Teorie čísel Prvočíslo Eulerova funkce φ(n) První hodnoty funkce φ: 1,1,2,2,4,2,6,3,6,4 Pro a, b nesoudělná φ(ab)= φ(a). φ(b) P prvočíslo: φ(p)=p-1

Vlastnosti prvočísel Binomický koeficient (p nad i) mod p = 0, pro i=1..p-1 (a+b)p mod p=ap+bp Pro c menší než p je cp-1mod p = c N je součin dvou prvočísel p,q. φ(N)=(p-1)(q-1), c φ(N)-1 mod p = 1 Malá Fermatova věta

Distribuce klíčů D-H *1976 Whitfield Diffie *1944 Martin Hellban *1945 Massachusetts Institute of Technology (Boston) Protokol SSL

Metoda Diffie Hellman Použiji jednosměrnou funkci f(x)=px mod q p,q jsou velká prvočísla. Uživatel A zvolí tajný klíč t, uživatel B tajný klíč s. Uživatel A spočítá f(t) = pt mod q = α a pošle Uživatel B spočítá f(s) = ps mod q = β a pošle

Metoda Diffie Hellman A spočítá βt mod q = pst mod q = K. B spočítá αs mod q = pts mod q = K. K se použije jako klíč pro jednorázovou šifru (např. DES)

RSA šifra *1977 Ronald Rivest *1947 Leonard Adelman *1945 Adi Shamir *1952 University of Southern California, Los Angeles Protokol PGP

RSA šifra Dvě prvočísla p,q Šifrovací modul N=p.q Dešifrovací exponent t nesoudělný s N Φ(N)=(p-1).(q-1) s je řešení kongurence s.t mod Φ(N)=1 Veřejný klíč: N,s Tajný klíč: p,q, Φ(N), t

RSA šifra Šifrovací zobrazení y=xs mod N Dešifrovací zobrazení x=yt mod N xst mod N = xkΦ(N)+1 mod N = 1k.x mod N = x

Příklad p=7, q=13 N=91, Φ(N)=6.12=72 t=7 s.7 mod 72 = 1, s=31 Veřejný klíč s=31, N=91, y=x31mod 91 Tajný klíč t=7, p=7, q=13, Φ(N)=72, x=y7 mod 91

Příklad x=24 y= x31mod 91= 2431mod 91 = (2416mod 91). (248mod 91). (244mod 91). (242mod 91). (241mod 91) = 24.30.81.9.81mod 91= 42515280 mod 91 = 80 x = 807 mod 91= (801 mod 91). (802 mod 91). (804 mod 91) = 80.30.81 mod 91 = 24

Elektronický podpis X=yt mod N, y =xs mod A y=yst mod N = y

Jak vybrat prvočísla p, q Prvočísel je nekonečně mnoho Počet prvočísel menších než n: π(n)≈n/ln(n) Počet 100místných prvočísel: π(10100)- π(1099) ≈4,3*1097 ln(10100) ≈ 230, každé 230 číslo je prvočíslo

Algoritmus pro hledání prvočísla Zvol náhodné číslo n Otestuj, jestli je prvočíslo Pokud ne, polož n:=n+1

Test prvočíselnosti Vyzkoušet všechny dělitele – nereálné Malá Fermatova věta, pro c<p, p prvočíslo platí: cp-1 mod p = 1 Obrácené tvrzení neplatí Čísla, která splňují cp-1 mod p = 1 pro každé c a nejsou prvočísla, Carmichaelova čísla, nejmenší 561=3*11*17