VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Rozbor úlohyŘešení úlohy Obrázek 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné.

Prezentace na téma: "VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Rozbor úlohyŘešení úlohy Obrázek 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné."— Transkript prezentace:

1 VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Rozbor úlohyŘešení úlohy Obrázek 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Obrázek 2

2 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. 8 Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 1 2 3 4 56 7 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? levý obrázek: Obrázek 1 pravý obrázek: Obrázek 2

3 Mezi hlídkami je třeba rozlišovat nejen jejich složení podle jmen chlapců, ale i to, kdo bude velitelem, kdo chemikem a kdo zdravotníkem. Řešením úlohy budou všechny možné uspořádané trojice ze čtyř prvků (chlapců) neboli variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků. V sestavovaném seznamu budeme zapisovat na první místo velitele, na druhé chemika a na třetí zdravotníka. 1 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. Obrázek 2 Z

4 Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Aleš.Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Bedřich.Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Cyril.Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet David. [A, B, C] [A, B, D] [A, C, B] [A, C, D] [A, D, B] [A, D, C] [B, A, C] [B, A, D] [B, C, A] [B, C, D] [B, D, A] [B, D, C] [C, A, B] [C, A, D] [C, B, A] [C, B, D] [C, D, A] [C, D, B] [D, A, B] [D, A, C] [D, B, A] [D, B, C] [D, C, A] [D, C, B] 1 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. A (Aleš), B (Bedřich), C (Cyril), D (David) pořadí funkcí ve hlídce: velitel, chemik, zdravotník Z Obrázek 1

5 Co je trikolora. Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? Česká trikolora: Francouzská trikolora: Trikolora je stuha nebo vlajka skládající se ze tří různých barev, obvykle uspořádaných do stejně širokých pruhů vodorovně, nebo svisle.  2

6 Každá ušitá trikolora představuje uspořádanou trojici, ve které záleží na pořadí barev, z nichž je ušita. V uspořádané trojici se vyskytuje každá barva právě jednou. Tyto uspořádané trojice jsou variace bez opakování třetí třídy z pěti prvků (barev). Počet všech možných ušití trikolor je tedy roven počtu V 3 (5) všech variací bez opakování třetí třídy z pěti prvků. Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? 2 Z Obrázek 2

7 Dosadíme do vzorce.Upravíme jmenovatele zlomku.Vypočteme faktoriály.Dopočítáme příklad. k = 3 n = 5 Z pěti barevných látek můžeme ušít 60 trikolor. 2 Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? Z Obrázek 1

8 Každý rozvrh je uspořádanou sedmicí, ve které záleží na pořadí předmětů. Vzhledem k tomu, že se každý předmět vyučuje nejvýše jednu hodinu denně, jsou tyto uspořádané sedmice variace bez opakování sedmé třídy z dvanácti prvků (předmětů). Počet všech možných požadovaných rozvrhů je tedy roven počtu V 7 (12) všech variací bez opakování sedmé třídy z dvanácti prvků. 3 Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? Z Obrázek 2

9 Dosadíme do vzorce.Upravíme jmenovatele zlomku.Vypočteme faktoriály.Dopočítáme příklad. k = 7 n = 12 Požadovaný rozvrh můžeme sestavit 3 991 680 způsoby. 3 Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? Z Obrázek 1

10 Na každý výsledek se můžeme dívat jako na uspořádanou dvojici (domácí : hosté), v níž záleží na počtu nastřílených gólů. Počet všech možných výsledků, při kterých zápas neskončí remízou, je roven počtu V 2 (4) všech variací bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků 0, 1, 2, 3 (počet gólů). Z tohoto počtu vyloučíme ty zápasy, ve kterých hosté nedostanou žádný gól ([0:1], [0:2], [0:3]), neboli počet V 1 (3) všech variací bez opakování první třídy ze tří prvků 1, 2, 3. Skončí-li zápas remízou [3:3], musíme připočítat jeden výsledek. Celkový počet výsledků: V 2 (4) – V 1 (3) + 1 4 Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. Z Obrázek 2

11 V 2 (4) a V 1 (3) upravíme podle vzorce.Upravíme jmenovatele zlomků.Vypočteme faktoriály.Dopočítáme příklad. Hokejový zápas může mít 10 různých výsledků. 4 Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. Z Obrázek 1

12 Každé pěticiferné číslo lze považovat za uspořádanou pětici sestavenou ze zadaných cifer tak, že obsahuje každou z cifer právě jednou a jejímž prvním členem není cifra 0. Celkový počet pěticiferných čísel je roven počtu V 5 (6) všech variací bez opakování páté třídy z šesti prvků. Z tohoto počtu vyloučíme pěticiferná čísla začínající nulou: v těchto uspořádaných pěticích je již první člen obsazen nulou, zbývající členy tvoříme pouze z cifer 1, 3, 5, 7, 9. To znamená, že odečítáme počet V 4 (5) všech variací bez opakování čtvrté třídy z pěti prvků. Počet všech hledaných přirozených čísel: V 5 (6) – V 4 (5) 5 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. Z Obrázek 2

13 V 5 (6) a V 4 (5) upravíme podle vzorce.Upravíme jmenovatele zlomků.Vypočteme faktoriály.Dopočítáme příklad. Ze zadaných cifer můžeme sestavit 600 pěticiferných čísel. 5 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. Z Obrázek 1

14 Každé trojciferné číslo lze považovat za uspořádanou trojici. V žádné uspořádané trojici se číslice neopakují a jejím prvním členem není číslo nula. Mají-li být trojciferná čísla dělitelná pěti, musí mít na místě jednotek nulu nebo pětku. To znamená, že v každé uspořádané trojici je poslední člen obsazen nulou nebo pětkou. 6  Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5.

15 Pokud je poslední člen uspořádané trojice obsazen nulou, pak zbývající dva členy tvoříme z cifer 2, 4, 5, 6, 9. Počet všech těchto trojciferných čísel je roven počtu V 2 (5) všech variací bez opakování druhé třídy z pěti prvků. K tomuto počtu připočítáme i počet všech uspořádaných trojic, které mají na místě jednotek 5, neboli počet V 2 (5) všech variací bez opakování druhé třídy z pěti prvků. Současně vyloučíme ta trojciferná čísla začínající nulou a končící 5. V těchto uspořádaných trojících je již první člen obsazen nulou a poslední 5, prostřední člen tvoříme pouze z cifer 2, 4, 6, 9. To znamená, že odečítáme počet V 1 (4) všech variací bez opakování první třídy ze čtyř prvků. Celkový počet hledaných přirozených čísel: 2. V 2 (5) – V 1 (4) 6 Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5.  Z Obrázek 2

16 V 2 (5) a V 1 (4) upravíme podle vzorce.Upravíme jmenovatele zlomků.Vypočteme faktoriály.Dopočítáme příklad. Trojciferných čísel dané vlastnosti je 36. 6 Z Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Obrázek 1

17 Počet V 2 (n) všech variací bez opakování druhé třídy z n prvků má být roven 210. Řešením rovnice V 2 (n) = 210 určíme hledaný počet prvků. 7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? Z Obrázek 2

18 V 2 (n) upravíme pomoci vzorce.Rozložíme vyšší faktoriál na nižší.Zapíšeme podmínku řešitelnosti faktoriálu.Řešíme vzniklou rovnici.Vyřešíme kvadratickou rovnici.Rozhodneme, zda kořeny n 1 a n 2 vyhovují zadání úlohy. 7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování?  Obrázek 1

19 Kořeny kvadratické rovnice:n 1 = 15n 2 = – 14 Podmínka řešitelnosti faktoriálu:n  2; n  N Z podmínky řešitelnosti faktoriálu vyplývá, že výsledek n 2 = – 14 kvadratické rovnice není řešením slovní úlohy. Počet prvků množiny nemůže být záporný. 7 Variace bez opakování druhé třídy tvoříme z 15 prvků. Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování?  Z Obrázek 1

20 Uspořádané dvojice, v nichž se žádný prvek neopakuje, jsou variace bez opakování druhé třídy z n prvků a jejich počet zapíšeme V 2 (n). Uspořádané čtveřice, v nichž se žádný prvek neopakuje, jsou variace bez opakování čtvrté třídy z n prvků a jejich počet zapíšeme V 4 (n). Řešením rovnice 20. V 2 (n) = V 4 (n) určíme hledaný počet prvků. Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 8 Z Obrázek 2

21 V 2 (n) a V 4 (n) upravíme pomoci vzorce.Rozložíme vyšší faktoriál na nižší.Zapíšeme podmínku řešitelnosti faktoriálu.Upravíme zlomky - krátíme.Řešíme vzniklou rovnici. 8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje.  Obrázek 1

22 Vyřešíme kvadratickou rovnici.Rozhodneme, zda n 1 a n 2 vyhovují zadání slovní úlohy. 8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje.   Obrázek 1

23 8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. Kořeny kvadratické rovnice:n 1 = 7n 2 = – 2 Podmínka řešitelnosti faktoriálu:n  4; n  N Z podmínky řešitelnosti faktoriálu vyplývá, že výsledek n 2 = – 2 kvadratické rovnice není řešením slovní úlohy. Počet prvků množiny nemůže být záporný. Hledaný počet prvků množiny je 7.  Z Obrázek 1

24 Zdroje obrázků: Obrázek 1 pdclipart.org: [cit. 2011-01-06] Dostupný pod licencí Public domain na WWW: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=514 Obrázek 2 pdclipart.org: [cit. 2011-01-06] Dostupný pod licencí Public domain na WWW: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=281