Operace s mocninami s celočíselným mocnitelem Souhrnný přehled učiva + řešené i neřešené příklady.

Obsah: Mocnina s přirozeným mocnitelem Sčítání a odčítání mocnin Násobení mocnin Dělení mocnin Umocňování mocnin Přezkoušej se Několik zajímavostí o mocninách

Mocnina s přirozeným mocnitelem Příklad : Součin n stejných činitelů a zapisujeme ve tvaru an. n činitelů a.a.a.a............a.a an

Výraz an je n-tá mocnina libovolného čísla a, kde n je přirozené číslo. (exponent)

Vlastnosti mocnin s přirozeným mocnitelem Když a=0, potom platí: 01=02=03= ........ 0n=0. Každá přirozená mocnina nuly sa rovná nule. Když a>0, potom mocnina je kladné číslo. Například 26=2.2.2.2.2.2=64; 0,53=0,5.0,5.0,5=0,125. Když a<0, potom například (-3)2=(-3).(-3)=+9; (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)=+625 Když n je sudé, mocnina je kladné číslo, (-3)3=(-3).(-3).(-3)=-27; (-5)5=(-5).(-5).(-5).(-5).(-5)=-3 125 Když n je liché, mocnina je záporné číslo.

Úlohy na procvičování: Zapište součin ve tvaru mocniny: 2x.2x.2x.2x.2x.2x = (-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) = (x+1).(x+1).(x+1) = Zapište mocninu ve tvaru součinu: 75 = (-0,4a)4 = (2+x)2 = Napište mocninu, která má základ -0,1 a exponent 5. Výsledek mocniny (3-2.5)6 bude kladný nebo záporný?

Sčítání a odčítání mocnin Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele, a to tak, že sčítame jejich koeficienty. Příklad: 5x2 – 3 + 6x + 7x2 + 2 = (5x2+7x2) +6x +(-3+2) = = (5+7)x2 + 6x + (-1) = Sčítance vhodně seskupíme koeficienty spočítáme = 12x2 + 6x - 1

Vzorové řešení úloh: 4x2 +2y3 -5z -10x2 -2y3 +7z = = (4x2-10x2)+ seskupíme sčítance = (4x2-10x2)+ (2y3-2y3)+ (-5z+7z) = = -6x2 +2z vypočítame 4a2 -7b 4a2 -7b - 5(3a2 - b) = -15a2 + 5b = (-7b +5b) = = (4a2 - 15a2) + = -11a2 + (- 2b ) = -11a2 - 2b vypočítáme seskupíme sčítance odstraníme závorky

Úlohy na procvičování: 7a2-6a+11a2+5a = 13m3-12m2+11m-9m2-7m3 = 36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2 = 8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n = 11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) = 12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) = 4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) = 5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] =

Násobení mocnin Příklad : Mocniny se stejným základem násobíme tak, že základ umocníme součtem mocnitelů. an.am = an+m m,n N

Vzorové řešení úloh: 5d2.(-7d ) = 5.(-7) d2+1 = -35d3 1 vynásobíme koeficienty 5d2.(-7d ) = 5.(-7) d2+1 = -35d3 1 vynásobíme mocniny se stejným základem vynásobíme koeficienty 0,8x y2z3.10x2y z = 0,8.10 x1+2 y2+1 z3+1 = 1 1 1 = 8x3y3z4 vynásobíme mocniny se stejným základem (12-6m)x(12-6m)2y = (12-6m)x+2y vynásobíme mocniny se stejným základem

Úlohy na procvičování: 6y2.y3 = 3x2y.5xy2 = a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)= 0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) = -3xy3.(-4x5) = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost: x.53 = 57 38.3x = 310 23.x4 = 27

Dělení mocnin Příklad : Mocniny se stejným základem dělíme tak, že základ umocníme rozdílem mocnitelů. am : an = am-n m,n N, a≠0

Mocnitel nula Když m = n a současně x≠0, platí: tedy Každé číslo (různé od nuly) umocněné na nultou se rovná jedné. a0 = 1 a ≠ 0 , ale také , .

Záporný mocnitel Když m < n a současně x≠0, platí: tedy Mocnina se záporným mocnitelem se dá zapsat jako zlomek: a≠0,s N , ale také , .

Vzorové řešení úloh: 18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5 1 vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem 18m7n8:9m5n3 = (18:9) m7-5 n8-3 = 2m2n5 vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem (-0,2x7y8z9) : (-0,04x6y z9) = 1 = [(-0,2):(-0,04)] x7-6 y8-1 z9-9 = 5x1y7z0 = 5xy7 x1 = x z0 = 1

vydělíme mocniny se stejným základem vydělíme koeficienty vydělíme mocniny se stejným základem 7c5 : (-2c8) = [7:(-2)] c5-8 = = -3,5c-3 = -3,5.

Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost: Úlohy na provičování: 91x5:(-7x4) = 18m7n8:9m5n3 = 6k3:3k7 = 0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) = 12c3d2:(-15c5d3) = (-24k8h3):36k7h5 = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnost: 38:3x = 35 10x:1000 = 10

Umocňování mocnin Příklad: Mocninu umocníme tak, že základ umocníme součinem mocnitelů. (an)m = an.m m,n N

Mocnina součinu Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. Příklad 1.: Příklad 2.: Součin umocníme tak, že umocníme každého činitele. (a.b)n = an.bn n N

Mocnina zlomku (podílu) Příklad 1. : Příklad 2. : Zlomek umocníme tak, že umocníme čitatele i jmenovatele zlomku. b≠0, n N

Vzorové řešení úloh: 8x6y9z3 (2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 1 umocníme činitele 8x6y9z3 (2x2y3z )3 = 23 x2.3 y3.3 z1.3 = 1 umocníme činitele 9a10b14 (-3a5b7)2 = (-3)2 a5.2 b7.2 = vypočítame výraz v závoce umocníme činitele [(-3a2b )3.2b]2 = [(-3)3 a2.3 b1.3.2b]2 = 1 [(-27.2)a6b3+1]2 = = (-27a6b3.2b )2 = 1 = (-54a6b4)2 = (-54)2 a6. 2 b4. 2 = 2916 a12 b8

Úlohy na procvičování: (4a3b2)3 = (-5x2y3)2 = (-2a5b)7 = Zapište jako mocninu se základem 2: Zapište jako mocninu se základem 3:

PŘEZKOUŠEJ SE Následuje 20 úloh na ověření vědomostí o mocninách s celočíselným mocnitelem. Při každé úloze jsou navrženy čtyři možnosti, ale jen jedna z nich je správná. Označ ji kliknutím na písmeno před ní. Přeji mnoho úspěchů !

1.) Který ze zápisů je správný ? (A) y+y+y+y = y4 (B) 3x.3x.3x.3x = 3x4 (C) 2a+2a+2a+2a = 2a3 (D) 5k.5k.5k.5k = (5k)4

Správně dále

(A) 3a2- 4a (B) 3a2+4a (C) 9a2+9a (D) 9a2- 4a 2.) 11a2-(-6a)+(-5a2)-(2a+3a2) = (A) 3a2- 4a (B) 3a2+4a (C) 9a2+9a (D) 9a2- 4a

Správně dále

3.) Mocnina, které základ je -4y a mocnitel je 6 se dá zapsat jako: (A) - 4y6 (B) -(4y)6 (C) (- 4y)6 (D) (4y)6

Správně dále

4.) Která z následujících rovností neplatí ? (B) -54 = (-5)4 (C) (53)2 = (52)3 (D) 5.53 = (52)2

Správně dále

5.) Který ze zápisů je správný ? (A) 2a.(-3ab2).4b = 24a2b3 (B) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b2 (C) 2a.(-3ab2).4b = -24a2b3 (D) 2a.(-3ab2).4b = -24a3b2

Správně dále

6.) Které z uvedených čísel je nejmenší ? (A) 13,23 (B) (-500)3 (C) 5003 (D) (-13,2)3

Správně dále

7.) Výraz (-10x2y3)3 se dá upravit na tvar (A) 100x6y3 (B) 1000x6y27 (C) -100x5y6 (D) -1000x6y9

Správně dále

8.) - 42x4y2:7x2y = (A) -8x2y2 (B) 6x2y (C) -6xy2 (D) -6x2y

Správně dále

9.) Kolik je osmina z čísla 87 ? (B) 81 (C) 77 (D) 86

Správně dále

10.) (A) (C) (B) (D)

Správně dále

Správné řešení úloh 1 až 10

11.) Který ze zápisů je nesprávný ? (A) (-17)2 = 172 (B) (C) - 5,12 = (- 5,1)2 (D) - 43 = (- 4)3

Správně dále

(A) 2y (B) 8y2-2y (C) 3y2+2y (D) 12y2+2y 12.) 13y2-(3y+6y2)-(-5y)+(-7y2) = (A) 2y (B) 8y2-2y (C) 3y2+2y (D) 12y2+2y

Správně dále

13.) Kterým výrazem musíme dělit 12a3, aby jsme dostali -3a ? (B) - 4a2 (C) 4a2 (D) - 4a

Správně dále

14.) (-k2)3 = (A) k5 (B) -k5 (C) -k6 (D) k6

Správně dále

15.) 4x2.(-5x3) = (A) -20x6 (B) -20x5 (C) -20x (D) 20x5

Správně dále

16.) Který ze zápisů je správný ? (A) -30x4:6x = 5x3 (B) -30x4:6x2 = -5x2 (C) -30x4:(-6x) = 5x2 (D) -30x4:(-6x) = -5x3

Správně dále

se dá upravit na tvar 17.) Výraz (A) (C) (B) (D)

Správně dále

18.) Který ze zápisů je nesprávný ? (A) 34.315 = 319 (B) 2x2.3x4 = 6x6 (C) 5a2y3.2ay5 = 10a3y15 (D) 15xy2.(-2x2y) = -30x3y3

Správně dále

19.) -10x3y4 : 2xy3 = (A) -5x2y (B) -5xy (C) 5xy2 (D) -10x2y

Správně dále

20.)Výraz (-m5).(-7m3).(-m2).2m3 sa dá upraviť na tvar (A) 14m19 (B) -14m90 (C) -14m13 (D) 14m13

Správně

chybně zkus to ještě jednou

Správné řešenía úloh 1 až 20 výsledky úloh 11 až 20

Na závěr několik zajímavostí:

Zajímavé vlastnosti mají druhé a třetí mocniny takových přirozených čísel, kterých desítkový zápis obsahuje pouze číslice 1 nebo 9. Čísla (nebo slova), které jsou stejné při čtení zprava nebo zleva, nazýváme PALINDRÓMY. Tuto vlastnost mají například druhé mocniny čísel složených ze samých jedniček:

Nippur

Konec Autor : RNDr. Mária Székelyová Kontakt: szekelyova@centrum.sk Překlad do českého jazyka : IP@RK ( hrbok8.seznam.cz) Použitá literatúra

Nippur Schopnosti starovekých Babylončanov v matematike a geometrii poznáme, okrem iného, z asi 300 hlinených tabuliek ( z celkového počtu vyše 50 000) vykopaných v blízkosti zrúcanín starobylého mesta Nippur. Záhadné nápisy na nich rozlúštil roku 1847 Henry Rawlinson. Niektoré z nich pochádzajú zo Sumerskej ríše okolo roku 2100 pred n. l., väčšina z obdobia prvej Babylonskej dynastie kráľa Chammurappiho (okolo roku 1700pred n.l.) a z novobabylonského kráľovstva za kráľa Nabukadnesara (asi 500 pred n.l.). Babylonská matematika bola orientovaná čisto prakticky. Vedeli vtedy vyrátať plošný obsah trojuholníkov (všeobecných, pravouhlých aj rovnostranných), obsah kruhu, objem kužeľa a pod.

Výsledky úloh: 2x.2x.2x.2x.2x.2x = (2x)6 Zapíšte súčin v tvare mocniny: 2x.2x.2x.2x.2x.2x = (2x)6 (-3,5b).(-3,5b).(-3,5b) =(-3,5b)3 (x+1).(x+1).(x+1) = (x+1)3 Zapíšte mocninu v tvare súčinu: 75 = 7.7.7.7.7 (-0,4a)4 = (-0,4a).(-0,4a).(-0,4a).(-0,4a) (2+x)2 = (2+x).(2+x) Napíšte mocninu, ktorá má základ -0,1 a exponent 5. (-0,1)5 Výsledok mocniny (3-2.5)6 bude kladný alebo záporný? Kladný, lebo mocniteľ je párny.

Výsledky úloh: 7a2-6a+11a2+5a = 18a2-a 13m3-12m2+11m-9m2-7m3 = 6m3-21m2+11m 36a2-64ab+25b2-16a2+27ab+9b2=20a2-37ab+34b2 8,5n2-12,6n-3,6n2-11,7n = 4,9n2-24,3n 11x2-(-6x)+(-5x2)-(2x+3x2) = 3x2+4x 12k3-3k2-4(5k3+k2)-7(-9k2) = -8k3+56k2 4y-[5y2-(13y2-6y)]-(2y-3y2) =11y2-4y 5r-(12r2-2r)-[5r-(2r-12r2)] = -24r2+4r

Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: Výsledky úloh: 6y2.y3 = 6y5 3x2y.5xy2 = 15x3y3 a3b7.( -3a2bc6).(-2a5c3)= 6a10b8c9 0,5abc3.3a2c.(-2b4c2) = -3a3b5c6 -3xy3.(-4x5) = 12x6y3 Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: x.53 = 57 , x = 54 38.3x = 310 , x = 2 23.x4 = 27 , x = 2

Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: Výsledky úloh: 91x5:(-7x4) = -13x 18m7n8:9m5n3 = 2m2n5 6k3:3k7 = 2k -4 = 0,8a13b3c4:(-0,2a6b3c3) = -4a7c 12c3d2:(-15c5d3) = -0,8c-2d-3 = (-24k8h3):36k7h5 = Dosaďte za x číslo tak, aby platila rovnosť: 38:3x = 35 , x = 3 10x:1000 = 10 , x = 4

Výsledky úloh: (4a3b2)3 = 64a9b6 (-5x2y3)2 = 25x4y6 Zapíšte ako mocninu so základom 2: (-2a5b)7 = -128a35b7 Zapíšte ako mocninu so základom 3:

1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.D 9.D 10.D

11 C 12.A 13.B 14.C 15.B 16.B 17.D 18.C 19.A 20.C ďalej

1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.B 7.D 8.D 9.D 10.D 11 C 12.A 13.B 14.C 15.B 16.B 17.D 18.C 19.A 20.C ďalej

Použitá literatúra: BÁLINT, Ľ. et al. 2002. Vzdelávací štandard s exemplifikačnými úlohami z matematiky pre 2. stupeň základnej školy. ISBN 80-7098-294-2. BUŠEK, I. et al.1995. Zbierka úloh z matematiky pre 8. ročník základných škôl. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo. ISBN 80-08-00275-1. ČÁPOVÁ, M.,KOLBASKÁ,V. 2003. Nebojte sa písomných prác z matematiky. Druhé doplnené vydanie. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo. ISBN 80-10-00016-7 FRÜHAUFOVÁ, H. 2006. Zbierka cvičení a testov z matematiky 1. časť. Komárno : VARIA PRINT s.r.o. ISBN 80-89181-11-2 PAVLIČ, G. 2001.Školská encyklopédia matematiky. Bratislava : Príroda s.r.o. ISBN 80-07-01147-1 ŠEDIVÝ, O. et al. 2002. Matematika pre 8. ročník základných škôl 1. časť. Druhé vydanie. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo. ISBN 80-08-03441-6.