„Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“. Tento digitální učební materiál (DUM) vznikl na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „Výuka na gymnáziu podporovaná ICT“.   ANALYTICKÁ GEOMETRIE ORIENTOVANÁ ÚSEČKA, VEKTOR Autor: Mgr. Kateřina Šigutová Zpracováno: 30.12.2013 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.

Orientovaná úsečka koncový bod počáteční bod Charakteristické znaky: má směr – šipka u koncového bodu má velikost – vzdálenost počátečního a koncového bodu nulová orientovaná úsečka – velikost 0

Velikost úsečky – vzdálenost bodů 90 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 1 − 𝑎 1 𝐴𝐵 = 𝑏 1 − 𝑎 1 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 2 𝐴𝐵 = 𝑏 1 − 𝑎 1 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 2 + 𝑏 3 − 𝑎 3 2

Úloha 1: 𝐴𝐵 = 𝑏 1 − 𝑎 1 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 2 𝐴𝐵 = 2−1 2 + 4−(−3) 2 Vypočítej velikost orientované úsečky AB, jestliže 𝒂) 𝑨 𝟏;−𝟑 ; 𝑩 𝟐;𝟒 𝐴𝐵 = 𝑏 1 − 𝑎 1 2 + 𝑏 2 − 𝑎 2 2 𝐴𝐵 = 2−1 2 + 4−(−3) 2 𝐴𝐵 = 1 2 +7 2 𝐴𝐵 = 50 𝐴𝐵 =5 2 b) 𝑨 𝟏;𝟎;−𝟑 ; B −𝟑;𝟐;𝟒 Ř: 69

Vektor 𝑵𝒆𝒏𝒖𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝑢 −𝑚𝑛𝑜ž𝑖𝑛𝑎 𝑣š𝑒𝑐ℎ 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛ý𝑐ℎ ú𝑠𝑒č𝑒𝑘, 𝑵𝒆𝒏𝒖𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝑢 −𝑚𝑛𝑜ž𝑖𝑛𝑎 𝑣š𝑒𝑐ℎ 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛ý𝑐ℎ ú𝑠𝑒č𝑒𝑘, 𝑘𝑡𝑒𝑟é 𝑚𝑎𝑗í 𝑠𝑡𝑒𝑗𝑛𝑜𝑢 𝑎 . 𝑵𝒖𝒍𝒐𝒗ý 𝒗𝒆𝒌𝒕𝒐𝒓 𝑜 −𝑚𝑛𝑜ž𝑖𝑛𝑎 𝑣š𝑒𝑐ℎ 𝑛𝑢𝑙𝑜𝑣ý𝑐ℎ 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛ý𝑐ℎ ú𝑠𝑒č𝑒𝑘. 𝑣𝑒𝑙𝑖𝑘𝑜𝑠𝑡 𝑎 𝑠𝑚ě𝑟 𝑢 𝑢

𝑂𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛é ú𝑠𝑒č𝑘𝑦 𝐶𝐶´ , 𝐷𝐷´ , 𝐸𝐸´ 𝑗𝑠𝑜𝑢 Umístění vektoru D´ C´ E´ 𝑂𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛é ú𝑠𝑒č𝑘𝑦 𝐶𝐶´ , 𝐷𝐷´ , 𝐸𝐸´ 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑢𝑚í𝑠𝑡ě𝑛í𝑚 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑢 𝑢 .

Kdy dvě orientované úsečky určují stejný vektor? 𝐾𝑑𝑦ž 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑎𝑚𝑖 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑜𝑏ěž𝑛í𝑘𝑢⇒𝑘𝑑𝑦ž 𝑠𝑝𝑜𝑗𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑗𝑒𝑗𝑖𝑐ℎ 𝑝𝑜čá𝑡𝑒č𝑛í𝑐ℎ 𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑐𝑜𝑣ý𝑐ℎ 𝑏𝑜𝑑ů,𝑚𝑎𝑗í 𝑠𝑝𝑜𝑙𝑒č𝑛ý 𝑠𝑡ř𝑒𝑑.

Střed úsečky 𝑠 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 2 ; 𝑠 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 2

Úloha 2: 𝑠 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 2 𝑠 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑠 3 = 𝑎 3 + 𝑏 3 2 Vypočítej souřadnice středu orientované úsečky AB, jestliže 𝒂)𝑨 𝟏;𝟎;−𝟑 ; B −𝟑;𝟐;𝟒 𝑠 1 = 𝑎 1 + 𝑏 1 2 𝑠 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 2 𝑠 3 = 𝑎 3 + 𝑏 3 2 𝑠 1 = 1+(−3) 2 𝑠 2 = 0+2 2 𝑠 3 = −3+4 2 𝑠 1 = −2 2 𝑠 2 = 2 2 𝑠 3 = 1 2 𝑠 1 =−1 𝑠 2 =1 𝑺 −𝟏;𝟏; 𝟏 𝟐 b) 𝑨 𝟏;−𝟑 ; B 𝟐;𝟒 Ř:𝑆 3 2 ; 1 2

Kdy dvě orientované úsečky určují stejný vektor? 𝑎 1 + 𝑑 1 2 = 𝑏 1 + 𝑐 1 2 ; 𝑎 2 + 𝑑 2 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 2

Úloha 3: Ověř, že orientované úsečky AB a CD určují stejný vektor: 𝑨 −𝟏, 𝟐 , 𝑩 𝟏;−𝟏 ; C 𝟑;−𝟐 ; 𝑫 𝟓;−𝟓 𝑆 𝐴𝐷 : 𝑠 1 = −1+5 2 𝑠 1 =2 𝑠 2 = 2+(−5) 2 𝑠 2 =− 3 2 𝑆 𝐴𝐷 2;− 3 2 𝑆 𝐵𝐶 : 𝑠 1 = 1+3 2 𝑠 1 =2 𝑠 2 = −1−2 2 𝑠 2 =− 3 2 𝑆 𝐵𝐶 2;− 3 2 𝑆 𝐴𝐷 = 𝑆 𝐵𝐶 ABCD je rovnoběžník 𝐴𝐵 ; 𝐶𝐷 určují stejný vektor.

Souřadnice vektoru 𝑈𝑟č𝑢𝑗í 𝑝𝑜𝑠𝑢𝑛𝑢𝑡í 𝑝𝑜čá𝑡𝑒č𝑛íℎ𝑜 𝑏𝑜𝑑𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑣𝑎𝑛é ú𝑠𝑒č𝑘𝑦 𝑑𝑜 𝑘𝑜𝑛𝑐𝑜𝑣éℎ𝑜 𝑏𝑜𝑑𝑢. +2  +3 

Souřadnice vektoru - výpočet 𝑢 = 𝐴𝐵 = 𝐵−𝐴 𝑢 = 𝑢 1 ; 𝑢 2; 𝑢 3 𝑢 1 = 𝑏 1 − 𝑎 1 ; 𝑢 2 = 𝑏 2 − 𝑎 2 ; 𝑢 3 = 𝑏 3 − 𝑎 3 ; př. Jsou dány body X −3;1 ; 𝑌 −1;2 Vypočítej souřadnice vektoru, který je dán orientovanou úsečkou 𝑎) 𝑋𝑌 ; 𝑏) 𝑌𝑋 𝑎) 𝑢 = 𝑋𝑌 = Y−X 𝑢 1 =−1− −3 =2 𝑢 2 =2−1=1 𝑢 =(2;1) b) 𝑣 = 𝑌𝑋 = X−Y 𝑣 1 =−3− −1 =−2 𝑣 2 =1−2=−1 𝑣 =(−2;−1)

Souřadnice vektoru - výpočet 𝑉𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑦 𝑢 𝑎 𝑣 𝑗𝑠𝑜𝑢 𝑜𝑝𝑎č𝑛é.

Souřadnice vektoru - výpočet př. Jsou dány body X −3;2;1 ; 𝑌 −1;2;3 Vypočítej souřadnice vektoru, který je dán orientovanou úsečkou 𝑎) 𝑋𝑌 ; 𝑏) 𝑌𝑋 𝑎) 𝑢 = 𝑋𝑌 = Y−X 𝑢 1 =−1− −3 =2 𝑢 2 =2−2=0 𝑢 3 =3−1=2 𝑢 =(2;0;2) b) 𝑣 = 𝑌𝑋 = X−Y 𝑣 1 =−3− −1 =−2 𝑣 2 =2−2=0 𝑣 3 =1−3=−2 𝑣 =(−2;0;−2)

Úloha 4: Jsou dány body 𝑨 𝟐;−𝟏;𝟑 ;𝑩 𝟎;−𝟐;𝟏 . Vypočítej souřadnice vektoru 𝒂) 𝒖 = 𝑨𝑩 𝑏) 𝒗 = 𝑩𝑨 𝒂) 𝒖 = 𝑨𝑩 =(B−A) 𝒖 𝟏 =𝟎−𝟐=−𝟐 𝒖 𝟐 =−𝟐− −𝟏 =−𝟏 𝒖 𝟑 =𝟏−𝟑=−𝟐 𝒖 = 𝑨𝑩 = (−2;−1;−2) b) 𝒗 = 𝑩𝑨 =(A−B) 𝒗 𝟏 =𝟐−𝟎=𝟐 𝒗 𝟐 =−𝟏− −𝟐 =𝟏 𝒗 𝟑 =𝟑−𝟏=𝟐 𝒖 = 𝑨𝑩 = (2;1;2)

Úloha 5: 𝒂) 𝒖 = 𝐀𝐁 =(B−A) ; B 𝒃 𝟏 ; 𝒃 𝟐 b) 𝒖 = 𝐁𝐀 =(A−B) ; B 𝒃 𝟏 ; 𝒃 𝟐 Je dán bod 𝑨 𝟐;−𝟏 a vektor 𝒖 =(−2;−1). Vypočítej souřadnice bodu B, jestliže 𝒂) 𝒖 = 𝑨𝑩 (B je koncový bod orient. ús.) b) 𝒖 = 𝑩𝑨 (B je počáteční bod orient. ús.) 𝒂) 𝒖 = 𝐀𝐁 =(B−A) ; B 𝒃 𝟏 ; 𝒃 𝟐 𝒖 𝟏 = 𝒃 𝟏 − 𝒂 𝟏 𝒃 𝟏 = 𝒂 𝟏 + 𝒖 𝟏 = 2-2=0 𝒖 𝟐 = 𝒃 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 = −1−1=−2 𝑩 𝟎;−𝟐 b) 𝒖 = 𝐁𝐀 =(A−B) ; B 𝒃 𝟏 ; 𝒃 𝟐 𝒖 𝟏 = 𝒂 𝟏 − 𝒃 𝟏 𝒃 𝟏 = 𝒂 𝟏 −𝒖 𝟏 = 2-(-2)=4 𝒖 𝟐 = 𝒂 𝟐 −𝒃 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 = −1−(−1)=0 𝑩 𝟒;𝟎

Použité zdroje: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: analytická geometrie. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1995, 187 s. ISBN 80-719-6120-5.