Aritmetická posloupnost – základní pojmy Střední odborná škola Otrokovice Aritmetická posloupnost – základní pojmy Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Hana Cibulková Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. www.zlinskedumy.cz

Charakteristika 1 DUM Název školy a adresa Střední odborná škola Otrokovice, tř. T. Bati 1266, 76502 Otrokovice Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0445 /2 Autor Mgr. Hana Cibulková Označení DUM VY_32_INOVACE_SOSOTR-Mn-M/3-MA-2/6 Název DUM Aritmetická posloupnost – základní pojmy Stupeň a typ vzdělávání Středoškolské vzdělávání Kód oboru RVP 63-41-M/01 Obor vzdělávání Management hotelových a turistických služeb Vyučovací předmět Matematika Druh učebního materiálu Výukový materiál Cílová skupina Žák, 17 – 18 let Anotace Výukový materiál je určený k frontální výuce učitelem, případně jako materiál pro samostudium, nutno doplnit výkladem; náplň: zavedení pojmu aritmetická posloupnost, výklad základních pojmů a vzorců aritmetické posloupnosti Vybavení, pomůcky Dataprojektor Klíčová slova Aritmetická posloupnost, diference, vzorce Datum 23. 4. 2013

Aritmetická posloupnost – základní pojmy Náplň výuky Definice aritmetické posloupnosti Vzorce aritmetické posloupnosti

Aritmetická posloupnost V následujících posloupnostech čísel si všimněte, jaká je vzájemná návaznost po sobě jdoucích členů: 4, 8, 12, 16, 20, 24, … 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, … 3,8; 3,6; 3,4; 3,2; 3,0; … − 3 2 ;−1;− 1 2 ;0; 1 2 ;1; 3 2 ;2;…

Takové posloupnosti se nazývají aritmetické. V uvedených posloupnostech každý člen (kromě prvního) můžeme vypočítat tak, že k předcházejícímu členu přičteme stejné číslo d. 4, 8, 12, 16, 20, 24,… d = 4 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7,… d = -2 3,8; 3,6; 3,4; 3,2; 3,0; … d = -0,2 − 3 2 ;−1;− 1 2 ;0; 1 2 ;1; 3 2 ;2; … d = 𝟏 𝟐 Takové posloupnosti se nazývají aritmetické.

Definice aritmetické posloupnosti Posloupnost (𝑎 𝑛 ) se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové reálné číslo d, že pro každé přirozené číslo n je 𝒂 𝒏+𝟏 = 𝒂 𝒏 +𝒅 Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti.

Platí tedy: 𝐝= 𝐚 𝐧+𝟏 − 𝐚 𝐧 (diference = rozdíl dvou po sobě jdoucích členů) 𝑑= 𝑎 2 − 𝑎 1 = 𝑎 3 − 𝑎 2 = 𝑎 4 − 𝑎 3 =…

Vzorec pro výpočet n-tého členu V aritmetické posloupnosti je dáno 𝐚 𝟏 a d. Dále platí: 𝑎 2 = 𝑎 1 +𝑑 𝑎 3 = 𝑎 2 +𝑑= 𝑎 1 +𝑑+𝑑= 𝑎 1 +2𝑑 𝑎 4 = 𝑎 3 +𝑑= 𝑎 1 +2𝑑+𝑑= 𝑎 1 +3𝑑 𝑎 5 = 𝑎 4 +𝑑= 𝑎 1 +3𝑑+𝑑= 𝑎 1 +4𝑑 . 𝒂 𝒏 = 𝒂 𝟏 + 𝒏−𝟏 𝒅

Pro libovolné dva členy 𝐚 𝐫 ; 𝐚 𝐬 platí: 𝒂 𝒔 = 𝒂 𝒓 + 𝒔−𝒓 𝒅 Např.: 𝑎 8 = 𝑎 5 +3𝑑 𝑎 52 = 𝑎 45 +7𝑑

Vzorec pro součet 𝐬 𝐧 prvních n členů aritmetické posloupnosti 𝐬 𝐧 = 𝐧 𝟐 𝐚 𝟏 + 𝐚 𝐧 𝑠 𝑛 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 +…+ 𝑎 𝑛

Proč se posloupnost nazývá aritmetická? 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, … Všimněte si, jaký je vztah každého členu (počínaje druhým ) a jeho „ sousedů“.

Odtud tedy název ARITMETICKÁ POSLOUPNOST. Je zřejmé, že každý člen (počínaje druhým) je aritmetickým průměrem svých sousedních členů: 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7,… Např.: −1= 1+ −3 2 Obecně: 𝐚 𝐧 = 𝐚 𝐧−𝟏 + 𝐚 𝐧+𝟏 𝟐 Odtud tedy název ARITMETICKÁ POSLOUPNOST.

Kontrolní otázky: Definuj aritmetickou posloupnost. Zapiš vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnost. Proč se posloupnost nazývá aritmetická?

Seznam obrázků:

Seznam použité literatury: