Okénková Fourierova transformace waveletová transformace translace, dilatace a > 0,  R   R

h a,  =>  a,b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave... osciluje - ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle -   = 0 -  |  | 2 <  - FT(  ) a,b v 0 - 0, v  něco jako band-pass filtr ve FT Waveletová transformace  a,b  x - b a > 0,  R b  R, normalizace přes škály < ∞ 2

Haar waveleta Mexican hat waveleta

Shannon waveleta Morlet waveleta

Daubechies 4 waveleta

c - záleží na  Spojitá waveletová transformace  a,b * a, b  a,b a, b a > 0,  R b  R REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b WF(a,b) =  f (t),  a,b 

„ time“ vzorkování u nízkých frekvencí – řídké stačí log a b a vzorkované na log stupnici b vzorkované hustěji u malého a Dyadická síť – diskretizace a, b obvykle a 0 = 2 a b 0 = 1, což vede na dyadickou síť

Dyadická waveletová transformace - waveletové řady -  < m, n <  m, n  Z Přeurčenost binární škálování - zmenšování o faktor 2 dyadický posun - posun o k/2 j  m,n - ortonormální báze L 2 (R)   m,n,  k,l  =  m,k  n,l f(x) =   c m,n,  m,n c m,n =  f (x),  m,n  -     a,b  x - b

Diskrétní waveletová transformace - cesta Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x),  m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval jj j = 2 m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2 j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2 m  j, n = j - 2 m Diskretizace f … f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  -   spojité

Diskrétní waveletová transformace Kompaktní dyadická waveleta jj Diskretizace f …. f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  =  f(x)  j 1 N 1 N diskrétní

FT - spojitá funkce x spojitá funkce   FŘ- periodická funkce x řada koeficientů   DFT- navzorkovaná funkce x navzorkované spektrum   SWT - spojitá funkce x spojité a,b   WŘ- spojitá funkce x řada koeficientů   DWT- navzorkovaná funkce x konečná řada koeficientů  

Waveletová transformace - dekompozice

V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

Waveletová dekompozice funkce f základ +  detaily různého měřítka VjVj V j0 W J-1

Mutliresolution analysis (MRA) - postup pro konstrukci ortonormálních bází - L 2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů V i - každé V i odpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovací funkce 

Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance

funkce  ij (x), kde tvoří ortonormální bázi V i …škálovací funkce „father wavelet“ P i (f) - ortonormální projekce f do V i, pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) V i+1 - V i ortonormální doplněk W i shift invariance

každý W i je generován posuny  i, j waveleta Platí: škálová invariance translační invariance ortonormalita W i a W k waveletové koeficienty

Waveletová transformace - dekompozice V j0 VjVj W j0 W j-1

waveletové koeficienty  …vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový   (=1) -   = 0 -  a FT(  ) dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní ,  - nulové krom určitého konečného intervalu škálovací koeficienty

dilatační rovnice V 0  V 1 V0V0 V1V1 W 0  V 1 V0V0 V1V1 W0W0

Haar waveleta g = [, - ] h = [, ]

h - low pass filtr g - high pass filtr  h =  2  g = 0 Poznámky k h a g h,g quadrature mirror filtry (|H| 2 + |G| 2 = 1) g – h zpětně se změněnými znaménky posun o pul periody h j určuje škálovací funkci h N-1-j = (-1) j g j g = [h 3 -h 2 h 1 -h 0 ] g = [, - ] h = [, ]

Ortogonalita  waveleta (wavelet)báze W i  škálovací funkce (scaling function)báze V i

Waveletová dekompozice funkce f VjVj V j0 základ +  detaily různého měřítka

V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Daubechies 4 waveleta Daubechies 4 škálovací funkce a waveleta

V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

Waveletová dekompozice funkce f P Vj f - ortonormální projekce f do V i základ +  detaily různého měřítka kompaktní suport

VjVj j k k (P V f )(x) =  c j-1,k  j-1,k (x) +  d j-1,k  j-1,k (x) V j-1 + W j-1 DR signál délky 2 J - vzorky na jednotkovém intervalu V n, aproximace spojité funkce f.. c J,k c j-1,k =  h(n-2k) c j,n n d j-1,k =  g(n-2k) c j,n n c j+1,k =  h(k-2l) c j,l + +  g(k-2l) d j,l l l

Rychlá waveletová transformace

Kompaktní - konečný počet nenulových koeficientů - lokalizace v čase, frekvenci Waveletová transformace - proces určení c j0,k, d j,k Požadavek na nulovost momentů FFT - O(Nlog 2 N) FWT - O(N)

Vlastnosti očekávané od wavelet - dobrá lokalizace - jednoduchost konstrukce a reprezentace - invariance vzhledem k některým operacím - hladkost, spojitost, diferencovatelnost, symetrie - dobré vlastnosti vzhledem k počtu nulových momentů

Kompaktnost - v obrazové oblasti (ve frekvenční rychle k nule) - nižší výpočetní nároky - lepší obrazové rozlišení x horší frekvenční Symetrie - ortogonální kompaktní wavelety nemohou být sym. - biortogonální wavelety Momenty a jejich nulovost 1. M momentů 0 : signály typu nulové detailní koeficienty dobré pro kompresi Daubechies 2p koeficientů – p nulových momentů Hladkost lepší rekonstrukce

Reálné x komplexní wavelety Ortogonální x biortogonální x neortogonální Biortogonální wavelety -Haar jediná kompaktní, ortogonální a symetrická -oslabení ortogonality Jiné typy diskretizace, nedyadické, m-bands

analytické funkce (W 0 škálovací f., W 1 waveleta ) volba stromu (snižování entropie) Wavelet packets - nadmnožina WT