Tělesa Užití goniometrických funkcí * 16. 7. 1996 Tělesa Užití goniometrických funkcí Matematika – 9. ročník *

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 1 V Pravidelný čtyřboký jehlan má délku podstavné hrany 48 mm a velikost úhlu sevřeného jeho stěnovou výškou a rovinou podstavy je 70°. Vypočítej objem a povrch tohoto jehlanu. vs v a = 48 mm 𝒕𝒈𝜶= 𝒗 𝒂 𝟐 𝑺= 𝑺 𝒑 + 𝑺 𝒑𝒍 C a = 70° 𝑺= 𝒂 𝟐 +𝟐∙𝒂∙ 𝒗 𝒔 D 𝒗= 𝒂 𝟐 ∙𝒕𝒈𝜶 S = … mm2 𝑺= 𝟒𝟖 𝟐 +𝟐∙𝟒𝟖∙𝟕𝟎,𝟐 a P S V = … mm3 𝒗= 𝟒𝟖 𝟐 ∙𝒕𝒈𝟕𝟎° 𝑺=𝟐 𝟑𝟎𝟒+𝟔𝟕𝟑𝟗,𝟐 a 𝑽= 𝑺 𝒑 ∙𝒗 𝟑 𝑺=𝟗𝟎𝟒𝟑,𝟐 a B 𝒗=𝟐𝟒∙𝟐,𝟕𝟒𝟕 𝟓 A 𝑺=𝟗𝟎𝟒𝟑,𝟐 𝒎𝒎 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝜶= 𝒗 𝒗 𝒔 𝑽= 𝒂 𝟐 ∙𝒗 𝟑 𝒗=𝟔𝟓,𝟗𝟒 𝒗=𝟔𝟔 𝒎𝒎 𝒗 𝒔 = 𝒗 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝑽= 𝟒𝟖 𝟐 ∙𝟔𝟔 𝟑 𝒗 𝒔 = 𝟔𝟔 𝑶,𝟗𝟑𝟗 𝟕 𝑽=𝟓𝟎 𝟔𝟖𝟖 𝒗 𝒔 =𝟕𝟎,𝟐 𝑽=𝟓𝟎 𝟔𝟖𝟖 𝒎𝒎 𝟑 𝒗 𝒔 =𝟕𝟎,𝟐 𝐦𝐦

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 2 V Kužel má délku strany 32 cm a tato svírá s podstavou úhel 66°. Vypočtěte objem a povrch tohoto kužele. s v s = 32 cm 𝒄𝒐𝒔𝜶= 𝒓 𝒔 𝑺= 𝑺 𝒑 + 𝑺 𝒑𝒍 a = 66° 𝑺= 𝝅𝒓 𝟐 +𝝅𝒓𝒔 𝒓=𝒔∙𝒄𝒐𝒔𝜶 S = … cm2 𝑺= 𝟑,𝟏𝟒∙𝟏𝟑 𝟐 +𝟑,𝟏𝟒∙𝟏𝟑∙𝟑𝟐 𝒓=𝟑𝟐∙𝒄𝒐𝒔𝟔𝟔° a · V = … cm3 𝑺=𝟓𝟑𝟎,𝟔𝟔+𝟏𝟑𝟎𝟔,𝟐𝟒 r 𝒓=𝟑𝟐∙𝟎,𝟒𝟎𝟔 𝟕 S 𝑽= 𝑺 𝒑 ∙𝒗 𝟑 𝑺=𝟏𝟖𝟑𝟔,𝟗 𝒓=𝟏𝟑 𝑺=𝟏𝟖𝟑𝟔,𝟗 𝒄𝒎 𝟐 𝑽= 𝝅𝒓 𝟐 ∙𝒗 𝟑 𝒓=𝟏𝟑 𝒄𝒎 𝒔𝒊𝒏𝜶= 𝒗 𝒔 𝑽= 𝟑,𝟏𝟒∙𝟏𝟑 𝟐 ∙𝟐𝟗,𝟐 𝟑 𝒗=𝒔∙𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒗=𝟑𝟐∙𝟎,𝟗𝟏𝟑 𝟓 𝑽=𝟓 𝟏𝟔𝟓 𝒗=𝟐𝟗,𝟐 𝑽=𝟓 𝟏𝟔𝟓 𝒄𝒎 𝟑 𝒗=𝟐𝟗,𝟐 𝐜𝐦

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 3 Vypočítej objem jehlanu, který má výšku 9 metrů a jehož podstavou je rovnoramenný trojúhelník s délkou základny 22 metrů a velikost úhlu při základně je 75°. v = 9 m 𝑽= 𝑺 𝒑 ∙𝒗 𝟑 𝒕𝒈𝜶= 𝒗 𝒔 𝒛 𝟐 z = 22 m 𝑽= 𝒛∙ 𝒗 𝒔 𝟐 ∙𝒗 𝟑 a = 70° 𝒗 𝒔 = 𝒛 𝟐 ∙𝒕𝒈𝜶 V = … cm3 𝑽= 𝟐𝟐∙𝟒𝟏,𝟎𝟓 𝟐 ∙𝟗 𝟑 𝒗 𝒔 = 𝟐𝟐 𝟐 ∙𝒕𝒈𝟕𝟎° v 𝒗 𝒔 =𝟏𝟏∙𝟑,𝟕𝟑𝟐 𝟏 𝑽=𝟏𝟑𝟓𝟒,𝟔𝟓 𝒗 𝒔 =𝟏𝟏∙𝟑,𝟕𝟑𝟐 𝟏 𝑽=𝟏𝟑𝟓𝟒,𝟔𝟓 𝒎 𝟑 vs 𝒗 𝒔 =𝟒𝟏,𝟎𝟓 a 𝒗 𝒔 =𝟒𝟏,𝟎𝟓 𝒎 a z

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 4 Boční hrana a hrana podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu svírají úhel 68°. Délka hrany podstavy je 4,2 cm. Vypočítejte objem a povrch tohoto jehlanu. a = 4,2 cm V a = 68° S = … cm2 V = … cm3 vs v C D P S a a a A B V = 28 cm3; S = 61 cm2

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 5 V Vypočítejte objem a povrch kužele, který má při hlavním vrcholu osového řezu úhel velikosti 78° a stranu dlouhou 3,8 m.  s v s = 3,8 m  = 78° S = … cm2 · V = … cm3 r S V = 17,6 m3; S = 46,5 m2

Tělesa Užití goniometrických funkcí - 6 Vypočítejte objem a povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, je-li hrana jeho podstavy dlouhá 8 cm a stěnová úhlopříčka (podstavy) a tělesová úhlopříčka svírají úhel 53°. a = 8 cm  = 53° S = … cm2 V = … cm3 ut  · us a a V = 960 cm3; S = 608 cm2