1. Pojmy a modely pravděpodobnosti. Podmíněná pst, nezávislost jevů

Prezentace na téma: "1. Pojmy a modely pravděpodobnosti. Podmíněná pst, nezávislost jevů"— Transkript prezentace:

1 1. Pojmy a modely pravděpodobnosti. Podmíněná pst, nezávislost jevů
1. Pojmy a modely pravděpodobnosti. Podmíněná pst, nezávislost jevů. Vzorec úplné psti, Bayesův vzorec. RNDr. Radovan Potůček, Ph.D., K-215, FVT UO, KŠ 5B/11, tel

2 Z historie teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 2/19 Z historie teorie pravděpodobnosti Odhlédneme-li od prací indických a čínských matematiků, kteří se řešením kombinatorických úloh zabývali již ve starověku, spadají základy počtu pravděpodobnosti v Evropě do 16. století. Dříve totiž nebyla rozpoznána souvislost mezi matematikou a náhodnými jevy, neboť matematika byla považována za disciplína, v jejíž povaze se nic náhodného nevyskytuje. Navíc matematické zkoumání náhodných jevů nebylo dříve potřebné (k potěše falešných hráčů) a nutnost jejich přesného popisu se objevila až v souvislosti s rozvojem obchodu, demografie, astronomie a moderní fyziky. „Základním materiálem“ teorie pravděpodobnosti byly problémy z oblasti hazardních her a sázek. Za opravdový počátek teorie pravděpodobnosti je pak považována korespondence, kterou v roce 1654 vedli Blaise Pascal (1623–1662) a Pierre de Fermat (1601–1665) o problémech, se kterými se na Pascala obrátil rytíř de Méré. Jednalo se o úlohu o rozdělení sázky a úlohu o kostkách, tedy otázku, kolik hodů jednou či dvěma kostkami je třeba, aby šance, že padne aspoň jednou šestka, resp. dvě šestky, byla nadpoloviční. Tyto problémy Pascal vyřešil. Dalším z mužů, kteří přispěli ke zrodu nové matematické disciplíny, byl Christian Huygens (1629–1695). Ač vzděláním (stejně jako Fermat) právník, zabýval se přírodními vědami: fyzikou, astronomií a také matematikou. Jeho přínosem k teorii pravděpodobnosti je spis z roku Huygens se v tomto spisu stal duchovním otcem střední hodnoty a klasické definice pravděpodobnosti. V dnešní podobě byla teorie pravděpodobnosti axiomatizována a formalizována Andrejem Nikolajevičem Kolmogorovem (1903 – 1987) v roce 1933.

3 Z historie matematické statistiky
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 3/19 Z historie matematické statistiky Slovo statistika pochází z latinského „status“, což znamená stav. Původně se jednalo pouze o stav nějaké země či státu a statistikou se rozuměla činnost spočívající ve zjišťování tohoto stavu. Později se pole působnosti statistiky značně rozšířilo, statistika navíc přestala být pouze praktickou činností a stala se vysoce propracovanou vědeckou naukou. Prvopočátky statistiky spadají do starověku – do Sumeru, Egypta a později starověkého Říma, kde byly v různých obdobích prováděny soupisy obyvatel, dobytka, půdy, úrody, majetku i otroků, aby mohly být vyměřeny příslušné daně. Středověk, a zejména 16. století, s sebou přinesl nový pohled na svět a člověka, rozvoj filozofie a počátky moderních vědních disciplín. Je obdobím velkých společenských změn, kdy se společnost více diferencuje a z potřeby jejího efektivního řízení pramení i potřeba jejího zkoumání. Významnou osobností evropské statistiky byl belgický matematik a astronom Adolphe Lambert Quételet ( ), který vypracoval zásady moderního sčítání lidu – poprvé byly uplatněny při belgickém sčítání lidu v roce Na základě velkého souboru dat vypočítal rozměry „průměrného člověka“ a odchylky jednotlivců od tohoto průměru – je tedy duchovním otcem pojmů jako průměr, střední hodnota, rozptyl a rozdělení. Statistika 19. a počátku 20. století představuje především vytváření rozsáhlých souborů dat, sběr mnoha informací od co nejširšího okruhu respondentů, se zjevným cílem: obsáhnout ve svém šetření celou populaci a tím získat maximálně přesný obraz stavu společnosti. Časová i finanční náročnost takových šetření vedla k úvahám, zda je opravdu třeba zkoumat celou populaci, nebo postačí-li vybrat pouze její reprezentativní vzorek. Na základe této myšlenky se počátkem 20. století zrodila matematická statistika, disciplína, jejímž charakteristickým rysem je hledání metod, jež by umožnily vytvoření závěru o celku na základě výběru.

4 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 4/19 Základní pojmy teorie pravděpodobnosti Pokusem nazýváme uskutečnění přesně popsaného komplexu podmínek, neboli takovou činnost, jejíž výsledek je ovlivněn náhodou. Přitom předpokládáme, že pokus lze neomezeně opakovat. Končí-li pokus jediným výsledkem, nazveme jej deterministickým pokusem. Např. zahřívání vody na 100°C při atmosfér. tlaku 1015 hPa vede k varu vody Jestliže pokus končí jedním výsledkem z množiny více výsledků, nazveme jej náhodným pokusem (nebo také stochastickým pokusem), dále jen pokusem. Např. hod kostkou vede k právě jednomu ze šesti možných výsledků. Jevem nazýváme každý výsledek nebo důsledek pokusu. Jevy dělíme do tří skupin. Jistým jevem nazveme takový jev, který nastane při každém pokusu. Např. při hodu kostkou padne číslo menší než Nemožným jevem nazveme jev, který při žádném pokusu nenastane. Např. při hodu kostkou padne číslo menší než Náhodným jevem nazveme jev, který při realizaci pokus může, ale také nemusí nastat. Např. při hodu kostkou padne číslo 6.

5 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 5/19
Uvažujme pokus, při němž může nastat jev, který označíme písmenem 𝐴. Opakujeme-li tento pokus 𝑛-krát za stejných podmínek a jev 𝐴 nastane v této sérii pokusů právě 𝑓(𝐴)-krát, pak číslo 𝑓 𝐴 nazveme četností jevu 𝐴 a číslo 𝑓(𝐴) 𝑛 relativní četností jevu 𝐴. Jestliže provedeme několik sérií těchto pokusů, pak lze pozorovat, že relativní četnosti v jednotlivých sériích kolísají kolem jistého čísla. Např. při sérií hodů kostkou kolísají relativní četnosti padnutí šestky kolem čísla 1/6. Toto číslo nazveme pravděpodobností jevu 𝐴 a označíme 𝑃(𝐴). Lze pozorovat, že s růstem počtu pokusů 𝑛 v sériích se budou zmenšovat rozdíly mezi čísly 𝑓(𝐴)/𝑛 a 𝑃 𝐴 , tedy že relativní četnosti vykazují jistou stabilitu. Pravděpodobnost 𝑃(𝐴) tedy považujeme za číslo, které charakterizuje objektivní možnost výskytu jevu 𝐴 při uvažovaném pokusu. Lze jej interpretovat tak, že v sérii pokusů nastane jev 𝐴 asi v 𝑃 𝐴 ∙100% pokusů. Kromě tohoto empirického pojmu pravděpodobnosti, uvedeme dále axiomatickou definici pravděpodobnosti a pojmy klasické pravděpodobnosti a geometrické pravděpodobnosti.

6 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 6/19
Jevy a operace s jevy Chceme-li popsat výsledky pokusu složitějšími jevy, je nutné s jevy provádět množinové operace. Např. střelec vystřelí na terč třikrát a chce zjistit pravděpodobnost jevů, že z těchto tří ran zasáhne vnitřní kruh terče např. jednou, třikrát, alespoň dvakrát apod. Jevy označujeme velkými písmeny latinské abecedy, případně i dolními indexy: 𝐴,𝐵,𝐶, 𝐴 1 , 𝐴 2 ,… Jistý jev označujeme písmenem Ω a nemožný jev symbolem ∅. Sjednocením jevů 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 ,… se nazývá jev, který nastane právě tehdy, když v realizaci pokus nastane aspoň jeden z těchto jevů. V případě konečného počtu 𝑛 jevů jej značíme 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪ …∪ 𝐴 𝑛 nebo 𝑘=1 𝑛 𝐴 𝑘 , v případě spočetného počtu jevů (tedy množiny, kterou lze očíslovat čísly 1,2,3,… jej značíme 𝑘 𝐴 𝑘 . Průnikem 𝑛 jevů 𝐴 1 , 𝐴 2 ,…, 𝐴 𝑛 se nazývá jev, který nastane právě tehdy, když v realizaci pokusu nastanou všechny tyto jevy. Značíme jej 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩…∩ 𝐴 𝑛 nebo 𝑘=1 𝑛 𝐴 𝑘 .

7 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 7/19
Rozdílem jevů 𝐴 a 𝐵 se nazývá jev, který nastane v realizaci pokusu právě tehdy, když nastane jev 𝐴 a nenastane jev 𝐵. Značíme jej 𝐴−𝐵. Říkáme, že jevy 𝐴 1 , 𝐴 2 ,…, 𝐴 𝑘 ,… jsou neslučitelné nebo disjunktní, když žádné dva z nich nemohou společně nastat, tj. 𝐴 𝑖 ∩ 𝐴 𝑗 =∅ pro libovolné indexy 𝑖,𝑗. Opačným (komplementárním) jevem k jevu 𝐴 nazveme jev, který nastane právě tehdy, když nenastane jev 𝐴. Značíme jej 𝐴 . Říkáme, že jev 𝐴 implikuje jev 𝐵 (jev 𝐴 má za důsledek jev 𝐵), jestliže jev 𝐵 nastane vždy, když nastane jev 𝐴, implikaci jevů zapisujeme 𝐴⊂𝐵. Říkáme, že jevy 𝐴 a 𝐵 jsou si rovny, jestliže 𝐴⊂𝐵 a zároveň 𝐵⊂𝐴, tj. jestliže jev 𝐴 nastane právě tehdy, když nastane jev 𝐵, rovnost jevů zapisujeme 𝐴=𝐵.

8 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 8/19
Základním prostorem nazveme neprázdnou množinu disjunktních jevů, vytvořenou všemi výsledky uvažovaného pokusu. Tuto množinu budeme rovněž značit písmenem Ω. Elementárním jevem pak nazveme každý prvek 𝜔 množiny Ω. Libovolný jev pak definujeme jako podmnožinu základního prostoru Ω.

9 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 9/19
Při výpočtech pravděpodobností složitějších jevů budou užitečné následující vlastnosti operací s jevy: 𝐴∪ 𝐴 =𝐼, 𝐴∪𝐼=𝐼, 𝐴∪∅=𝐴, 𝐴∪𝐴=𝐴, 𝐴∩ 𝐴 =∅, 𝐴∩𝐼=𝐴, 𝐴∩∅=∅, 𝐴∩𝐴=𝐴, 𝐴∪𝐵=𝐵∪𝐴, 𝐴∪ 𝐵∩𝐶 =(𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶), 𝐴∩𝐵=𝐵∩𝐴, 𝐴∩ 𝐵∪𝐶 =(𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶), 𝐴∪𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 , 𝐴∩𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 . Vhodně sestavený systém podmnožin množiny Ω nazveme jevovým polem a označíme A, jestliže splňuje následující podmínky: a) Ω∈ A, b) když 𝐴∈ A, pak 𝐴 ∈A, c) když 𝐴 𝑘 ∈ A, pak 𝑘 𝐴 𝑘 ∈ A. Odtud plyne: ∅, 𝐴∩𝐵, 𝐴−𝐵∈ A. Např. pro základní prostor Ω= 𝜔 1 , 𝜔 2 , 𝜔 3 je jevové pole A = ∅, 𝜔 1 , 𝜔 2 , 𝜔 3 , 𝜔 1 , 𝜔 2 , 𝜔 1 , 𝜔 3 , 𝜔 2 , 𝜔 3 ,Ω .

10 Axiomatická definice pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 10/19 Axiomatická definice pravděpodobnosti Mějme základní prostor Ω a k němu sestrojené jevové pole A. Pravděpodobnost je funkce, označená 𝑃, která každému jevu 𝐴∈ A přiřazuje reálné číslo 𝑃(𝐴), nazývané pravděpodobností jevu 𝐴, a která splňuje tři axiomy: 1. Pravděpodobnost jevu 𝐴 je číslo 0≤𝑃(𝐴)≤1. 2. Pravděpodobnost jistého jevu Ω je 𝑃 Ω =1. 3. Je-li jev 𝐴= 𝑘=1 𝑛 𝐴 𝑘 (konečný systém), respektive 𝐴= 𝑘=1 ∞ 𝐴 𝑘 (spočetný sytém), přičemž 𝐴 𝑖 ∩ 𝐴 𝑗 =∅ pro 𝑖≠𝑗 (jevy jsou po dvou disjunktní), pak platí: 𝑃 𝐴 = 𝑃( 𝑘=1 𝑛 𝐴 𝑘 )= 𝑘=1 𝑛 𝑃(𝐴 𝑘 ) , respektive 𝑃 𝐴 = 𝑃( 𝑘=1 ∞ 𝐴 𝑘 )= 𝑘=1 ∞ 𝑃(𝐴 𝑘 ) . Trojici Ω,A,𝑃 nazýváme pravděpodobnostní prostor.

11 Vlastnosti pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 11/19 Vlastnosti pravděpodobnosti Nechť je dán pravděpodobnostní prostor Ω,A,𝑃 . Pak pro pravděpodobnosti jevů z jevového pole A platí: 1. Jestliže je 𝐴⊂𝐵 (jev 𝐴 implikuje jev 𝐵), pak 𝑃(𝐴)≤𝑃(𝐵). 2. Pravděpodobnost opačného jevu 𝑃 𝐴 =1−𝑃(𝐴). 3. Pravděpodobnost nemožného jevu 𝑃 ∅ =0. 4. Pravděpodobn. rozdílu jevů 𝑃 𝐴−𝐵 =𝑃 𝐴 −𝑃(𝐴∩𝐵). 5. Pravděpodobnost sjednocení dvou a více (nedisjunktních) jevů je dána vztahy 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵 , 𝑃 𝐴∪𝐵∪𝐶 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 −𝑃 𝐴∩𝐵 − 𝑃 𝐴∩𝐶 −𝑃 𝐵∩𝐶 +𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 atd.

12 Vzorec klasické pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 12/19 Vzorec klasické pravděpodobnosti Nechť je dán pravděpodobnostní prostor Ω,A,𝑃 . Jestliže Ω splňuje podmínky: a) sestává z konečného počtu 𝑚 Ω elementárních jevů, b) tyto elementární jevy jsou stejně možné, pak pravděpodobnost jevu 𝐴∈ A, který nastane při 𝑚(𝐴) těchto elementárních jevech, lze určit pomocí vzorce 𝑃 𝐴 = 𝑚(𝐴) 𝑚(Ω) . Příklad: Provedeme dva hody hrací kostkou. Jaké jsou pravděpodobnosti jevů, že a) padnou stejná čísla, b) součet padnutých čísel bude alespoň sedm. Elementární jevy jsou uspořádané dvojice čísel (𝑥,𝑦), kde 1≤𝑥,𝑦≤6. Pokus má tedy 36 možných výsledků, takže 𝑚 Ω =6∙6=36. a) Označíme -li 𝐴 jev, že při obou hodech padne stejné číslo, pak 𝐴= 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 ,(6,6) , takže 𝑚 𝐴 =6 a 𝑃 𝐴 ≐0,167. b) Označíme-li 𝐵 jev, že při obou hodech bude součet aspoň sedm, pak 𝐵= 1,6 , 2,5 , 2,6 , 3,4 ,…, 3,6 , 4,3 ,…, 4,6 , 5,2 ,…, 5,6 , 6,1 ,…,(6,6) , takže 𝑚 𝐵 =21 a 𝑃 𝐵 =21/36≐0,583 .

13 Vzorec geometrické pravděpodobnosti
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 13/19 Vzorec geometrické pravděpodobnosti Někdy se setkáváme se situací, kdy výsledkem náhodného pokusu může být libovolný bod určité úsečky (rovinného obrazce nebo tělesa v prostoru) Ω. Předpokládáme-li, že všechny body této úsečky (obrazce, tělesa) představují stejně možné výsledky, a máme-li vypočítat pravděpodobnost, že uvažovaný bod bude ležet v určité podmnožině 𝐴 dané úsečky (obrazce, tělesa). Pak pravděpodobnost jevu 𝐴⊂Ω lze určit pomocí vzorce 𝑃 𝐴 = 𝜇(𝐴) 𝜇(𝛺) , kde symbol 𝜇 vyjadřuje tzv. míru množiny, tj. délku úsečky (obsah obrazce, objem tělesa). Příklad: Bateriovým hodinám se vybila baterie. Určete pravděpodobnost, že se velká ručička zastaví mezi dvojkou a čtverkou. Označme 𝐴 jev, který spočívá v tom, že se velká ručička zastaví mezi dvojkou a čtverkou. Pravděpodobnost jevu 𝐴 je úměrná délce oblouku mezi dvojkou a čtverkou. Základním prostorem Ω je zřejmě délka obvodu celého kruhu (ciferníku), jehož poloměr označme 𝑟. Potom 𝑃 𝐴 = 𝜇(𝐴) 𝜇(Ω) = 2𝜋𝑟/6 2𝜋𝑟 = 1 6 ≐0,167.

14 Podmíněná pravděpodobnost
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 14/19 Podmíněná pravděpodobnost Často se setkáváme s požadavkem určit pravděpodobnost nějakého náhodného jevu 𝐴, máme-li dodatečnou informaci, tj. víme-li, že nastal nějaký jiný náhodný jev 𝐵. Uvažujme pravděpodobnostní prostor Ω,A,𝑃 . Nechť jevy 𝐴,𝐵∈ A . Jestliže k systému podmínek, vymezujících daný pokus, přidáme podmínku (předpoklad), že nastal jev 𝐵, pak pravděpodobnost uskutečnění jevu 𝐴 za této podmínky nazýváme podmíněnou pravděpodobností jevu 𝐴 za podmínky 𝐵 a označujeme ji 𝑃(𝐴|𝐵). Podmíněnou pravděpodobnost jevu 𝐴 za podmínky 𝐵 definujeme pomocí vzorce 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴∩𝐵) 𝑃(𝐵) , přičemž předpokládáme, že 𝑃 𝐵 >0. Podmíněná pravděpodobnost 𝑃(𝐴|𝐵) dává informaci o (stochastické) závislosti jevů 𝐴 a 𝐵. Je-li 𝑃(𝐴|𝐵)≠𝑃(𝐴), pak pravděpodobnost jevu 𝐴 je ovlivněna uskutečněním jevu 𝐵, takže říkáme, že jev 𝐴 je závislý na jevu 𝐵. Z výše uvedeného vzorce plyne 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 , takže po 𝐴↔𝐵 dostáváme vzorce pro pravděpodobnost průniku dvou, tří a více jevů: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵|𝐴), 𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐶 𝐴∩𝐵 atd.

15 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 15/19
Příklad: Ze skupiny 100 výrobků, která obsahuje 10 zmetků, vybereme náhodně. postupně a bez vracení 3 výrobky. Pravděpodobnost toho, že první výrobek není zmetek (jev 𝐴 1 ), druhý výrobek není zmetek (jev 𝐴 2 ) a třetí výrobek je zmetek (jev 𝐴 3 ), je 𝑃 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩ 𝐴 3 =𝑃 𝐴 1 𝑃 𝐴 2 𝐴 1 𝑃 𝐴 3 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 = ∙ ∙ ≐ Nyní budeme definovat nezávislost jevů. Jestliže pro libovolné jevy 𝐴 a 𝐵 platí 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴) nebo 𝑃 𝐵 =0, pak říkáme, že jev 𝐴 je (stochasticky) nezávislý na jevu 𝐵. Je-li jev 𝐴 nezávislý na jevu 𝐵, pak také jev 𝐵 je nezávislý na jevu 𝐴, tj. 𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃 𝐵 , tedy nezávislost jevů je oboustranná. Z této rovnosti a ze vzorce 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵|𝐴) dostáváme vzorce pro pravděpodobnost průniku dvou, tří a více nezávislých jevů: 𝑃 𝐴∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵), 𝑃 𝐴∩𝐵∩𝐶 =𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)𝑃(C), 𝑃 𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩…∩ 𝐴 𝑛 =𝑃 𝐴 1 𝑃 𝐴 2 ⋯𝑃( 𝐴 𝑛 ).

16 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 16/19
Příklad: Zařízení je sestavené ze tří prvků 𝐴,𝐵,𝐶. Uvažujme dvě schémata zapojení a) a b). Porovnejte spolehlivosti (tj. pravděpodobnosti, že nedojde k poruše) obou schémat zapojení, jestliže spolehlivosti jednotlivých součástek jsou 0,9 pro prvek 𝐴, 0,8 pro prvek 𝐵 a 0,7 pro prvek 𝐶. Označme 𝐹 jev, že dané schéma zapojení funguje, 𝐴,𝐵,𝐶 jevy, že tyto součástky fungují a 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , že nefungují. Operace s jevy zapíšeme pomocí průniků a použijeme vzorec pro pravděpodobnost průniku nezávislých jevů. a) Aby zařízení fungovalo, musí fungovat prvek 𝐴 a současně alespoň jeden z prvků 𝐵 a 𝐶 v paralelním zapojení. Tedy 𝐹=𝐴∩ 𝐵∪𝐶 =𝐴∩ 𝐵∪𝐶 =𝐴∩ 𝐵 ∩ 𝐶 . Za předpokladu nezávislosti vzniku poruch u jednotlivých součástek tak dostáváme: 𝑃 𝐹 =𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 =𝑃 𝐴 1−𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 =𝑃 𝐴 1−𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 =0,9∙ 1−0,2∙0,3 = 0,846. b) Pro funkčnost zařízení je třeba, aby fungoval prvek 𝐴 nebo oba sériově zapojené prvky 𝐵,𝐶 současně. Máme tak 𝐹=𝐴∪ 𝐵∩𝐶 = 𝐴∪ 𝐵∩𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵∩𝐶 . Za předpokladu nezávislosti vzniku poruch u součástek 𝐴,𝐵,𝐶 dostáváme: 𝑃 𝐹 =1−𝑃 𝐴 ∩ 𝐵∩𝐶 =1−𝑃 𝐴 𝑃 𝐵∩𝐶 =1−𝑃 𝐴 1−𝑃 𝐵∩𝐶 =1−𝑃 𝐴 1−𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 1−𝑃 𝐵 𝑃 𝐶 =1−0,1 1−0,8∙0,7 =0,956.

17 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 17/19
Bernoulliovo schéma Nechť při určitém pokusu může nastat jev 𝐴 s pravděpodobností 𝑃 𝐴 =𝑝. Tento pokus opakujeme nezávisle, tj. za stejných podmínek, 𝑛-krát po sobě, přičemž číslo 𝑝 je v každém pokusu stejné. Tuto posloupnost pokusů nazýváme Bernoulliovou posloupností nezávislých pokusů. Pravděpodobnost jevu 𝐵 𝑘 , že v Bernoulliově posloupnosti 𝑛 nezávislých pokusů se jev 𝐴 uskuteční právě 𝑘-krát. Pak lze pravděpodobnost jevu 𝐵 𝑘 vypočítat pomocí vzorce 𝑃 𝐵 𝑘 = 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 (1−𝑝) 𝑛−𝑘 , 𝑘=0,1,2,…,𝑛. Poznamenejme, že nejvyšší pravděpodobnost 𝑃( 𝐵 𝑚 ) v Bernoulliově posloupnosti 𝑛 nezávislých pokusů je pro 𝑚 pokusů, kde 𝑛+1 𝑝−1≤𝑚< 𝑛+1 𝑝. Příklad: Házíme šestkrát po sobě hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že padnou aspoň 2 šestky? Označme 𝐴 jev, že při 6 hodech padnou alespoň dvě šestky, 𝐵 𝑘 , 𝑘=0,1,2,3,4,5,6, jev, že při 6 hodech padne právě 𝑘 šestek. Zřejmě je 𝐴= 𝐵 2 ∪ 𝐵 3 ∪ 𝐵 4 ∪ 𝐵 5 ∪ 𝐵 6 . Vhodnější a rychlejší ale bude výpočet užitím opačného jevu, neboť 𝐴 = 𝐵 0 ∪ 𝐵 1 , takže 𝑃 𝐴 =1−𝑃 𝐵 0 ∪ 𝐵 1 =1− 𝑃 𝐵 0 +𝑃 𝐵 1 , neboť jevy 𝐵 0 , 𝐵 1 jsou disjunktní. Protože je 𝑝=1/6, máme 𝑃 𝐵 0 = ∙ ∙ ≐0.3349, 𝑃 𝐵 1 = ∙ ∙ ≐0.4019, Takže 𝑃 𝐴 ≐1−0,3349−0,4019=0,2632.

18 𝑃 𝐻 𝑘 𝐴 = 𝑃 𝐻 𝑘 𝑃(𝐴| 𝐻 𝑘 ) 𝑃(𝐴) , 𝑘=1,2,…,𝑛,
Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 18/19 Věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec Nechť jev 𝐴 může nastat společně s některým z jevů 𝐻 𝑖 , 𝑖=1,2,…,𝑛, které nazýváme hypotézy, tj. 𝐴= 𝑖=1 𝑛 𝐴∩ 𝐻 𝑖 . Předpokládejme dále, že pro jevy 𝐻 𝑖 platí: a) jsou po dvou disjunktní, tj. 𝐻 𝑖 ∩ 𝐻 𝑗 =∅ pro všechna 𝑖≠𝑗, b) 𝑖=1 𝑛 𝐻 𝑖 =Ω , c) jsou známy pravděpodobnosti 𝑃( 𝐻 𝑖 ) a 𝑃(𝐴| 𝐻 𝑖 ), přičemž 𝑃 𝐻 𝑖 >0. 1. Pak pravděpodobnost jevu 𝐴 je dána vzorcem úplné pravděpodobnosti: 𝑃 𝐴 = 𝑖=1 𝑛 𝑃 𝐻 𝑖 𝑃(𝐴| 𝐻 𝑖 ) . 2. Jestliže se jev 𝐴 uskutečnil, pak pravděpodobnost jevu 𝐻 𝑘 podmíněnou jevem 𝐴 lze vypočíst pomocí tzv. Bayesova vzorce: 𝑃 𝐻 𝑘 𝐴 = 𝑃 𝐻 𝑘 𝑃(𝐴| 𝐻 𝑘 ) 𝑃(𝐴) , 𝑘=1,2,…,𝑛, kde číslo 𝑃(𝐴) je určeno vzorcem úplné pravděpodobnosti.

19 Pravděpodobnost a matematická statistika – pojmy a modely pravděpodobnosti 19/19
Příklad: 1. tank zničí cíl jedním výstřelem s pravděpodobností 0,8, 2. tank s pravděpodobností 0,5. Náhodně zvolený tank cíl zničil jedním výstřelem Jaké jsou pravděpodobnosti, že cíl byl zničen a) 1. tankem, b) 2. tankem? Označme 𝐴 jev, že cíl byl náhodně zvoleným tankem zničen jedním výstřelem, jev (hypotézu) 𝐻 𝑖 , 𝑖=1,2, že střílel 𝑖-tý tank. Pak zřejmě máme: 𝑃 𝐻 1 =𝑃 𝐻 2 =0,5, 𝑃 𝐴 𝐻 1 =0,8, 𝑃 𝐴 𝐻 2 =0, Užitím vzorce úplné pravděpodobnosti dostáváme: 𝑃 𝐴 = 𝑖=1 2 𝑃 𝐻 𝑖 𝑃(𝐴| 𝐻 𝑖 ) =0,5 0,8+0,5 =0,65. a) 𝑃 𝐻 1 𝐴 = 𝑃 𝐻 1 𝑃(𝐴| 𝐻 1 ) 𝑃(𝐴) = 0,5∙0,8 0,65 = 8 13 ≐0,6154 b) 𝑃 𝐻 2 𝐴 = 𝑃 𝐻 2 𝑃(𝐴| 𝐻 2 ) 𝑃(𝐴) = 0,5∙0,5 0,65 = 5 13 ≐0,3846