Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_71 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Goniometrický tvar komplexního čísla Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje odvození zápisu komplexního čísla v goniometrickém tvaru. Klíčová slova:Charakteristiky zápisu komplexních čísel; Komplexní jednotka; Obraz komplexního čísla; Vzdálenost komplexního čísla od počátku; Argument komplexního čísla Druh učebního materiálu:prezentace

Goniometrický tvar komplexního čísla

y x a1a1 a2a2 α a = a 1 + a 2 i Hledáme tvar zápisu, který bude používat nové charakteristiky: |a|, α. |a||a| 0 Lze nalézt obraz KČ a jiným způsobem?

Odvození GT komplexního čísla a 1)Nalezneme obraz M komplexní jednotky m, za předpokladu, že velikosti úhlů, které svírají vektor OM a vektor OA s kladnou částí osy x, jsou shodné. 2)Obraz A daného KČ a nalezneme ve stejnolehlosti se středem v počátku a koeficientem podobnosti:

M = [m 1 ; m 2 ] y x m1m1 m2m2 α 1 0 Bod M je obrazem komplexní jednotky m: 1 1 –1 r = 1 učivo 2. ročníku – goniometrické funkce obecného úhlu (souřadnice bodu na jednotkové kružnici) = [cos α; sin α]

y x m1m1 m2m2 α 1 0 r = 1 M = [m 1 ; m 2 ] = [cos α; sin α] Bod A je obrazem hledaného KČ a: a1a1 a2a2 A = [a 1 ; a 2 ] |a||a| trojúhelníky podobné: 1 1 –1

Goniometrický tvar (GT) se nazývá zápis:, kde  | a|je vzdálenost KČ od počátku, |a|  R + (vždy číslo kladné),   je argument KČ – úhel, který svírá vektor 0A s kladnou částí osy x, !  Z   0; 2  ) je základní argument KČ

POZOR! Komplexnímu číslu 0 nepřiřazujeme goniometrický tvar.

y x a1a1 a2a2 r = |a| α Charakteristiky zápisu v AT, GT  AT KČ a = a 1 + a 2 i využívá: a 1, a 2 :kolmé průměty obrazu daného KČ do souřadných os a = a 1 + a 2 i  GT KČ a = |a|. (cos  + i. sin  ) využívá: |a|:vzdálenost daného KČ od počátku,  :velikost úhlu, který svírá vektor spojující počátek a obraz daného KČ s kladnou částí osy x. a = |a|. (cosα + i. sinα) a = a 1 + a 2 i = |a|. (cosα + i. sinα) AT GT |a||a| 0

Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 11–46