Kendalova klasifikace SHO Systém M/M/1

Klasifikace systémů hromadné obsluhy X/Y/s X … typ vstupního procesu - M Poissonovský proces - D Deterministický proces - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

Klasifikace systémů hromadné obsluhy X/Y/s Y … rozděleníé veličiny doba obsluhy - M Normální rozdělení - D Pevná doba obsluhy - U (C) Rovnoměrné rozdělení - G Obecné ( jiné, než zde výslovně uvedené) rozdělení

Klasifikace systémů hromadné obsluhy X/Y/s S >= 1 počet kanálů obsluhy

Rozšířená klasifikace SHO X/Y/s/C/F/V C disciplína čekání (FIFO, LIFO, RANDOM, PRIORITY()) F omezení délky fronty (číslo, nebo ∞) V omezení vstupu (velikosti populace) (číslo, nebo ∞)

Vstupní parametry modelů  … intenzita vstupu (průměrný počet požadavků, které do systému vstoupí za jednotku času)  … intenzita obsluhy (průměrný počet požadavků, které je kanál schopen obsloužit za jednotku času)  … =  /  intenzita provozu

Vypočtené parametry modelu pn … pravděpodobnost, že v systému je právě n zákazníků … průměrný počet zákazníků v systému … průměrná délka fronty … průměrná doba setrvání zákazníka v systému … průměrná doba čekání … průměrný počet obsazených kanálů (= průměrný počet zákazníků v obsluze)

Model M/M/1 Respektive M/M/1/FIFO/∞/∞

Lze reprezentovat Markovovským řetězcem Stavy 0, 1, …, n, … (v systému je právě n zákazníků 1-(λ+μ)dt 1-(λ+μ)dt 1-(λ+μ)dt 1-λdt λdt λdt λdt λdt … 3 1 2 μdt μdt μdt μdt

Pokud existuje ustálený režim systému, musí platit 0 = -λp0 + μp1 0 = λp0 – (λ+μ)p1 + μp2 ….. 0 = λpn-1 – (λ+μ)pn + μpn+1 p1 + p2 + … + pn + … = 1 A tedy pn = (1-ρ)ρn

Průměrný počet zákazníků v systému = 0p0 + 1.p1 +2.p2 + …+ n.pn + … = = (1-ρ).∑n. ρn = ρ/(1- ρ)

Průměrný počet zákazníků ve frontě = - ρ = ρ/(1- ρ) - ρ = ρ2/(1- ρ)

Průměrná doba strávená v systému = /λ = ρ/λ.(1-ρ) = 1/μ.(1-ρ) = 1/(μ-λ)

Průměrná doba strávená ve frontě = - 1/μ = 1/(λ-μ) -1/μ = ρ/(μ-λ)

Shrnutí vzorců pro systém M/M/1 Pro ρ >= 1 je systém nestabilní Pro ρ < 1 platí průměrný počet jednotek v systému ρ/(1- ρ) průměrný počet jednotek ve frontě ρ2/(1- ρ) průměrný počet jednotek v obsluze ρ průměrná doba strávená v systému 1/(μ-λ) průměrná doba strávená ve frontě ρ/(μ-λ) průměrná doba strávená v obsluze 1/μ pravděpodobnost, že jednotka bude čekat ve frontě déle, než t ρ. e –(μ-λ)t

Příklady