59.1 Objem jehlanu, kužele, koule Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.1 Objem jehlanu, kužele, koule Co můžeme například spočítat Objem pohřebních komor v pyramidě. Hmotnost biliardové koule. Množství vosku k výrobě svíčky. Kolik vzduchu je třeba k nafouknutí balonu. Objem vnitřku „šampusky“. Kolik litrů vody se vejde do akvária. Kolik bonbónků se vejde do kornoutku. Autor: Mgr. Marie Makovská

59.2 Co už umíme S = 𝒂. 𝒗𝒂 𝟐 Obvod kruhu: Obsah trojúhelníku: S = 𝑎 2 Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.2 Co už umíme Obsahy rovinných obrazců : (hodí se nám pro výpočet Sp jehlanu a kužele) Jednotky objemu: Goniometrické funkce: sin 𝜶 = 𝒂 𝒄 protilehlá odvěsna ku přeponě cos 𝜶 = 𝒃 𝒄 přilehlá odvěsna ku přeponě tan 𝜶 = 𝒂 𝒃 protilehlá odvěsna ku přilehlé odvěsně cotg 𝜶 = 𝒃 𝒄 přilehlá odvěsna ku protilehlé odvěsně Obvod kruhu: o = 2 π r Obsah kruhu: S = π 𝑟 2 S = 𝑎 2 r d S = a.b Obsah trojúhelníku: S = 𝒂. 𝒗𝒂 𝟐

59.3 Nové vzorce pro výpočet objemu jehlanu, kužele a koule Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.3 Nové vzorce pro výpočet objemu jehlanu, kužele a koule Povrch jehlanu: S = Sp + Spl Sp … obsah podstavy Spl … obsah pláště (= součet obsahů všech trojúhelníků, které tvoří boční stěny jehlanu) Objem jehlanu: V = 𝟏 𝟑 𝑺𝒑 . 𝒗 v … výška jehlanu Povrch kužele: S = Sp + Spl S = 𝜋 𝑟 2 + 𝜋𝑟𝑠 S = 𝝅𝒓 𝒓+𝒔 Sp … obsah podstavy Spl … obsah pláště r … poloměr podstavy s … strana kužele v … výška kužele Objem kužele: V = 𝟏 𝟑 𝑺𝒑 . 𝒗 V = 𝟏 𝟑 𝝅 𝒓 𝟐 𝒗 Povrch koule: S = 4𝝅 𝒓 𝟐 r … poloměr koule Objem koule: V = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑

59.4 Výpočet objemu jehlanu, kužele, koule Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.4 Výpočet objemu jehlanu, kužele, koule Vypočítej objem pravidelného čtyřbokého jehlanu s výškou 15 cm a podstavnou hranou 8 cm. Vypočítej objem kužele, který má poloměr podstavy 8 m a délku strany 17 m. Vypočítej objem koule, která má poloměr 15 dm. Řešení: Řešení: Řešení: v = 𝑠 2 − 𝑟 2 v = 17 2 − 8 2 v = 15 m V = 𝟏 𝟑 𝑺𝒑 . 𝒗 V = 1 3 𝜋 𝑟 2 . v V = 1 3 . 3,14 . 8 2 . 15 V = 1 𝟎𝟎𝟒,𝟖 𝒎 𝟑 V = 𝟏 𝟑 𝑺𝒑 . 𝒗 Sp = 𝑎 2 Sp = 8 2 Sp = 64 𝒄𝒎 𝟐 V = 𝟏 𝟑 .64 . 15 V = 320 𝒄𝒎 𝟑 V = 𝟒 𝟑 𝝅 𝒓 𝟑 V = 4 3 . 3,14 . 15 3 V = 4 3 . 3,14 . 3 375 V = 14 130 𝒅𝒎 𝟑

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Zákadní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.5 Slovní úlohy 1) Urči hmotnost pravidelného čtyřbokého jehlanu s délkou podstavné hrany a = 45 cm. Výška trojúhelníku pláště je 1 m. Jehlan je vyroben z materiálu o hustotě 2 700 kg/ m 3 . Z jakého materiálu je jehlan vyroben? 2) Strana kužele na obrázku má ve skutečnosti délku 6 metrů a svírá s rovinou podstavy úhel o velikosti 70°. Vypočítej objem kužele;výsledek zaokrouhli na krychlové metry. Musíš vypočítat poloměr a výšku. m = ρ . V m = 2 700 . 0,065 m = 177,6 kg Jehlan má hmotnost 177,6 kg a je vyroben z hliníku. 𝑣 = 100 2 − 22,5 2 𝑣 = 97,44 cm V = 1 3 𝑆𝑝 . 𝑣 V = 1 3 𝑎 2 . 𝑣 V = 1 3 . 45 2 . 97,44 V = 𝟔𝟓 𝟕𝟕𝟐 𝒄𝒎 𝟑 =𝟎,𝟎𝟔𝟓 𝒎 𝟑 a = 45 cm v = 1 m ρ = 2 700 kg/ 𝑚 3 m = ? Řešení: Řešení: s = 6 m cos 70⁰ = 𝑟 6 V = 𝟏 𝟑 . 3,14 . 2,04 2 . 5,64 ϕ = 70⁰ r = 0,34 . 6 V = 25 𝒎 𝟑 V = ? r = 2, 04 𝑚 Objem kužele je 2𝟓 𝒎 𝟑 . V = 𝟏 𝟑 𝝅 𝒓 𝟐 . v v = 6 2 − 2,04 2 cos ϕ = 𝑟 𝑠 v = 5,64 𝒎

59.6 Pro šikovné – objem a povrch jehlanu a kužele Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.6 Pro šikovné – objem a povrch jehlanu a kužele 1) Je dán pravidelný čtyřboký jehlan (podstava je čtverec o straně a). Doplň chybějící hodnoty tabulky. 2)Je dán kužel s rozměry uvedenými v tabulce. Doplň tabulku. Řešení: a v V S cm 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚 2 1 30 50 2 60 9 000 3 1 000 4 16 736 a v V S cm 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚 2 1 30 50 15 000 4 032 2 60 7,5 9 000 7 310,4 3 10 1 000 708,28 4 16 12,68 1 082,03 736 Řešení: r v s V S cm 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚 2 1 5,3 7,65 9,31 224,92 243 2 10 3 10,45 314 642,13 3,6 7,7 8,5 104,5 136,78 4 6 8 301,44 r a v V S cm 𝑐𝑚 3 𝑐𝑚 2 1 5,3 7,65 2 10 10,45 3 7,7 104,5 4 301,44

59.7 CLIL – Volume of Cones, Pyramids, and Spheres Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Mathematics 59.7 CLIL – Volume of Cones, Pyramids, and Spheres čtvercová podstava - square base jehlan - pyramid koule - sphere kužel - cone objem - volume podstava - base pravidelný - regular řešení - solution stěnová výška - slant height strana - side šestihranný - hexagonal výška - altitude, height Mathematical dictionary Example: A pyramid has a square base, each side is 4 cm and a height is 9 cm.  Find its volume. Solution: V = 𝟏 𝟑 𝑨𝒉 = 1 3 𝑙 2 ℎ = 1 3 x 4 2 x 9 = 48 So, the volume is 48 𝒄𝒎 𝟑 .

59.8 TEST 1a 2b 3c 4a 5d 6c Které těleso je na obrázku? koule kužel Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.8 TEST Které těleso je na obrázku? koule kužel jehlan krychle 2) Vzorec V = 𝟏 𝟑 𝑺𝒑 . 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝝅 𝒓 𝟐 𝒗 slouží k výpočtu: objemu jehlanu objemu kužele povrchu hranolu objemu koule 3) Jaký je obecný vzorec pro výpočet objemu jehlanu? V = Spláště*výška V = Spodstavy + Spláště V = Spodstavy*výška V = Spodstavy*Spláště 4) Jaký je objem pravidelného 4-bokého jehlanu, když délka podstavné hrany je 5 cm a výška jehlanu je 10 cm? Výsledek zaokrouhli na 1 desetinné místo. 83,3 cm3 103,8 cm2 108,8 cm2 203,3 cm3 5) Je dán kužel s poloměrem podstavy r = 9 cm a s výškou v = 12 cm. Objem kužele je: 18 cm 678,24 cm2 324 cm3 1 017,4 cm3 6) Vypočítej povrch koule s poloměrem r = 5,4 m. 91,56 m3 366,25 m2 659,25 m3 732,5 m3 Správné odpovědi: 1a 2b 3c 4a 5d 6c Test na známku

Elektronická učebnice - II Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.9 Použité zdroje, citace Zdroje: Matematika 3 pro 9. ročník základní školy, Odvárko O., Kadleček J., Prometheus, Praha, 2002 http://matikabrdickova.sweb.cz/soubory_PDF/9/6_Jehlan_kuzel_koule.pdf http://in.duni.newww.petrfiala.cz/sklenicka-plast-sampuska-135cl-1ks/ http://brasnicky.cz/skolni-tasky/kornouty-na-bonbony http://www.profimedia.cz/fotografie/zlata-rybka-v-kulatem-akvarku/0053229471/ http://www.grafika.cz/art/photoshop/clanek1900892470.html?tisk=on http://www.zdenek-bures-matematika.cz/jehlan.pdf http://www.zsdobrichovice.cz/ukoly/matika/testy/testy.php?go=m9_11 http://zscejkoviceprojekt.cz/testy/test/5/ http://hotmath.com/hotmath_help/topics/surface-area-of-a-pyramid.html http://www.mathsteacher.com.au/year10/ch14_measurement/25_pyramid/21pyramid.htm

59.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník Elektronická učebnice - II. stupeň Základní škola Děčín VI, Na Stráni 879/2 – příspěvková organizace Matematika 59.10 Anotace Autor Mgr. Marie Makovská Období 07 – 12/2011 Ročník 9. ročník Klíčová slova Jehlan, kužel, koule, objem, tělesa Anotace Prezentace popisující výpočet objemu jehlanu, kužele a koule.