravděpodobnostní funkce u diskrétní náhodné veličiny definujeme funkci hustoty f takto: Je to reálná funkce definovaná a nezáporná na intervalu <a, b>, , x, x+h <a, b>, f (x) = 0, x  <a, b>

6 Vlastnosti f (x) a F (x) spojité náhodné veličiny X:
pro x ∈ R platí: f (x) ≥ 0 , f(x) > 0, x <a, b> Příklad. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí F: Určete f (x), znázorněte graficky F (x), f (x), vypočtěte P(0.4 ≤ X (w ) < 1.6). F (x) = 0, x  0, F (x) = x 2 / 4, 0 < x  2, F (x) = 1, x > 2.

7 f (x) = 0, x  0, f (x) = x / 2, 0 < x  2, f (x) = 0, x > 2.

8 Definice náhodné veličiny pomocí momentů.
Obecná definice momentu mk: pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu Obecná náhodná veličina může mít nekonečně mnoho nenulových momentů (k + ). To znamená, že pro její charakterizaci je nutno spočítat nekonečně mnoho momentů. V praxi se používají náhodné veličiny, které mají jen několik nenulových momentů počítá jen několik prvních momentů, i když se jedná o obecnou náhodnou veličinu. (nejčastěji 2). Obecná definice centrálního momentu nk (m je 1. moment náhodné veličiny podle definice výše): pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu

9 Nejčastěji používané momenty.
1. moment m1 označuje střední hodnotu náhodné veličiny X, m1  E ( X )  m pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu Pro střední hodnotu platí: 1. E(c) = c , kde c je konstanta 2. E(c.X) = c.E(X) 3. E(X±Y) = E(X) ± E(Y) 4. E(X.Y) = E(X).E(Y), jsou-li X a Y nezávislé 2. Centrální moment označuje rozptyl náhodné veličiny X, n2  s2 = var X pro diskrétní náhodnou veličinu pro spojitou náhodnou veličinu

10 Pro rozptyl D (X)  s 2 platí:
1. D(c) = 0, kde c je konstanta 2. D(c.X) = c 2.D(X) 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y), jsou-li X a Y nezávislé 4. σ se nazývá směrodatná odchylka 3. centrální moment slouží k určení asymetrie rozdělení náhodné veličiny X, n3 se nazývá šikmost. n3 = E[(X – EX)3] / s3 4. centrální moment n4 se nazývá špičatost n4 = E[(X – EX)4] / s4

11 Kvantily. Nechť F(x) je distribuční funkce spojité náhodné veličiny X. Pak hodnota xp, pro kterou platí F(xp) = p, kde p∈<0,1>, se nazývá p-kvantil. Nejužívanější kvantily: kvartily: x0.25, x 0.50, x rozdělí obor možných hodnot na čtyři části se stejnou pravděpodobností výskytu decily: x 0.1, x 0.2, ..., x rozdělí obor možných hodnot na deset částí se stejnou pravděpodobností výskytu percentily: x 0.01, x 0.02, ..., x rozdělí obor možných hodnot na sto částí se stejnou pravděpodobností výskytu medián: x rozdělí obor možných hodnot na 2 části se stejnou pravděpodobností výskytu.

12 Modus. u diskrétní náhodné veličiny je to hodnota, v níž pravděpodobnostní funkce p(xi) dosahuje maxima. u spojité náhodné veličiny je to hodnota, v níž hustota pravděpodobnosti f (x) nabývá lokálního maxima.

13 Náhodný výběr. Sledujeme životnost součástky v počítači, který je v nepřetržitém provozu. Životnost kolísá podle prostředí, v němž je počítač umístěn (prašnost, vlhkost, …) “Životnost součástky“ lze pokládat za náhodnou veličinu. Označím ji X. X je definována na časovém intervalu, lze říci, že X je spojitá náhodná veličina. Náhodnou veličinu můžeme definovat pomocí momentů nebo pomocí hustoty rozdělení (nebo distribuční funkce). Ani jednu z těchto dvou možností však nejsme schopni využít, protože předem není nic o naší náhodné veličině známo. Ve snaze “popsat“ náhodnou veličinu vybereme náhodně a nezávisle na sobě n počítačů (ze zásoby počítačů, u nichž již součástka není funkční) a určíme životnost součástky. Máme tedy náhodný výběr 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 z náhodné veličiny X. Pro tento náhodný výběr lze definovat výběrové charakteristiky, například 𝑋 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥 𝑖 výběrový průměr, nebo 𝑆 2 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 ( 𝑥 𝑖 − 𝑋 ) 2 výběrový rozptyl

14 Náhodný výběr n-ti počítačů můžeme provést opakovaně a vždy dostaneme
jiné charakteristiky (protože se jedná o výběr) 𝑋 𝑗 , 𝑆 𝑗 2 , j = 1, …, m. Výběrové charakteristiky lze tedy pokládat za náhodné veličiny. Definujeme 𝑋 𝑚 = 1 𝑚 𝑗=1 𝑚 𝑋 𝑗 . Pokud existuje 𝑚 0 >0 tak, že pro 𝑚 ≥ 𝑚 0 je 𝑋 𝑚 = m = konstanta, pak 𝑋 𝑚 je nestranný odhad střední hodnoty m . Pokud existuje lim 𝑚→+∞ 𝑋 𝑚 , pak označíme lim 𝑚→+∞ 𝑋 𝑚 = m a řekneme, že 𝑋 𝑚 je asymptoticky nestranný odhad střední hodnoty m , nebo 𝑋 𝑚 je konzistentní odhad střední hodnoty m Stejně definujeme 𝑆 𝑚 2 jako nestranný odhad variance 𝜎 2 .

15 Poznámky I. Povšimněme si, že zatímco 𝑋 𝑚 , 𝑆 𝑚 2 jsou náhodné veličiny, m a 𝜎 2 jsou reálná čísla. Na základě vlastností výběrových charakteristik usuzujeme na vlastnosti náhodné (teoretické) veličiny. Z předchozího vyplývá, že velmi záleží na kvalitě a rozsahu náhodného výběru. Poznámky II. Předpokládá se, že prvky náhodného výběru 𝑥 1 , 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 jsou na sobě nezávislé. Jsou to realizace náhodných veličin 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 , které pocházejí ze stejného rozdělení, jehož charakteristiky neznáme.

16 Cvičení. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar:
f (x) = 0, x < 0; f (x) = a sin x, 0 ≤ x < p ; f (x) = 0, x  p. Určete koeficient a, distribuční funkci F(x) a P(p/2 < X < 2p ). Náhodná veličina X je dána tabulkou. Určete její první moment, 2. centrální moment. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti: f (x) = x2 e-x /2, x (0, + ), f (x) = 0, jinak. Určete modus. Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti: f (x) = 2x, x<0, 1>, f (x) = 0 jinak. Spočtěte střední hodnotu a varianci. Určete první decil a třetí kvartil pro náhodnou veličinu danou hustotou takto: f (x) = 1/2, x<0, 2>, f (x) = 0 jinak. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0.7. Určete: pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její graf. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí: F (x) = 0, x < 3, F (x) = x/3 – 1, 3 ≤ x < 6, F (x) = 1, x  6. Určete f(x), znázorněte graficky f(x), F(x) a P(1.5 ≤ X ≤ 4).

17 Určete, a) pro jaká A, B bude F (x) = A + B/(1 + x2) funkcí rozložení náhodné proměnné pro x∈(0, +∞), b) příslušnou hustotu rozložení. V městě byl po dobu 60 dnů evidován počet dopravních nehod v průběhu každého dne a podle počtu nehod v jednom dni vytvořena tabulka.Pro počet nehod v jednom dni jako náhodnou proměnnou sestrojit zákon rozložení, střední hodnotu a varianci. Výsledkem náhodného pokusu je náhodná veličina nabývající hodnot 1/ n (n je přirozené číslo) s pravděpodobnostmi nepřímo úměrnými 3n. Určit střední hodnotu této náhodné veličiny. Funkce f (x) = C (2x – x2) má být hustotou rozložení pravděpodobnosti pro x ∈ <0,2>. Určete a) konstantu C, b) funkci rozložení F(x), c) střední hodnotu příslušné náhodné veličiny, d) varianci a směrodatnou odchylku, e) pravděpodobnost P(X<1).