4.2. Aplikace elementární difúzní teorie 4.2.1. Elementární odvození Fickova zákona

Počet neutronů, které byly rozptýleny v dV a které projdou plochou dA za jednotku času, můžeme vyjádřit výrazem Pro elementární objem dV ve sférických souřadnicích obdržíme

Výslednou hustotu proudu neutronů v kladném směru osy

Analogicky lze odvodit hustotu produ neutronů ve směru osy x a ve směru osy y: Výsledná hustota toku proudu neutronů J je dána vztahem : Výsledná hustota proudu je vektorovou veličinou

Výslednou hustotu proudu neutronů pak můžeme vyjádřit ve tvaru Vektorová funkce grad Ф (nebo ΔФ) má v kartézských souřadnicích tvar

4. 2. 2. Upřesnění elementární difúzní teorie na základě 4.2.2. Upřesnění elementární difúzní teorie na základě transportní rovnice V prostředí, které slabě absorbuje, lze veličinu κ2 použít ve tvaru

4.2.3. Únik neutronů z objemové jednotky

Ve směru osy x vstupuje Jx dydz neutronů za jednotku času Ve směru osy x vstupuje Jx dydz neutronů za jednotku času. vzdálenou o dx vystupuje (Jx+∂Jx/∂x)dydz neutronů, takže úbytek neutronů v objemovém elementu dV ve směru osy x je Celkový úbytek neutronů z objemového elementu dV se rovná Celkový únik neutronů z objemové jednotky za jednotku času Únik neutronů z objemové jednotky je skalární veličina.

4.2.4. Difúzní rovnice Pro nestacionární stav: Pro stacionární stav:

4.2.5. Okrajové podmínky 1. podmínka: konečnost a nezápornost Na rozhraní dvou prostředí platí : 2. podmínka: 3. podmínka:

4. podmínka: na extrapolovaném rozhraní V blízkosti rozhraní mezi prostředím a vakuem se mění hustota toku neutronů tak, že její lineární extrapolace v určité vzdálenosti za tímto rozhraním (tzv. extrapolované rozhraní) klesne na nulu. 5. podmínka: tzv. zdrojová Kromě těchto okrajových podmínek musí řešení vyhovovat fyzikálním požadavkům na symetrii, které vyplývají z geometrie systému a rozmístění zdrojů.

Obr. 4. 8 Extrapolace hustoty toku neutronů na rozhraní Obr.4.8 Extrapolace hustoty toku neutronů na rozhraní difúzního prostředí

4.2.6. Řešení difúzní rovnice Tuto rovnici nazýváme vlnovou rovnicí, protože se podobá rovnici, která popisuje šíření vln v prostoru. 1. Nekonečný rovinný zdroj v nekonečném prostředí Vlnová (jednorozměrná) rovnice má tvar Obecné řešení této diferenciální rovnice bude

Pro určení integračních konstant použijeme těchto okrajových podmínek: hustota toku neutronů musí být všude konečná až na rovinu x = 0; v blízkosti neutronového zdroje je hustota proudu neutronů J rovna polovině intenzity zdroje, tj. Odtud dostáváme konstantu A ve tvaru Hustota toku neutronů od rovinného zdroje

2. Nekonečný přímkový zdroj v nekonečném prostředí Substitucí u=κr převést na mod. Besselovu difer.rovnici nultého řádu Obecné řešení této rovnice je:

3. Bodový zdroj v nekonečném prostředí Provedeme transformaci Ф(r)=u(r)/r Pro kladné κ2 dostáváme obecné řešení této diferenciální rovnice a protože u = Фr, bude Konstanty A a C určíme z těchto okrajových podmínek: 0 ≤ Ф(r) < ∞ pro r > 0; zdrojové.

4. Princip superpozice Pro jeden bodový zdroj s vydatností Si (i=1 nebo 2) bude Pro N bodových zdrojů s vydatností Si (i=1,2,3…N) umístěných v bodech (i=1,2,3...N) bude

Prostředí se dvěma bodovými zdroji s vydatností S1 s S2 Bude-li S( ) celkový počet neutronů vznikajících izotropně za jednotku času v objemu v okolí bodu , pak příspěvek těchto neutronů k celkové hustotě toku v bodě bude

Hustota toku neutronů v bodě vyvolaná všemi zdroji Lomená funkce za znakem objemového integrálu je difúzní jádro pro bodový zdroj Udává hustotu toku neutronů v bodě od bodového zdroje umístěného v bodě , který vysílá jeden neutron za jednotku času.

Difúzní jádra pro nekonečné prostředí  Geometrický tvar zdroje Označení Normovaná vydatnost zdroje (za 1 s) Difúzní jádro  Bod Gbod(r,r0) 1 neutron  Rovina Grov(x,x0) z plochy 1 m2  Přímka Gpř(r,y,r0,y0) z délky 1 m  Kulová plocha Gk(r,r0) z povrchu pol. r0 Válcová plocha Gν(r,r0) 1 neutron z povrchu pol. r0 a jedn. délky  

5. Nekonečný rovinný zdroj v difúzním prostředí konečné tloušťky Rozložení hustoty toku neutronů od rovinného zdroje v nekonečné desce

Vyjdeme z rovnice : a) podmínka na extrapolovaném rozhraní bude mít tvar a konstanta Dostaneme vztah pro hustotu toku b) použijeme zdrojovou podmínku, odkud plyne pro A vztah Hustota toku v nekonečné desce tloušťky 2xo bude mít tvar

Srovnání rozložení hustoty toku v nekonečném a konečném prostředí pro rovinný zdroj neutronů

4.2.7. Difúzní délka Difúzní délka neutronů respektuje difúzní a absorpční vlastnosti prostředí a je definována jako převrácená hodnota veličiny κ, tj. Na základě transportní teorie lze pro difúzní délku získat vztah V případě, že Σa << Σs, lze difúzní délku napsat ve tvaru

Fyzikální význam difúzní délky V difúzním prostředí tvořeném těžkými jádry, tj. s velkým hmotnostním číslem, je << 1 a vztah pro difúzní délku se redukuje na tvar Fyzikální význam difúzní délky Průměrná hodnota čtverce dráhy tepelného neutronu od místa jeho vzniku do místa pohlcení a je vyjádřena vztahem L2 = 1/6 průměrné hodnoty čtverce přímé vzdálenosti, kterou projde tepelný neutron od místa svého vzniku až do místa, kde je pohlcen.

K definici albeda na rozhraní prostředí se zdroji a reflektoru 4.2.8. Albedo v teorii difúze K definici albeda na rozhraní prostředí se zdroji a reflektoru

Koeficient odrazu - albedo značíme symbolem β a závisí pouze na vlastnostech prostředí, které odráží neutrony. Dosadíme do definice albeda složky hustoty toku neutronů a obdržíme následující výraz

kde index „o“ znamená, že za Ф a dФ/dx dosazujeme hodnoty na rozhraní. Řešením difúzní rovnice v prostředí se zdroji a v reflektoru obdržíme vztahy pro hustoty toků neutronů ve tvaru

Hustota toku neutronů od rovinného zdroje v nekonečné desce

kde jsme pro extrapolovanou tloušťku reflektoru použili označení . Pro určení konstant CA a CB použijeme podmínek Z těchto podmínek odvodíme pro konstanty CA a CB následující výrazy: kde jsme pro extrapolovanou tloušťku reflektoru použili označení .

Ze vztahu vyplývá, že Po dosazení výše uvedeného vztahu pro β do vztahu této rovnosti obdržíme pro albedo vrstvy konečné tloušťky vztah Pro tlustý reflektor, tj. pro Tr → ∞, (κB → ∞), je cotgh(kB ) → 1, takže pro β v případě nekonečně tlustého reflektoru dostáváme výraz

Albedo jako okrajová podmínka Z definice albeda plyne: V případě deskové symetrie je albedo dáno vztahem pro β a tato rovnost pak přechází na tvar

Na rozhraní dvou difúzních prostředí platí okrajové podmínky a . Dělením obou těchto rovnic odvodíme, že na rozhraní prostředí A a B platí Proto můžeme psát:

Pomocí albeda můžeme vyjádřit také okrajovou podmínku na rozhraní prostředí se zdrojem a tenkým reflektorem. Extrapolovanou vzdálenost můžeme přepsat na tvar Na základě přesnějších výsledků transportní teorie můžeme tento výraz přepsat na tvar ve kterém se střední volná dráha pro transport λtr vztahuje na prostředí A se zdroji. Je-li prostředí B vakuum, je β=0 .