Sčítáme, odčítáme hodně

Prezentace na téma: "Sčítáme, odčítáme hodně"— Transkript prezentace:

1 Sčítáme, odčítáme hodně
velká čísla Páťáci a matematika II + 200 - 60 n 5 MA 1 TE 2 TI 3 KA 4 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV). Téma Sčítáme, odčítáme hodně velká čísla navazuje na 1. téma kolekce Páťáci a matematika, v němž se žáci seznámili s čísly třídy miliard i většími a na téma X, kolekce Čtvrťáci a matematika, v němž se žáci naučili sčítat a odčítat pamětným i písemným postupem čísla do miliónu. V tomto tématu se obdobným způsobem naučí sčítat a odčítat miliardy. V aplikačních úlohách poznají že je i v běžném životě potřeba ovládat sčítání a odčítání takto velkých čísel. Žáci pracují s pracovními listy, po spuštění prezentace si mohou řešení úloh opravovat samostatně podle tabule. .

2 Řada přirozených čísel je nekonečná. To znamená, že ke každému přirozenému číslu je možno přičíst číslo 1. K zapsaným číslům určete čísla o 1 větší. n + 1 n Vyučující probírá uvedené úkoly pouze na tabuli. Při tom podněcuje žáky, aby i sami napsali hodně velké číslo a určovali k němu i číslo o jednu větší.

3 1.Sčítání odčítání pamětným postupem (stamilióny)
Zapište znázorněné příklady sčítání a odčítání. = = = = = = = = (1) Na těchto příkladech žáci poznávají, že v určitých případech lze sčítat a odčítat pamětným postupem i hodně velká čísla (2) Vypočítejte = = = = 2. = = = =

4 Vypočítejte a doplňte tabulku.
Přičítání 1 až x +1 x +10 x +100 x x x x x x x x Vypočítejte a doplňte tabulku. 1. (3) Na těchto příkladech si žáci upevňují poznatky o řádu číslice.

5 Vypočítejte a doplňte tabulku.
Odčítání 1 až x - 1 x - 10 x - 100 x x x x x x x x Vypočítejte a doplňte tabulku. 1. (4) Na těchto příkladech si žáci upevňují poznatky o řádu číslice.

6 Sčítání, odčítání, nejvýše dvě číslice různé od 0
+ 200 - 60 + 15 - 500 1. Počítejte a výsledky doplňte do rámečků. = = = = = = = 2. Vypočítejte = = = = = = = (5) Žáci si uvědomují, že i s některými velkými čísly lze pracovat stejně jako s čísly malými, která sčítají a odčítají pamětným postupem. (6)

7 Sčítání, odčítání miliard, miliónů
= = = = = = Vypočítejte 1. = = = = = = = = = = = = 2. = = = = = = Vypočítejte 320 (7) Žáci si upevňují poznání že i s některými velkými čísly lze pracovat stejně jako s čísly malými, která sčítají a odčítají pamětným postupem. (8)

8 Součet, rozdíl/ doplňování číslic
= = Rozdíl čísel 57 a 32 je o menší než jejich součet. Oč menší je rozdíl čísel 57 a 32 než jejich součet? 1. 89 25 = 64 64 Oč menší je rozdíl čísel a než jejich součet? = = Rozdíl čísel a je o menší než jejich součet. = b) co největší _ _ - _ 4 _ = co nejmenší _ _ - _ 4 _ = c) co největší _ _ - _ _ _6 = co nejmenší _ _ - _ _ _6 = V zápisech čísel doplňte na volná místa čísllice tak, aby rozdíl čísel byl: co nejmenší _ - 3 _ = a) co největší _ - 3 _ = 2. 9 39 (9) Žáci poznávají na příkladech s menšími čísly postupy řešení úkolů, které budou provádět s čísly velkými. (10) 21 9 1 4 7 659 9 1 2 4 004

9 Rozdíl nejmenšího, největšího n - ciferného
trojciferného jednociferného čtyřciferného dvouciferného pěticiferného trojciferného šesticiferného čtyřciferného sedmiciferného pěticiferného osmiciferného šesticiferného devíticiferného sedmiciferného deseticiferného osmiciferného Určete rozdíl dvou čísel: nejmenšího a největšího čtyřciferného jednociferného = = = = = = = = 91 901 90 001 9 001 = = = = = = = 9 901 99 001 991 pěticiferného dvouciferného šesticiferného trojciferného sedmiciferného čtyřciferného osmiciferného pěticiferného devíticiferného šesticiferného deseticiferného sedmiciferného (11) Vyučující nepožaduje na žácích, aby zapsali všechny příklady, ale vede je k tomu aby přišli na to, jak je možno úkol vyřešit bez velkého počítání. (Připisujeme nuly mezi poslední devítku a číslici jedna.)

10 Určete rozdíl dvou čísel:
nejmenšího a největšího pěticiferného jednociferného sedmiciferného trojciferného osmiciferného čtyřciferného devíticiferného pěticiferného šesticiferného dvouciferného deseticiferného šesticiferného šesticiferného jednociferného sedmiciferného dvouciferného osmiciferného trojciferného devíticiferného čtyřciferného deseticiferného pěticiferného sedmiciferného jednociferného osmiciferného dvouciferného devíticiferného trojciferného deseticiferného čtyřciferného = = = = = = 9 991 99 901 = = = = = 99 991 (12) = = = =

11 Doplňování číslic do příkladů sč. odč.
osmiciferného jednociferného deseticiferného trojciferného devíticiferného dvouciferného Určete rozdíl dvou čísel: nejmenšího a největšího 1. devíticiferného jedociferného deseticiferného dvouciferného deseticiferného jednociferného = = = = = = 2. Na volná místa doplňte číslice tak, aby rovnosti byly pravdivé. 1. (12) 2. (13) _ = _ _7 7 5 8 _ _ = _ _24 9 6 1 _1 + _0 = _ 5 4 1 _ _ - _0 = 8 7 3 7 000 _ =_ _ _ 7 4 8 5 2 000 _ _ = _55 3 2

12 Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je
2. Rovnice, digram Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je 80 324 x n x = x = x = = x n = n = n = n = x = x = (14) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými n = n =

13 Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami.
Rovnice, úsečky Zapište a vyřešte rovnice znázorněné úsečkami. 1. s r r = r = = s = s = r r = s = s = = r s = Rovnice vyřešte 2. m = z = v = = n v = = n v = (15) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými. (16, 17) 0 = n = m = z = m = z = m = z

14 Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je.
Zapište znázorněné rovnice a vyřešte je. 1. n n = r = n = r = n = r = n = r = 70 (18) Žáci si uvědomují, že při řešení rovnic s velkými čísly se postupuje stejně, jako když řešili rovnice s čísly jednocifernými. (19) Vyřešte rovnice ( ) - s = 2. ( ) + v = s = v = = s v = = s v = = s

15 jižní 6 900 000 Kč severní 1 200 000 Kč západní 334 000 000 Kč celem x
Apl. Úloha V okolí města byla dokončena výstavba silnic, která stála na jižní straně Kč, na severní Kč a na západní straně Kč. Kolik stála výstvba silnic celkem? jižní severní západní celem Výstavba silnic v okolí měta stála celkem Kč Kč Kč x x (20) Žáci si uvědomují, že v běžné praxi je potřeba zvládnout počítání s velkými čísly x = x = Kč.

16 Na opravu silnic v České republice bylo v jednom roce věnováno
Apl. úloha Na opravu silnic v České republice bylo v jednom roce věnováno Kč, což je o Kč více než v předcházejícím roce. Kolik stála oprava silnic v předcházejícím roce? V předcházejícím roce stála oprava silnic tento rok tento rok více o minulý rok Kč Kč x x (21) Žáci si uvědomují, že v běžné praxi je potřeba zvládnout počítání s velkými čísly. Celkem má letos do oprav silnic směřovat zhruba 10,2 miliardy korun, což je ve srovnání s loňským rokem výrazně více. Nárůst o zhruba 4,4 miliardy korun je způsobený penězi, které ministerstvo slíbilo převést na jednotlivé kraje, aby mohly opravit komunikace druhých a třetích tříd. Částka na opravy silnic prvních tříd, dálnic a rychlostních silnic je zhruba totožná s loňskem. x = x = x = Kč.

17 Závorky se psát nemusí. Sčítance je možno libovolně zaměňovat.
Význam závorek ? (10 - 6) - 3 = 10 - (6 - 3) = 740 - ( ) = ( ) - 10 = 3. (10 + 6) - 3 = 10 + (6 - 3) = 740 + ( ) = ( ) - 10 = 4. 10 + (6 + 3) = (10 + 6) + 3 = ( ) + 10 = 740 + ( ) = 1. Vypočítejte a přemýšlejte o tom, kdy je nutné závorky psát a kdy je to zbytečné. (10 - 6) + 3 = 2. 10 - (6 + 3) = 740 - ( ) = ( ) + 10 = = 19 = 775 = 19 = 775 Závorky se psát nemusí. Sčítance je možno libovolně zaměňovat. 4 + 3 = 7 = 725 1 = = 705 Závorky se psát musí. Jestliže jedno číslo odečteme a druhé přičteme je výsledek jiný, než když odečteme součet. 4 - 3 = 1 = 705 = = 7 725 Závorky se psát musí. Jestliže odečteme nejdříve číslo a pak druhé je výsledek jiný, než když odečteme rozdíl dvou čísel. (22.) = 13 = 755 = 13 = 755 Výsledek se sice nezmění, jestliže jedno číslo přičteme a druhé odečteme nebo jestliže přičteme rozdíl dvou čísel, ale závorky je vhodné zapsat.

18 Rovnice, závorky Vyřešte rovnice ( n) = 0 ( r) = = n = n = n = n ( ) = 0 = 0 K: 0 = 0 = ( r) = r (23) = r r = r = ( ) = K: = =

19 Číslo 26 000 350 je o menší než číslo 260 000 350.
O n větší, menší O kolik je číslo menší než číslo ? 2. Štěpán si myslí číslo 1. Myslím si číslo , které je o 200 menší než největší šesticiferné číslo. n n 200 - 200 + 200 n n = n = + r - r r 1.(24) 2. (25) r = r = r = r = Číslo je o menší než číslo

20 Vypočtěte číslo, které je o 5 000 000 větší než rozdíl čísel
O několik větší Vypočtěte číslo, které je o větší než rozdíl čísel a 1. Vypočtěte číslo, které je o menší než největší deseticiferné číslo. Kontrola: 2. r = r = r = r = = = Kontrola: (26) 2. (27) v = v = v = = =

21 Rovnice o dvou neznámých
5 n 1 r s Zapište rovnice znázorněné diagramy a vyřešte je. m = 1 + n m + n = 5 r = s r + s = 1 + n + n = 5 s + s = 1 + 2n = 5 s = m = 1 + 2 2n = 5 - 1 2s = m = 3 2n = 4 2s = (28) Žáci sestavují soustavy dvou rovnic podle daných diagramů obdobně jako sestavovali podle diagramů jednouché rovnice. Vhodně volenými otázkami vyučující vede žáky k tomu, aby přišly na to, jak budou postupovat při řešení. (V dosazovací metodě vyjádříme jednu z neznámých v jedné rovnici a tento výsledek poté vložíme do druhé rovnice.) n = 4 : 2 r = s = : 2 n = 2 r = s = 3 + 2 = 5 Kontrola: =

22 Rovnice o dvou neznámých
Dvojici rovnic znázorněte a vyřešte. x = y x + y = x y y + y = y = 2 y = 2 y = (29) x = y = : 2 x = y = Kontrola: = =

23 Rovnice o dvou neznámých
10 x y Zapište rovnice znázorněné diagramy a vyřešte je. v = 0 + z v + z = 10 x = y + 0 x + y = v + v = 10 v = z x + x = x = y 2 v = 10 2 x = v = 10 : 2 x = : 2 z = 5 (30) v = 5 y = x = 5 - 5 = 0 0 = 0 5 + 5 = 10 10 = 10 = = 0

24 Bartůňkovi kupují dva byty. Pro babičku byt 1 + 1 a pro sebe 3 +1.
Apl. úloha Bartůňkovi kupují dva byty. Pro babičku byt a pro sebe 3 +1. Za oba byty zaplatí Kč. Třípokojový byt je o Kč dražší než jednopokojový. Kolik stojí každý z bytů? třípokojový jednopokojový oba byty Třípokojový byt stojí Kč a jednopokojový Kč. y x y x y o více x = y x + y = y + y = y = x = 2 y = (31) Žáci poznávají, že je i v běžném životě potřeba umět sčítat a odčítat velká čísla. x = 2 y = y = : 2 y =

25 Když číslo, které si myslím sečteme s číslem,
Myslím si číslo Věra Radek Myslím si číslo. Když k němu přičtu a odečtu 600, dostanu číslo, které je o větší než číslo Když číslo, které si myslím sečteme s číslem, které si myslíš ty, bude součet r = v + r = (32) Vyučující podněcuje žáky, aby se pokusili sami sestavit obdobnou úlohu. r = v = r = v = r = v = r = Radek si myslí číslo Věra si myslí číslo

26 Součet více čísel, jak se změní
Vyřešte Součet pěti čísel, z nichž jedno je 76, je 92. Číslo 76 změníme na 29. Jak se změní součet? Součet se změní na číslo a + b d + e = 92 = 47 a + b d + e = x = 45 92 45. Součet pěti čísel, z nichž jedno je , je Číslo změníme na Jak se změní součet? Součet se změní na číslo a + b d + e = = 3 087 (33) Uvedená úloha je velmi náročná a je obdobná jako úlohy, které se vyskytují v různých matematických soutěžích a IQ testech. a + b d + e = x =

27 3.Písemný postup, odhad výsledku
Zaokrouhlete na miliardy, odhadněte výsledek a pak vypočítejete = = = (34) Žáci poznávají, že se i hodně velká čísla jednoduše sčítají a odčítají písemnými postupy. =

28 Na volná místa doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné.
Psemný postup 1. Vypočítejte 4 7_ _ 09_ 705 3 _67 3_7 6_5 _ 699 _84 _3_ _8_ _06 _ _94 2_3 7_5 11 4_ _ _ 6 _57 9_1 73_ _ 9_1 46_ 4_2 9 81_ _11 _70 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2. Na volná místa doplňte čísla tak, aby výpočty byly správné. 3 2 6 8 6 9 1 4 9 6 8 9 4 8 3 1 9 8 2 9 6 4 3 2 8 9 8 9 2 5 3 9 8 4 3 7 51_ 03_ _05 - _ 8_6 9_6 1_9 4 _41 _88 51_ 9 _82 4_5 31_ - _ 8_1 98_ 8_8 2 76_ _77 _19 7 1_9 _46 1_3 - 2 _8_ 9_8 _67 _ _ 05_ 1 _06 _35 _54 - 92_ 8_1 07_ 8_8 07_ 3_5 8 7 6 (35) (36) 4 6 8 7 2 5 4 7 6 7 9 4 4 7 8 5 8 2 6 2 8 7 6 4 9 7 9 4 2 6 4

29 Více sčítanců 1. Vypočítejte = ( ) = = ( ) = (37) Na uvedených příkladech si žáci uvědomují, že při sčítání a odčítání hodně velkých čísel je potřeba umět přepsat pamětný postup na písemný.

30 Pevnina na Zemi tvořená světadíly má rozlohu
Jakou rozlohu má na Zemi pevnina tvořená světadíly? Antarktida Afrika Australie Evropa Asie Jižní Amerika Severní Evropa km Asie km Afrika km Amerika km Australie km Antarktida km pevnina x km 2 2 2 2 2 2 2 x (38) Uvedenou úlohu je vhodné propojit s vyučováním zeměpisného charakteru. Údaje o rozlohách jednotlivých světadílů se v různých zdrojích poněkud liší a na to je třeba žáky upozornit. km. 2 Pevnina na Zemi tvořená světadíly má rozlohu

31 Apl. úl. Počet lidí na Zemi
Počty obyvatel jednotlivých světadílů jsou zaokrouhleny na milióny. Určete, kolik lidí nejméně a kolik nejvýše žije na Zemi. Evropa Asie Amerika Austrálie Afrika Antarktida Země počty obyvatel zaokrouhleny na milióny nejméně nejvýše Na zemi pravděpodobně žije nejméně a nejvýše lidí. 1 (39) (Odhad světové populace ke je lidí. [1])

32 Rovnice r = s = v = Vyřešte rovnice r = r = s = s = (40) = v = v = v

33 znázorněno. Zapište alespoň některé z nich.
Tři sčítanci ? Kolik různých příkladů sčítání, odčítání i s použitím závorek je diagramem znázorněno. Zapište alespoň některé z nich. = = = ( ) = ( ) = ( ) ) = (41) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =

34 Tatínek Jirky vydělá měsíčně 34 250 Kč, jeho maminka vydělá 28 560 Kč.
Apl. úloha tatínek maminka celkem nájemné zbývá Tatínek Jirky vydělá měsíčně Kč, jeho maminka vydělá Kč. Nájemné platí Kč měsíčně. Kolik jim zůstane na ostatní výdaje? (elektřina, voda, potraviny, oděvy, spoření na dovolenou) Rodičům Jirky zbývá na ostatní výdaje po zaplacení nájemného 34 250 28 560 c Kč Kč Kč c z c z 14 200 = c 34 250 28 560 z = c 62 810 = c z = (42) 62 810 z = 48 610 z = Kč.

35 Celkový povrch naší planety Země je 510 066 000 km.
Tvoří ho pevnina a vodní plocha. Rozloha pevniny je km. Jakou rozlohu má vodní plocha na Zemi? 2 Větší rozlohu má pevnina nebo vodní plocha? O kolik km se liší? Antarktida Afrika Australie Evropa Asie Jižní Amerika Severní n v v povrch pevnina vodní plocha km 2 km 2 větší o n km 2 v v = n v = v = = n v = = n (43) Uvedenou úlohu je vhodné propojit se zeměpisným vyučováním. = n Vodní plocha na Zemi má rozlohu km 2 Rozloha je o větší než rozloha vodní plochy 2 km pevniny.

36 bylo v pokladně přijala vydala za platy vydala za zboží odeslala
Účetní v jedné firmě vydala z pokladny za platy zaměstnancům Kč, za dodané zboží Kč a přijala za prodané zboží Kč. Do banky odeslala všechny peníze z pokladny a to Kč. Kolik korun měla původně v pokladně? bylo v pokladně přijala vydala za platy vydala za zboží odeslala Účetní měla původně v pokladně x Kč Kč Kč Kč x x = x = (44) Uvedená úloha je poměrně náročná. Vyučující vede žáky vhodně volenými otázkami k tomu, že je potřeba nejdříve určit celkovou finanční částku, kterou měla účetní k dispozici. Žáky je možno vést i k tomu, aby našli i jiný možný postup řešení. x = 7 250 x = 7 250 7 250 Kč.