Distribuční funkce diskrétní náhodná proměnná spojitá náhodná proměnná Rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce: spojitá náhodná proměnná Hustota pravděpodobnosti Distribuční funkce: Pravděpodobnost že je:

Distribuční funkce příklad rovnoměrné rozdělení: hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

Distribuční funkce příklad Gaussovo rozdělení: hustota pravděpodobnosti distribuční funkce

Medián, modus Medián Pro medián náhodné veličiny x platí: Modus Charakteristiky významově podobné střední hodnotě . Medián Pro medián náhodné veličiny x platí: Je méně ovlivněn extrémními hodnotami. Cauchyho rozdělení Modus Hodnota, která se v souboru vyskytuje nejčastěji. distribuční funkce

Momenty hustota pravděpodobnosti operátor střední (očekávané) hodnoty n-tý moment: n-tý centrální moment: 1. moment - střední hodnota 2. centrální moment - disperze, rozptyl, variance

Momenty 3. centrální moment - asymetrie, šikmost (skewness) 4. centrální moment - koef. špičatosti (kurtosis) (3. standardizovaný centrální moment) (4. standardizovaný centrální moment)

Více náhodných veličin Dvě náhodné proměnné x, y mají rozdělení pravděpodobnosti na intervalech Vx, Vy popsáno funkcemi p(x), q(y) Jaká je pravděpodobnost, že x se nachází v intervalu (x, x+dx) a zároveň y se nachází v intervalu (y, y+dy) ? r(x, y) je rozdělení pravděpodobnosti dvou náhodných proměnných.

Více náhodných veličin Rozdělení pravděpodobnosti dvou náhodných proměnných r(x, y) - funguje podobně jako v případě jedné proměnné: střední hodnota: momenty: centrální momenty: (obecně)

Kovariance, koeficient korelace Jak vypadá rozdělení r(x, y) ? Jsou-li x a y nezávislé, skládá se jejich pravděpodobnost: Obecně (např. nejsou-li nezávislé), vyjadřujeme míru jejich vztahu pomocí kovariance. Kovariance: Koeficient korelace: (ko-variance) antikorelované = 0 nezávislé korelované

Kovariance, koeficient korelace Příklady:

Kovariance, koeficient korelace Příklad: Veličiny x a y jsou lineárně závislé: y = a.x + b

n náhodných veličin Obecný případ pro n náhodných veličin: x1, x2, ..., xn - rozdělení pravděpodobnosti: r(x1, x2, ..., xn) Pro každou veličinu xi lze opět psát: střední hodnotu, momenty, disperzi, ... Součet náhodných veličin: ... a jeho střední hodnota:

Aritmetický průměr - střední hodnota Střední hodnota součtu náhodných veličin: (je rovna součtu středních hodnot) Speciálně: pro n-násobné opakování veličiny x Aritmetický průměr: (Zákon velkých čísel)

Disperze aritmetického průměru A co disperze ? Disperze (variance) součtu náhodných veličin: Jsou-li xi nezávislé, Cov(xi, xj) = 0 Pro aritmetický průměr:

Centrální limitní věta Náhodná veličina x je popsána rozdělením pravděpodobnosti p(x). - střední hodnota: - disperze: Aritmetický průměr při n-násobném opakování veličiny x: - je popsáno rozdělením CLV: S rostoucím n se blíží normálnímu rozdělení Na typu rozdělení p(x) nezáleží!