Geometrická posloupnost – základní pojmy Střední odborná škola Otrokovice Geometrická posloupnost – základní pojmy Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Iva Kočtúchová Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika DUM Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /2 Autor Mgr. Iva Kočtúchová Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-ME-M/4-MA-2/10 Název DUM Geometrická posloupnost – základní pojmy Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 26-41-L/01 Obor vzdělávání Mechanik elektronik Vyučovací předmět Matematika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 18 – 19 let Anotace Výukový materiál je určený k základních pojmů geometrické posloupnosti náplň: prezentace k výkladu o geometrické posloupnosti Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Geometrická posloupnost, kvocient, základní vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti Datum 8. 1. 2013

Geometrická posloupnost – základní pojmy Náplň výuky Geometrická posloupnost Kvocient Základní vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti Ukázkové úlohy na geometrickou posloupnost

Geometrická posloupnost Posloupnost, ve které je podíl každých dvou po sobě jdoucích členů konstantní, se nazývá geometrická. Podíl 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a značíme ho q

Vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti výpočet n-tého členu: ∀n∈N; a n = a 1 . q n−1 vzorec pro dva libovolné členy: ∀r,s∈N; a r = a s . q r−s součet prvních n členů: ∀n∈N; s n = a 1 . q n −1 q−1 , pokud q≠1 ( s n =n. a 1 , pokud q=1)

Odvození vzorce pro n-tý člen V geometrické posloupnosti je dáno: 𝑎 1 , 𝑞 Dále platí: 𝑎 2 = 𝑎 1 .𝑞 𝑎 3 = 𝑎 2 .𝑞= 𝑎 1 .𝑞.𝑞= 𝑎 1 . 𝑞 2 𝑎 4 = 𝑎 3 .𝑞=…= 𝑎 1 . 𝑞 3 𝑎 5 = 𝑎 4 .𝑞=…= 𝑎 1 . 𝑞 4 atd. …. a n = a 1 . q n−1

Řešené příklady: Určete pátý člen geometrické posloupnosti, pro kterou platí: 𝑎 1 =−6, 𝑞=3 Použijeme vzorec pro výpočet n-tého členu 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛−1 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5−1 Dosadíme 𝑎 5 =−6. 3 4 𝑎 5 =−6 . 81 𝑎 5 =−486 Pátý člen geometrické posloupnosti je roven -486

2. Určete součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti, pro kterou platí: 𝑎 1 =3;𝑞= 1 2 Použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti s n = a 1 . q n −1 q−1 𝑠 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5 −1 𝑞−1 Dosadíme 𝑠 5 =3 . 1 2 5 −1 1 2 −1 =3. 1 32 −1 1−2 2 =3. 1−32 32 − 1 2 =3. −31 32 − 1 2 =3. 62 32 = 186 32 =5 13 16 Součet prvních pěti členů geometrické posloupnosti je 5 13 16 .

kvocient této posloupnosti. 3. V geometrické posloupnosti je dáno: 𝑎 5 =−8; 𝑎 8 =−64. Určete první člen a kvocient této posloupnosti. Oba členy si vyjádříme pomoci prvního členu a kvocientu 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 4 𝑎 8 = 𝑎 1 . 𝑞 7 Po dosazení řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých metodou dosazovací −8= 𝑎 1 . 𝑞 4 −64= 𝑎 1 . 𝑞 7 Z první rovnice vyjádříme 𝑎 1 a dosadíme do druhé rovnice 𝑎 1 = −8 𝑞 4 ⇒ −64= −8 𝑞 4 . 𝑞 7 8= 𝑞 3 𝑞=2 Dopočítáme 𝑎 1 𝑎 1 = −8 2 4 ⇒ 𝑎 1 =− 1 2 Řešení : 𝑎 1 =− 1 2 ;𝑞=2

Jiný způsob řešení užijeme vzorec 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠. 𝑞 𝑟−𝑠 𝑎 8 = 𝑎 5 Jiný způsob řešení užijeme vzorec 𝑎 𝑟 = 𝑎 𝑠 . 𝑞 𝑟−𝑠 𝑎 8 = 𝑎 5 . 𝑞 8−5 −64=−8. 𝑞 3 𝑞 3 =8 𝑞=2 dopočítáme první člen dosazením do vzorce 𝑎 𝑛 = 𝑎 1 . 𝑞 𝑛−1 zvolíme např. 𝑎 5 𝑎 5 = 𝑎 1 . 𝑞 5−1 −8= 𝑎 1 . 2 4 𝑎 1 =− 1 2

4. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže a 1 − a 2 + a 3 = 15, a 4 − a 5 + a 6 =120 Každý člen posloupnosti vyjádříme pomoci prvního členu a kvocientu: 𝑎 1 − 𝑎 2 + 𝑎 3 = 15 𝑎 4 − 𝑎 5 + 𝑎 6 =120 𝑎 1 − 𝑎 1 .𝑞 + 𝑎 1 . 𝑞 2 = 15 𝑎 1 . 𝑞 3 − 𝑎 1 . 𝑞 4 + 𝑎 1 . 𝑞 5 =120 V první rovnici vytkneme 𝑎 1, ve druhé 𝑎 1 , 𝑞 3 𝑎 1 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =15 𝑎 1 . 𝑞 3 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =120 Z první rovnice vyjádříme 𝑎 1 a dosadíme do druhé rovnice 𝑎 1 = 15 1−𝑞+ 𝑞 2 ⇒ 15 1−𝑞+ 𝑞 2 . 𝑞 3 . 1−𝑞+ 𝑞 2 =120 Po zkrácení platí 15. 𝑞 3 =120 Řešením rovnice dostaneme 𝑞 3 =8 𝑞= š 8 ⇒ 𝑞=2 Dosazením dopočítáme 𝑎 1 𝑎 1 = 15 1−2+4 ⇒ 𝑎 1 =5 Řešení: a 1 =5;q=2

Kontrolní otázky: Jaký je rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností? Co je to kvocient geometrické posloupnosti? Jaké znáš vzorce pro výpočet geometrické posloupnosti?

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury:

Děkuji za pozornost 