Vzdálenost bodu od roviny Stereometrie Vzdálenost bodu od roviny VY_32_INOVACE_M3r0118 Mgr. Jakub Němec

Vzdálenost bodu od roviny Podobně jako v případě určování vzdálenosti bodu od přímky platí, že hledáme nejkratší možnou vzdálenost bodu od roviny. Vzdálenost bodu od roviny je určena vzdáleností bodu a jeho kolmého průmětu do roviny (kolmice je nejkratší možná vzdálenost). Pokud bod leží v rovině, je vzdálenost bodu od roviny nulová. Určování vzdálenosti bodu od roviny spočívá v nalezení roviny, v níž leží daný bod a která je kolmá k dané rovině (proto v ní bude ležet úsečka určená bodem a jeho kolmým průmětem). V této kolmé rovině v podstatě hledáme vzdálenost bodu od přímky (průsečnice s danou rovinou).

Opět začneme jednoduchým a zřejmým příkladem, na němž si ukážeme pravidla. V krychli ABCDEFGH o hraně 8 cm určete vzdálenost bodu S od roviny ABC, kde bod S je střed horní podstavy.

Najdeme kolmý průmět bodu S do roviny dolní podstavy.

Úsečka 𝑆𝑆′ , která je určena bodem S a jeho kolmým průmětem S‘ evidentně leží v kterékoli kolmé rovině k rovině ABC, v níž zároveň leží bod S.

Kolmá rovina, např. DBF, obsahuje úsečku 𝑆𝑆′ , která je kolmá k rovině ABC. Můžeme tedy určit její velikost. Je zřejmé, že úsečka 𝑆𝑆′ má stejnou velikost jako úsečka 𝐵𝐹 , což je hrana krychle. Proto je velikost úsečky v = 8 cm.

V krychli ABCDEFGH o hraně 6 cm určete vzdálenost bodu F od roviny BEG.

Nejprve nalezneme kolmou rovinu k rovině BEG, v níž zároveň leží bod F (tento postup již známe z předchozích lekcí).

Je jisté, že kolmý průmět bodu F bude ležet na průsečnici roviny BEG a kolmé roviny BDH.

Zde máme znázorněnu kolmou rovinu BDH. Zeleně je značena průsečnice kolmé roviny BDH a dané roviny BEG. Červeně je vyznačena vzdálenost mezi bodem F a jeho kolmým průmětem F‘ do roviny BEG. Jak již víme z lekce o určování vzdálenosti bodu a přímky, můžeme použít tři způsoby výpočtu (na základě podobnosti trojúhelníků; na základě obsahu trojúhelníku; na základě vlastností pravoúhlého trojúhelníku)

𝐹𝑆 = 𝑢 2 = 𝒂× 𝟐 𝟐 𝒄𝒎 𝐹𝑆 = 6× 2 2 =𝟑× 𝟐 𝒄𝒎 𝐵𝑆 2 = 𝐵𝐹 2 + 𝐹𝑆 2 𝐹𝑆 = 𝑢 2 = 𝒂× 𝟐 𝟐 𝒄𝒎 Nejdříve je třeba určit si velikost úseček 𝐹𝑆 a 𝐵𝑆 . 𝐹𝑆 je polovina úhlopříčky čtverce, úsečku 𝐵𝑆 lze dopočítat pomocí Pythagorovy věty. Vzhledem ke skutečnosti, že řešíme úlohu v krychli, lze počítat obecně. Pod obecným řešením je vždy uveden i výsledek s dosazením. 𝐹𝑆 = 6× 2 2 =𝟑× 𝟐 𝒄𝒎 𝐵𝑆 2 = 𝐵𝐹 2 + 𝐹𝑆 2 𝑥 2 = 𝑎 2 + 𝑎× 2 2 2 𝑥 2 = 3× 𝑎 2 2 𝑥= 𝒂× 𝟔 𝟐 𝑥 2 =36+18 𝑥= 𝟓𝟒

𝐹𝐹′ : 𝐵𝐹 = 𝐹𝑆 : 𝐵𝑆 𝐹𝐹′ 𝐵𝐹 = 𝐹𝑆 𝐵𝑆 𝐹𝐹′ = 𝐹𝑆 𝐵𝑆 × 𝐵𝐹 Využitím poměru odpovídajících stran, můžeme bez složitějších výpočtů určit vzdálenost FF‘. První část řešení je úvaha nad vztahem poměrů. Druhá část řešení je obecné dosazení. Třetí část řešení je pro konkrétní hodnotu hrany krychle a = 6 cm. 𝐹𝐹′ 𝐵𝐹 = 𝐹𝑆 𝐵𝑆 𝐹𝐹′ = 𝐹𝑆 𝐵𝑆 × 𝐵𝐹 𝐹𝐹′ =𝑣= 𝑎× 2 2 𝑎× 6 2 ×𝑎= 𝒂× 𝟑 𝟑 𝒄𝒎 𝑣= 3× 2 54 ×6=𝟐× 𝟑 𝒄𝒎

𝑆 1 = 𝑆 2 𝐹𝐹′ × 𝐵𝑆 2 = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 2 𝐹𝐹′ × 𝐵𝑆 = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 𝐹𝐹′ = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 𝐵𝑆 Vzhkledem ke skutečnosti, že trojúhelník BFS je pravoúhlý a znám všechny jeho strany, není problém vypočítat jeho obsah pomocí odvěsen. Vzdálenost 𝐹𝐹′ je výškou tohoto trojúhelníku, můžeme ji tedy na základě znalosti obsahu dopočítat. První část řešení je úvaha nad vztahem obsahů. Druhá část řešení je obecné dosazení. Třetí část řešení je pro konkrétní hodnotu hrany krychle a = 6 cm. 𝐹𝐹′ × 𝐵𝑆 2 = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 2 𝐹𝐹′ × 𝐵𝑆 = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 𝐹𝐹′ = 𝐵𝐹 × 𝐹𝑆 𝐵𝑆 𝐹𝐹′ =𝑣= 𝑎× 𝑎× 2 2 𝑎× 6 2 = 𝒂× 𝟑 𝟑 𝒄𝒎 𝑣= 6×3× 2 54 =𝟐× 𝟑 𝒄𝒎

tan 𝛼 = 𝐹𝑆 𝐵𝐹 = 𝑢 2 𝑎 tan 𝛼= 𝑎× 2 2 𝑎 = 3× 2 6 = 2 2 𝛼≐𝟑𝟓° Poslední možností řešení je využití goniometrických funkcí v pravoúhlých trojúhelnících BFS a BFF‘. Nepřesnost je dána zaokrouhlením úhlu. tan 𝛼= 𝑎× 2 2 𝑎 = 3× 2 6 = 2 2 𝛼≐𝟑𝟓° sin 𝛼= 𝐹𝐹′ 𝐵𝐹 = 𝑣 𝑎 𝑣=𝑎× sin 𝛼 𝑣=6× sin 35° 𝑣≐𝟐× 𝟑 𝒄𝒎

Úkol závěrem 1) V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 5 cm, |BC|= 12 cm a |AE|= 9 cm urči vzdálenost bodu F od roviny BEG. 2) V kvádru ABCDEFGH s rozměry |AB|= 8 cm, |BC|= 5 cm a |AE|= 9 cm urči vzdálenost bodu D od roviny BEG.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.